Fourier-Reihen und Fourier-Transformation

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1 Fourier-Reihen und Fourier-Transformation Matthias Dreÿdoppel, Martin Koch, Bernhard Kreft 25. Juli 23 Einleitung Im Folgenden sollen dir und die Fouriertransformation erläutert und mit Beispielen unterlegt dargestellt werden. Die Fouriertransformation erlaubt es, kontinuierliche, aperiodische Signale oder Funktionen in ein kontinuierliches Spektrum zu zerlegen, welches durch die Spektralfuntion beschrieben wird. Benannt ist diese Transformation nach dem Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier, der im Jahre 822 die Fourier-Reihen einführte, ein diskretes Analogon zur kontinuierlichen Fourier-Transformation für periodische Signale. Inhaltsverzeichnis. Der Satz von Fourier Berechnung der Koeffizienten Die komplexe Reihendarstellung: Beispiele Fouriertransformation (FT) 4 2. FT (D) für Funktionen f(x) FT für Funktionen f(t) Abschließendes Beispiel

2 . Seite von 5. Der Satz von Fourier Jede periodische Funktion kann dargestellt werden als unendliche Reihe trigonometrischer Funktionen, wenn: T x(t) dt <, d. h. x(t) absolut integrierbar ist Schwankungen von x(t) in jedem endlichen Zeitintervall T beschränkt sind nur endliche viele Unstetigkeitsstellen als Sprungstellen existieren. Es gilt dann die folgende Darstellung f(x) = a 2 + (a n cos(nx) + b n sin(mx)) () mit Fourierkoeffizienten a, a n sowie b n (siehe Folie im Anhang). Der Beweis der Fourier-Reihe erfolgt implizit durch den Beweis der Integraldarstellungen für die Fourierkoeffizienten..2 Berechnung der Koeffizienten Berechnung von a : Dafür wird f(x) über eine gesamte Periode integriert. Hier wird o.b.d.a. die Periode von {, π} gewählt. f(x)dx = a π + a n cos(nx)dx + b n sin(nx)dx Hier sind Integration und Summation vertauscht worden. Dies ist auf die Stetigkeit der Funktion innerhalb ihrer Periode (siehe Bedingung) zurückzuführen. (Bzgl. der Herleitung siehe Mathematik Analysis I ) Durch Integration über eine ganze Periode ergibt sich: cos(nx)dx = und sin(nx)dx = Dadurch erhalten wir für den Fourierkoeffiezienten a : a = π f(x)dx (2) Berechnung der Koeffizienten a n: Dazu betrachten wir folgendes Integral: f(x)dx = a cos(mx)dx + 2 }{{} = Verwende nun die trigonometrische Identität: cos(nx)cos(mx)dx+ sin(nx)cos(mx)dx cos(nx)cos(mx) = 2 cos( (n + m)x ) + 2 cos( (n m)x )

3 .3 Die komplexe Reihendarstellung: Seite 2 von 5 cos(nx)cos(mx)dx = 2 cos( (n + m)x ) dx + 2 cos( (n m)x ) dx Da (m + n), ist der erste Integrand gleich Null. Für den zweiten gilt: Für 2 cos( (n m)x ) { π für m=n dx = für m n sin(nx)cos(mx)dx verwendet man die folgende Identität: sin(nx)cos(mx) = 2 sin( (n + m)x ) + 2 sin( (n m)x ) Damit wird: sin(nx)cos(mx)dx = n, m N a n = π f(x)cos(nx)dx n N (3) Berechnung der Koeffizienten b n: Die Betrachtung des Integrals b n = π f(x)sin(nx)dx führt analog zu: f(x)sin(nx)dx n N (4).3 Die komplexe Reihendarstellung: Weil Kosinus und Sinus Bestandteil der komplexen Exponentialfunktion sind (Eulersche Formel!), existiert auch eine komplexe Reihendarstellung (siehe auch wikipedia: Fourierreihe). ) f(x) = c e + (c ne in πl x + c ne in πl x (5) = c }{{} = a 2 + ( ( π (c n + c n) cos n }{{} L x) ( π + i(c n c n) sin n }{{} L x)) =a n =b n.4 Beispiele Kippschwingung: (Sägezahn) Die Funktion: f(x) = { x für <x<π für x=,π An der Symmetrie (siehe Abb. 3) sieht man sehr schön, dass die Funktion ungerade ist. Hier reicht also die Bestimmung der Koeffizienten b n aus, weil die Fourier-Reihe eine reine Sinus-Reihe ist. Mit der oben hergeleiteten Formel:

4 .4 Beispiele Seite 3 von 5 b n = π xsin(nx)dx = 2 π Die Fourierreihe ist somit: f(x) = ( ) n+ sin(nx) n xsin(nx)dx = 2 π ( πcos(nπ) ) = 2 ( )n+ n n Abbildung : Abbildung 2: Abbildung 3: Beispiel: Komplexe Fourierreihe f(x) = he x x Aufgrund der e-funktion ist hier die Verwendung der komplexen Reihendarstellung effizienter! c n = [ = h h e x e inx dx = h e (±in)xdx ) ] (e e in e ±n }{{} =cos(n)±isin(n) = n Z = h( ( ) e ) + n i n 2 + n 2 a = 2c = h π ( e ) a n = (c n + c n) = h π ( e ) + n 2 ( b n = i(c n + c n) = h ( e ) i = h ( n e ) + n 2 + n 2 i + n 2 } {{ } c n ( + n 2 + i + n 2 ) } {{ } c n Weil die Funktion f(x) keine Symmetrieeigenschaften hat, sind alle Koeffizienten a, a n and b n ungleich Null. [ f(x) = he x = h π ( e ) 2 + ( cos(nx) + n + nsin(nx) )] 2 + n 2 [ = h π ( e ) 2 + cos(x) + sin(x) + cos(2x) + 2sin(2x) ] )

