Fortgeschrittene Mathematik Raum und Funktionen

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1 Fortgeschrittene Mathematik Raum und Funktionen Thomas Zehrt Universität Basel WWZ Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 1 / 33

2 Outline 1 Der n-dimensionale Raum 2 R 2 und die komplexen Zahlen C 3 Spezielle Teilmengen von R n 4 Folgen und Konvergenz 5 Funktionen 6 Wichtige Funktionenklassen 7 Konkave und konvexe Funktionen Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 2 / 33

3 Der n-dimensionale Raum x R n : x = x 1 x 2. x n = ( ) T x 1 x 2... x n Ganze Familien von Vektoren a 1, a 2,..., a m R n lassen sich elegant in einer Matrix zusammenfassen. a 1 = a 11 a 21. a n1,..., a m = a 1m a 2m. a nm A = a 11 a a 1m a 21 a a 2m.... a n1 a n2... a nm Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 3 / 33

4 Der n-dimensionale Raum Skalarprodukt und eine Norm für x, y R n : x y = x 1 y 1 + x 2 y x n y n x = x1 2 + x x2 n Theorem Sind x, y R n mit x, y 0 und ist (x, y) der Winkel zwischen beiden Vektoren, so gilt x y = x y cos (x, y) Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 4 / 33

5 R 2 und die komplexen Zahlen C Zahlbereiche: N Z Q R C Die Menge der komplexen Zahlen ist definiert als C = {z = a + ib : a, b R, i 2 = 1} Re(z) := a Im(z) := b heisst Realteil von z heisst Imaginärteil von z Die Zahl i heisst imaginäre Zahl. Die reellen Zahlen R sind eingebettet in den komplexen Zahlen: R = {z C : Im(z) = 0} C. Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 5 / 33

6 R 2 und die komplexen Zahlen C Eine komplexe Zahl kann als Vektor im R 2, den man hier als Gaußsche Zahlenebene bezeichnet, angesehen werden. Die komplexe Zahl z := a ib heisst Konjugierte und z := + a 2 + b 2 R der Betrag von z = a + ib. Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 6 / 33

7 R 2 und die komplexen Zahlen C Jede komplexe Zahl z = a + ib lässt sich durch die Angabe des Winkels φ und der Länge r (des Vektors) eindeutig festlegen. Falls wir uns auf die Winkel φ mit 0 φ < 2π einschränken, ist die Zuordnung (a, b) (r, φ) sogar bijektiv. Die Umrechnungsformeln zwischen beiden Darstellungen sind dann durch die folgenden Formeln gegeben: a = r cos(φ) b = r sin(φ) z = a + ib r = + a 2 + b 2 φ = arctan ( ) b a z = r(cos(φ) + i sin(φ)) Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 7 / 33

8 R 2 und die komplexen Zahlen C z 1 = a 1 + ib 1 = r 1 (cos(φ 1 ) + i sin(φ 1 )) z 2 = a 2 + ib 2 = r 2 (cos(φ 2 ) + i sin(φ 2 )) Addition und Subtraktion z 1 ± z 2 = a 1 ± a 2 + i(b 1 ± b 2 ) = r 1 cos(φ 1 ) ± r 2 cos(φ 2 ) + i(r 1 sin(φ 1 ) ± r 2 sin(φ 2 )) Multiplikation z 1 z 2 = (a 1 + ib 1 ) (a 2 + ib 2 ) = a 1 a 2 b 1 b 2 + i(a 1 b 2 + a 2 b 1 ) Division = r 1 r 2 (cos(φ 1 + φ 2 ) + i sin(φ 1 + φ 2 )) z 1 = z 1 z 2 z 2 z 2 2 r 1 Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 8 / 33

9 R 2 und die komplexen Zahlen C Theorem (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes komplexe Polynom p(x) = a n x n + a n 1 x n a 0 vom Grad n (a i C und a n 0) hat genau n komplexe Nullstellen x 1, x 2,..., x n C (mit Vielfachheit). Dann gilt p(x) = a n x n + a n 1 x n a 0 = a n (x x 1 ) (x x 2 ) (x x n ). Example p(x) = x = (x i)(x + i) p(x) = x 4 1 = (x i)(x + i)(x + 1)(x 1) p(x) = x 2 2x + 1 = (x 1)(x 1) Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 9 / 33

10 Spezielle Teilmengen von R n Sei x R n und ɛ > 0 eine reelle Zahl. Dann ist die ɛ-umgebung von x die Menge U ɛ (x) = { y R n Abstand von y zu x ist kleiner als ɛ } = { y R n x y < ɛ } Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 10 / 33

