Diskrete Mathematik. Kryptographie und Graphentheorie

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1 Diskrete Matheatik Kryptographie und Graphentheorie Jochen Hores & Jonas Bühler Jochen Hores, Jonas Bühler Kryptographie & Graphentherorie 1

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1. Kryptographie 1. Einführung. Faktorisierung 3. Zusaenfassung. Graphentheorie 1. Ungerichtete Graphen. Weitere Merkale 3. Königsberg. Graphentheorie 4. Satz von Euler 6. Planar und plättbar 6. Eulerscher Polyedersatz 7. Wenig Kanten Plättbarkeit 9. Außerde 10. Zusaenfassung Jochen Hores, Jonas Bühler Kryptographie & Graphentherorie

3 1. Einführung 1. Einführung Kryptographie Es werden Funktionen benötigt, die folgende Kriterien erfüllen: leicht zu berechnen it den richtigen Infos leicht ukehrbar ohne Infos extre schwer ukehrbar Eine verbreitete Möglichkeit ist das Produkt zweier großer Prizahlen. Jochen Hores, Jonas Bühler Kryptographie & Graphentherorie 3

4 . Faktorisierung. Faktorisierung U auch ohne die nötigen Inforationen die Ukehrung von n = p * q zu berechnen, gibt es verschiedene Ansätze: 1. Eine einfach Prifaktorzerlegung _ Untersuche alle Zahlen bis n, ob diese Zahl n teilt. Eine erste Verbesserung: _ Untersuche dies nur für Prizahlen bis n 3. Ferat: Existiert eine Zerlegung n = a² b² dann ist eine Zerlegung gefunden durch n = (a + b) * (a b) _ Es gilt dann auch b² = a² n. Berechne dies nun für die Zahlen a n. Ist das Ergebnis eine Quadratzahl b², so ist die Zerlegung gefunden. Jochen Hores, Jonas Bühler Kryptographie & Graphentherorie 4

5 . Faktorisierung Beispiel: n = 851 _ => n = 9, => Start bei a = 30 30² 851 = 49 = 7² => a = 30, b = 7 n = (30 + 7) * (30 7) = 37 * 3 Jochen Hores, Jonas Bühler Kryptographie & Graphentherorie 5

6 . Faktorisierung Übung: Zerlege die Zahl n = 85 it der Faktorisierungsethode von Ferat. Zerlege nach der selben Methode die Zahl n = Jochen Hores, Jonas Bühler Kryptographie & Graphentherorie 6

7 3. Zusaenfassung 3. Zusaenfassung Die Kryptographie ist ier ein Wettlauf zwischen besseren Verschlüsselungsalgorithen und weiterentwickelten Algorithen, die diese Verschlüsselung knacken sollen. Das Produkt aus großen Prizahlen wird z.b. in der Public-Key Verschlüsselung benutzt. Wie an sich vorstellen kann, ist es selbst it sehr eleganten Algorithen und odernen Rechnern sehr aufwändig eine Zerlegung in große Prizahlen durchzuführen. Solange dies nicht öglich ist, sind Algorithen, die diese Art der Verschlüsselung verwenden sicher. Mit herkölichen Methoden wird dies in absehbarer Zeit nicht öglich sein, ein Unsicherheitsfaktor sind oentan die Quantencoputer. Jochen Hores, Jonas Bühler Kryptographie & Graphentherorie 7

8 1. Ungerichtete Graphen Graphentheorie 1. Ungerichtete Graphen Die einfachste For sind ungerichtete Graphen. Sie bestehen aus: Knoten (auch Ecken genannt) Kanten, die bestite Knoten iteinander verbinden. Verwendung finden Graphen bei der Wegfindung (Speditionen, Flugoptiierung), in der Elektrotechnik (Leiterbahn-Layout), vielen Gebieten der Inforatik und noch einigen weiteren Bereichen. Jochen Hores, Jonas Bühler Kryptographie & Graphentherorie 8

9 1. Ungerichtete Graphen Beschrieben werden Graphen noral durch eine Durchnuerierung der Knoten und eine Auflistung der durch Kanten verbundenen Knoten: E = {1,,3,4,5,6,7,8,9} K = {(1,5),(1,7),(1,9),(,5),...,(6,7)} Jochen Hores, Jonas Bühler Kryptographie & Graphentherorie 9