5 2. Fouriertransformation (FT) Seite 4 von 5 2 Fouriertransformation (FT) Die Fouriertransformation ist eine Integraltransformation, die sich aus der Fourier - Reihe durch einen Übergang von der Summation zur Integration herleiten lässt. Die Fouriertransformation gibt es für Funktionen f(x), f(t) sowie im R 3 für Funktionen f( r). 2. FT (D) für Funktionen f(x) Wir betrachten die komplexe Reihe f(x) = n= n= mit Koeffizienten c ±n = 2L 2L c ±n e in π 2 x (6) f(x) e in π 2 x dx ( x 2L) (7) Def.: Wellenzahl k = λ Die Wellenzahl gibt an, wie viele Schwingungen auf die Standardperiode passen. Ist die Funktion periodisch im Intervall x 2L, dann gilt: k = 2L = π L Übergang zur Fouriertransformation: n= n= e in π 2 x e ikx dx (8) Aus (6) und (7) folgen das Fourier-Integral (i) und die Fourier-Transformierte (ii): (i) f(x) = (ii) Hinweis (): f(x) e ikx dx (9) f(x) = f(x)e ikx dx = F (f(x)) () Die Fouriertransformation besteht aus Hin- und Rücktransformation, wobei (ii) als Hinund (i) als Rücktransformation bezeichnet wird. Diese müssen konsistent definiert werden. Dies ist aber nicht einheitlich, so gibt es unterschiedliche Normierungsfaktoren oder es wird zum Beispiel in Amerika das Vorzeichen des Exponenten der Exponentialfunktion in beiden Fällen umgedreht. Der Vorfaktor ( )d wird als Normierungsvolumen bezeichnet, wobei d die Dimension ist (hier: d = ). Hinweis (2): Der Übergang von der Fourierreihe zur Fouriertransformation impliziert auch den Übergang der periodischen Funktion (mit Periode 2L) zu einer kontinuierlichen aperiodischen Funktion im Grenzfall L.

6 2.2 FT für Funktionen f(t) Seite 5 von FT für Funktionen f(t) In diesem Abschnitt wird die Fouriertransformation für zeitabhängige Funktionen f(t) mit der Periode t T o betrachtet. Der Wellenvektor k ist dann zu ersetzen durch ω wegen : T = f = ω. f(t) = f(ω) e iωt dω und () f(ω) = f(t)e iωt dt (2) Hinweise: Die Fouriertransformation erlaubt es, kontinuierliche, aperiodische Signale oder Funktionen in ein kontinuierliches Spektrum zu zerlegen. Die Fouriertransformation beliebiger aperiodischer Funktionen f(t) wird auch als kontinuierliche Frequenzanalyse oder Spektralanalyse bezeichnet. Die Fouriertransformierte heißt auch Spektralfunktion. Die Fourierreihe liefert eine diskrete Zerlegung für periodische Signale oder Funktionen (vgl. Kapitel 2.3). 2.3 Abschließendes Beispiel Wir betrachten noch einmal die bereits untersuchte Ausgleichsfunktion, jedoch dieses Mal als zeitlich nichtperiodischer, d.h. einmaliger Vorgang: f(t) = he t t < (3) Die Fouriertransformation ergibt: f(ω) = f(t)e iωt dt = he t e iωt dt (4) = h e t(+iω) dt = h ( + iω) e t(+iω) ( ) = h + iω = h( iω) h( iω) = = h ( + iω)( iω) + ω 2 + ω + i ω 2 + ω 2 Anmerkungen: Das Ergebnis ist äquivalent zum Ergebnis der Fourierreihe. Die c ±n sind die diskreten Werte der Spektralfunktion (vgl. Gleichung 4) für ganze Werte von ω, d.h. c ±n = h( ± i n ) +n 2 +n 2 ω hat zwar die physikalische Bedeutung einer Kreisfrequenz, ist hier aber primär Integrationsvariable mit dem Wertebereich von bis. Die Fouriertransformierte ist komplex, d.h. sie enthält Real- und Imaginärteil und kann in Polarform geschrieben werden, z.b. in der Form = Ae iϕ mit Amplitude A und Phasenfaktor ϕ. Das Integral enthält zwar einen komplexen Integranden, aber die Integration erfolgt reell (Funktionentheorie: Integration in der komplexen Zahlenebene parallel zur x-achse, holomorphe Funtionen). Faustregel: Ist die Integrationskonstante reell, wird i als Faktor behandelt. Das Fourierintegral ("Rücktransformation") lautet: f(t) = he t = f(ω)e iωt dω = h + iω eiωt dω = h iω dω (5) + ω2 Letzter Hinweis: Die einzige Funktion, die invariant gegen Fouriertransformation ist, ist die Gauß-Kurve. Dazu gibt es ein Zusatzmaterial.