11 Spezielle Teilmengen von R n Seien x, y R n. Dann ist die Verbindungsstrecke xy dieser beiden Punkte die Menge xy = { t x + (1 t) y t [0, 1] } t x + (1 t) y = y + t (x y) = y 1 y 2. y n + t x 1 y 1 x 2 y 2. x n y n ist eine Geradengleichung, Anfangspunkt ist y (falls t = 0) und Endpunkt ist x (falls t = 1). Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 11 / 33

12 Spezielle Teilmengen von R n Eine Teilmenge M R n heisst konvex, falls für alle Punkte x, y M auch die gesamte Verbindungsstrecke xy in M liegt. konvex nicht konvex Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 12 / 33

13 Spezielle Teilmengen von R n Theorem Sei A eine m n-matrix und b R m ein Vektor a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = und b =.... a m1 a m2... a mn b 1 b 2. b m Dann ist die Menge M = { x R n Ax b und x 0 } konvex. Beweis: siehe Skript! Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 13 / 33

14 Spezielle Teilmengen von R n Eine Menge M R n heisst beschränkt, wenn es eine positive reelle Zahl ɛ gibt, so dass M U ɛ (0) gilt. Sei M R n. Ein Punkt x M heisst Randpunkt von M, falls jede ɛ-umgebung von x sowohl Punkte aus M als auch aus dem Komplement M c = R n M von M enthält. Ein Punkt von M, der kein Randpunkt ist, heisst innerer Punkt von M. Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 14 / 33

15 Spezielle Teilmengen von R n Der Rand M von M ist gegeben durch M = { x R n ɛ > 0 gilt U ɛ (x) M und U ɛ (x) M c } Eine Teilmenge M R n heisst offen, wenn es für jedes x M ein ɛ > 0 gibt, so dass U ɛ (x) M. Eine Teilmenge A R n heisst abgeschlossen, wenn ihr Komplement A c = R n A offen ist. Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 15 / 33

16 Folgen und Konvergenz Eine Funktion a : N R n mit a(k) = a k für alle k N heisst Folge (mit Werten in R n ), d.h. jedes Folgenglied ist ein Vektor im R n. Üblicherweise schreibt man dann (a k ) k N. Example Sei a : N R 3 mit a k = Dann gilt z.b. a 1 = /k 1/k 2 1, a 2 =. 1/2 1/4 1 und a 3 = 1/3 1/9 1. Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 16 / 33

17 Folgen und Konvergenz Eine Folge (a k ) k N mit Werten in R n konvergiert gegen a R n, wenn für alle ɛ > 0 ein K = K(ɛ) N existiert, so dass a K, a K+1, a K+2, a K+3, U ɛ (a) Für jedes ɛ > 0 gibt es also eine (von ɛ abhängige) natürliche Zahl K, so dass ab dem K-ten Folgenglied alle Glieder der Folge in der ɛ-umgebung von a liegen. Schreibweise: a k a oder lim a k = lim k k a 1k a 2k. a nk = lim k a 1k lim k a 2k. lim k a nk = a 1 a 2. a n = a Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 17 / 33

18 Funktionen f : D( R n ) R x = (x 1, x 2,..., x n ) T f (x 1, x 2,..., x n ) = f (x) = y Die Zuordnung von x = (x 1, x 2,..., x n ) T auf f (x) kann auf verschiedene Arten gegeben sein: 1 durch eine explizite Rechenvorschrift, wie z.b. f (x 1, x 2 ) = 3x 1 x x 1 mit D = R 2, 2 durch eine implizite Gleichung, z.b. bezeichne f (x 1, x 2 ) die eindeutig bestimmte positive Lösung x 3 der Gleichung x 3 3 x 1x 3 x 2 = 0 mit x 1 R und x 2 > 0, 3 durch eine komplizierte Vorschrift, etwa einer Differentialgleichung. Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 18 / 33

19 Funktionen Es sei D R n und f : D R eine Funktion. Die Menge G f = { (x, f (x)) T x D } R n+1 heisst Graph von f. Die Niveaumenge von f zum (konstanten) Niveau c R ist N c = { x D f (x) = c } D R n Das sind alle Punkte im sbereich von f, die von f auf denselben Wert c abgebildet werden. Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 19 / 33

20 Funktionen y Graph von f Ebene y = c x 2 x 1 Niveaumenge zum Niveau c Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 20 / 33

21 Funktionen Es sei D R n, a = (a 1,..., a i 1, a i, a i+1,..., a n ) T D und f : D R eine Funktion. Die zur i ten Koordinatenachse parallele Gerade durch a im R n wird zunächst durch die Funktion: x i a 1. a i 1 x i a i+1. a n = a 1. a i 1 0 a i+1. a n + x i beschrieben. Die i te partielle Funktion von f durch a ist dann x i f (a 1,..., a i 1, x i, a i+1,..., a n ) Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 21 / 33