10 . Weitere Merkale. Weitere Merkale vollständig Ein Graph heißt vollständig, wenn an von jeder Ecke direkt zu jeder anderen Ecke gelangen kann. Ein vollständiger Graph it n Ecke wird it Kn bezeichnet. zusaenhängend Kann an von jeder Ecke über eine Folge von Kanten zu jeder anderen Ecke gelangen kann. Das heißt, es existieren keine isolierten Punkte. Ein Kantenzug wird durch die Folge der zu benutzenden Kanten angegeben. I oberen Beispiel würde an it k,k14 (letzte Kante) von e1 zu e6 gelangen. geschlossen Ein Kantenzug heißt geschlossen, wenn Anfangs- und Endpunkt gleich sind. Jochen Hores, Jonas Bühler Kryptographie & Graphentherorie 10

11 . Weitere Merkale Weg Wird in eine Kantenzug jede Kante (axial) einal verwendet, so heißt er Weg. Kreis Ein geschlossener Weg heißt Kreis. Länge Die Länge eines Weges ist durch die Anzahl seiner Kanten definiert. Grad Der Grad einer Ecke ist gleich der Anzahl der von ih abgehenden Kanten. isoliert Ist grad(e) = 0, so heißt die Ecke e isoliert. Jochen Hores, Jonas Bühler Kryptographie & Graphentherorie 11

12 . Weitere Merkale Übung: Zeichne K1 bis K5. Kann an K1 bis K5 jeweils in eine einzigen geschlossenen Kantenzug zeichnen? Jochen Hores, Jonas Bühler Kryptographie & Graphentherorie 1

13 3. Königsberg 3. Königsberg Die Stadt Königsberg wird durch die Pregel in vier Teile, darunter eine Insel, geteilt. Nachde insgesat sieben Brücken über die Pregel gebaut wurden, entbrannte ein Streit, ob es einen Rundweg durch die Stadt gäbe, der alle Brücken einal überquert. Euler übersetzte dieses Proble in die Sprache der Graphentheorie, inde er die Landgebiete als Ecken und die Brücken als Kanten definierte. Gibt es nun einen Kreis, der jede Kante verwendet, so heißt er eulerscher Kreis und ein Graph it eulersche Kreis heißt ebenfalls eulersch. Jochen Hores, Jonas Bühler Kryptographie & Graphentherorie 13

14 Übung: Welcher der vollständigen Graphen K bis K5 ist eulersch? Ist das Haus vo Nikolaus eulersch? Jochen Hores, Jonas Bühler Kryptographie & Graphentherorie 14

15 4. Satz von Euler 4. Satz von Euler Wenn der Graph G eulersch ist, dann hat jede Ecke einen geraden Grad G eulersch grad( e ) = n i i Jochen Hores, Jonas Bühler Kryptographie & Graphentherorie 15

16 4. Satz von Euler Wenn alle Ecken geraden Grades sind, dann existiert ein eulerscher Kreis G eulersch grad( e ) = n i i Jochen Hores, Jonas Bühler Kryptographie & Graphentherorie 16

17 4. Satz von Euler G eulersch grad( e ) = n i i Finden wir eine Ecke ungeraden Grades, so kann dieser Graph nicht eulersch sein Haben nur zwei Ecken ungeraden Grad, so kann an diese durch eine zusätzliche Kante verbinden und an erhält einen eulerschen Kreis Beweis? Jochen Hores, Jonas Bühler Kryptographie & Graphentherorie 17

18 5. Planar und plättbar 5. Planar und plättbar Planar: Kanten berühren sich höchstens in den Ecken Ist das HvN plättbar? Aufgabe: Ecken - Kanten + Gebiete =? Jochen Hores, Jonas Bühler Kryptographie & Graphentherorie 18

19 5. Planar und plättbar Planare Graphen zerlegen die Ebene in Gebiete (Länder) HvN(planar): n = 5 Ecken = 8 Kanten g = 5 Länder Wir sehen: = Aufgabe: entferne das Dach und die nach außen verlegte Diagonale Ecken - Kanten + Gebiete =? Jochen Hores, Jonas Bühler Kryptographie & Graphentherorie 19