22 Funktionen Example Wir betrachten die Funktion y = f (x 1, x 2 ) = x1 2 x2 2 auf dem Bereich D = [ 5, 5] [ 5, 5] = { (x 1, x 2 ) 5 x 1 5 und 5 x 2 5 }. Weiterhin sei a = (0, 0) D. Die beiden partiellen Funktionen sind dann y = f (x 1, 0) = x 2 1 und y = f (0, x 2 ) = x 2 2 Die Graphen der partiellen Funktionen entstehen durch Schnitt des Graphen G f mit der Ebene x 2 = 0 (parallel zur x 1 -y-ebene) bzw. x 1 = 0 (parallel zur x 2 -y-ebene). Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 22 / 33

23 Funktionen Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 23 / 33

24 Wichtige Funktionenklassen Eine lineare Funktion ist eine Funktion der Gestalt f : R n R x = (x 1, x 2,..., x n ) T a 1 x 1 + a 2 x a n x n = a x = f (x) für beliebige reelle Zahlen a 1, a 2,..., a n bzw. a = (a 1, a 2,..., a n ) T. Im Allgemeinen definiert man eine lineare Funktion durch die folgende Eigenschaft: Für alle x, y im sbereich von f und alle reellen Zahlen a und b gilt: f (ax + by) = af (x) + bf (y). Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 24 / 33

25 Wichtige Funktionenklassen Sei A eine symmetrische (n n)-matrix. Dann heisst die Funktion Q A : R n R x = (x 1, x 2,..., x n ) T x Ax = x T Ax = n n a ij x i x j i=1 j=1 die zu A gehörige quadratische Form. Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 25 / 33

26 Wichtige Funktionenklassen Q A (x) = ( ) x T 1 0 x = x1 2 + x }{{} =A Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 26 / 33

27 Wichtige Funktionenklassen Q B (x) = ( ) 1 0 (x 1, x 2 ) 0 1 }{{} =B ( x1 x 2 ) = x 2 1 x 2 2. Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 27 / 33

28 Wichtige Funktionenklassen Q C (x) = ( ) 1 0 (x 1, x 2 ) 0 1 }{{} =C ( x1 x 2 ) = x 2 1 x 2 2. Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 28 / 33

29 Wichtige Funktionenklassen Q D (x) = ( ) 1 2 (x 1, x 2 ) 2 1 }{{} =D ( x1 x 2 ) = x x 1 x 2 + x 2 2. Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 29 / 33

30 Wichtige Funktionenklassen Sei A eine (symmetrische) (n n)-matrix. Dann heisst A positiv definit, falls Q A (x) > 0 positiv semidefinit, falls Q A (x) 0 negativ definit, falls Q A (x) < 0 (oder falls A positiv definit ist) negativ semidefinit, falls Q A (x) 0 (oder falls A positiv semidefinit ist) für alle Vektoren x 0 gilt. Die Matrix A heisst indefinit, wenn es sowohl Vektoren x mit Q A (x) > 0 als auch Vektoren y mit Q A (y) < 0 gibt. Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 30 / 33

31 Konkave und konvexe Funktionen Für eine lineare Funktion f (x) = c x gilt für t (0, 1): f ( (1 t)a + tb ) = (1 t) f (a) + t f (b) y f(b) (1 t) f(a) + t f(b) = f(a) + t (f(b) f(a)) 01 f(a) a (1 t) a + t b = a + t (b a) b x Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 31 / 33

32 Konkave und konvexe Funktionen Für nichtlineare Funktionen f ist f ( (1 t)a + tb ) meistens > (1 t) f (a) + t f (b) oder < (1 t) f (a) + t f (b) y f(b) y f(b) f( (1 t) a + t b ) (1 t) f(a) + t f(b) 01 (1 t) f(a) + t f(b) 01 f( (1 t) a + t b ) f(a) f(a) a (1 t) a + t b b x a (1 t) a + t b b x Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 32 / 33

33 Konkave und konvexe Funktionen Sei D R n eine konvexe Menge. Dann heisst eine Funktion f : D R (streng) konkav auf D, falls für alle a, b D und alle t (0, 1) gilt: f ( (1 t)a + t b ) (>) (1 t) f (a) + t f (b) (streng) konvex auf D, falls für alle a, b D und alle t (0, 1) gilt: f ( (1 t)a + t b ) (<) (1 t) f (a) + t f (b) Thomas Zehrt (Universität Basel WWZ) R n und Funktionen 33 / 33