20 6. Eulerscher Polyedersatz 6. Eulerscher Polyedersatz Für einen zusaenhängenden, planaren Graphen it n Ecken, Kanten und g Gebieten gilt: n = 4 Ecken = 5 Kanten g = 3 Länder = 3 1 n + g = Jochen Hores, Jonas Bühler Kryptographie & Graphentherorie 0

21 6. Eulerscher Polyedersatz Beweis: Vollständige Induktion Beweis über die Kantenzahl Induktionsvorrausetzung: die Aussage = 1 g = 1, n = n + stie für die Kantenzahl g = n + g = (wir setzen außerde voraus: ) n = Jochen Hores, Jonas Bühler Kryptographie & Graphentherorie 1

22 6. Eulerscher Polyedersatz Betrachten Graphen it + 1 Kanten (n Ecken, g Gebieten) zu zeigen: n ( + 1) + g = Fall 1: e, grad( e) = wir entfernen diese Ecke it dieser Kante dieser Graph erfüllt nach Induktionsvorrausetzung 1 n ' = n 1, ' = + 1 1, g' = g Fall : e, grad( e) es existiert ein Kreis entfernen einer Kante dieses Kreises: nach Induktionsvorrausetzung n' = n, ' = + 1 1, g' = g 1 n' ' + n g' = ( + = 1) + n 1 g = + g n' ' + n g' = ( + = 1) + n + g = g 1 Jochen Hores, Jonas Bühler Kryptographie & Graphentherorie

23 7. Wenig Kanten Wenig Kanten hat ein planarer zusaenhängender Graph! Nälich: 3n 6 Zu Beweis betrachten wir für jedes Gebiet eines Graphen die Zahl der g i uschließenden Kanten: Jedes Land hat indestens 3 Kanten: ( g ) 3g i Jetzt haben wir aber jede Kanten doppelt gezählt g ( g i ) ( g ) = i g1 Jochen Hores, Jonas Bühler Kryptographie & Graphentherorie 3

24 Jochen Hores, Jonas Bühler Kryptographie & Graphentherorie 4 in die Euler-Forel: g g g g i i 3 3 ) ( ) ( = n g n = n 3 1 = Multiplikation it n n qed 7. Wenig Kanten...

25 8. Plättbarkeit 8. Plättbarkeit Dank des Zusaenhangs 3n 6 zwischen Ecken und Kanten in eine planaren Graphen können wir jetzt Aussagen über die Plättbarkeit achen z.b. K5 n=5 =10 Wäre K5 planar, würde ja oben genannte Bedingung gelten: = 9 offensichtlich falsch daraus folgt, daß K5 nicht plättbar ist Jochen Hores, Jonas Bühler Kryptographie & Graphentherorie 5

26 8. Plättbarkeit Bei den 'Jeder it Jede' - Netzwerken Kn gilt: In Plättbarkeitsbedingung: ( n) = 1 n( n n( n 1) n 7n 1) 3n n = 3 n = 1 K4 ist der größte vollständige plättbare Graph 4 Jochen Hores, Jonas Bühler Kryptographie & Graphentherorie 6

27 9. Außerde 9. Außerde In jede planaren Graphen existiert eine Ecke e it grad(e) < 6 Beweis: grad( e i ) = 6n 1 Angenoen, jede Ecke habe ehr als 5 Kanten: Widerspruch grad( e i ) 6n Jochen Hores, Jonas Bühler Kryptographie & Graphentherorie 7

28 9. Außerde Übung Gibt es eine Lösung, jeden linken Knoten it allen rechten Knoten zu verbinden? Lösung: Wäre der Graph plättbar n g + = g 5 Jedes Gebiet enthält indestens 4 Kanten = 4g = Jochen Hores, Jonas Bühler Kryptographie & Graphentherorie 8

29 10. Zusaenfassung 10. Zusaenfassung G ist eulersch grad( e ) = n i i G ist planar bzw. plättbar n + g = 3n 6 Jochen Hores, Jonas Bühler Kryptographie & Graphentherorie 9