Klausur zur Vorlesung Spieltheorie

Transkript

1 Dr. Tone Arnold Sommersemester 2006 Klausur zur Vorlesung Spieltheorie Die Klausur besteht aus drei Vorfragen und drei Hauptfragen, von denen jeweils zwei zu beantworten sind. Sie haben für die Beantwortung 90 Minuten Zeit. Verwenden Sie auf eine Vorfrage nicht mehr als 5 Minuten. Als Hilfsmittel ist ein Taschenrechner zugelassen. Viel Erfolg! Vorfragen Aufgabe Zwei Spieler spielen das folgende Konstantsummenspiel: L R T 8, 2 3, 7 B 5, 5 6, 4 a) Geben Sie die maximin Strategien der beiden Spieler an. Besitzt dieses Spiel einen Sattelpunkt in reinen Strategien? Begründen Sie Ihre Antwort. b) Bestimmen Sie alle Nash Gleichgewichte des Spiels (in reinen und gemischten Strategien, falls vorhanden). c) Lösen Sie das Spiel grafisch, indem Sie für jeden Spieler dessen Auszahlung in Abhängigkeit von den gemischten Strategien beider Spieler in einer geeigneten Grafik darstellen.

2 Aufgabe 2 Betrachten Sie folgendes Spiel: a 2 b 2 a, 5, 3 b 3, 5 2, 2 a) Bestimmen Sie alle Nash Gleichgewichte des Spiels (in reinen und gemischten Strategien, falls vorhanden). b) Nun wird das Spiel modifiziert, indem Spieler eine sogenannte Outside Option erhält. Erläutern Sie die Idee der Vorwärtsinduktion anhand dieses modifizierten Spiels. Unter welcher Bedingung bezüglich der Outside Option resultiert die Vorwärtsinduktion in einer Strategiekombination, bei der Spieler die Auszahlung 5 erhält? Aufgabe 3 Betrachten Sie das folgende sequenzielle Spiel: (0, 5) L R 2 a b l r l r (2, 2) (0, 0) (0, 0) (6, 2) a) Wieviele Teilspiele besitzt dieses Spiel? b) Geben Sie die Menge der reinen Strategien des Spielers an. c) Bestimmen Sie alle Nash Gleichgewichte in reinen Strategien. d) Überprüfen Sie jedes dieser Nash Gleichgewichte auf Teilspielperfektheit. 2

3 Hauptfragen Aufgabe 4 Betrachten Sie das folgende Spiel in Extensivform: Am ersten Knoten hat Spieler die Wahl zwischen den Aktionen Unten (U) und Rechts (R). Am zweiten Knoten hat Spieler 2 diese Aktionen zur Auswahl, und am dritten Knoten wieder Spieler. In den Klammern steht jeweils oben die Auszahlung für Spieler, und unten die für Spieler 2. R 2 R R U U U ( 0 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 20 0 ) a) Geben Sie für jeden Spieler jeweils die Menge seiner reinen Strategien an. b) Stellen Sie das Spiel in Form einer Auszahlungsmatrix dar. c) Geben Sie alle Nash Gleichgewichte des Spiels an. d) Geben Sie alle teilspielperfekten Nash Gleichgewichte des Spiels an. e) Nun wird das Spiel zweimal hintereinander gespielt. Die Auszahlung des wiederholten Spiels ist für jeden Spieler die Summe der Auszahlungen der beiden Runden (ohne Diskontierung). Wie hoch ist die maximal mögliche Auszahlung, die Spieler bzw. Spieler 2 in einem teilspiel perfekten Nash Gleichgewicht des wiederholten Spiels jeweils erreichen können? Begründen Sie Ihre Antwort. 3

4 Aufgabe 5 Zwei Firmen, A und B, stellen Energy Drinks her. Die Firmen konkurrieren mittels der Qualität ihrer Produkte. Jede Frima kann zwischen drei möglichen Qualitäten wählen: hoch (H), mittel (M), und niedrig (N). Die Gewinne der Firmen pro Periode sind in der folgenden Auszahlungsmatrix angegeben: H M N H 8, 8 9, 7, 6 M 7, 9 0, 0 2, 9 N 6, 9, 2, a) Bestimmen Sie die beiden Nash Gleichgewichte (in reinen Strategien) dieses Spiels. b) Welche Strategiekombination maximiert den gemeinsamen Gewinn (i.e. die Summe der Gewinne) beider Firmen? Stellt diese Strategiekombination ein Nash Gleichgewicht dar? c) Angenommen, die beiden Firmen interagieren über drei Perioden und maximieren jeweils die Summe ihrer (undiskontierten) Gewinne. Konstruieren Sie ein Paar von Strategien, die ein Nash Gleichgewicht des wiederholten Spiels darstellen und bei denen in zwei der drei Perioden das Ergebnis aus Aufgabenteil b) erreicht wird. d) Jetzt nehmen Sie an, die Firmen interagieren unendlich oft miteinender, und zukünftige Gewinne werden mit dem Diskontfaktor δ diskontiert. Wie hoch muss δ mindestens sein, damit ein Paar von Trigger Strategien ein Gleichgewicht darstellen? (Hinweis: Es gibt zwei Möglichkeiten, die Trigger Strategie zu konstruieren!) 4

5 Aufgabe 6 Firma A ist Monopolist in einem Markt. Firma Z erwägt einen Markteintritt. Die Preis Absatz Funktion in dem Markt ist p(y ) = 0 Y mit Y = y A + y Z. Die Grenzkosten (GK) beider Firmen sind konstant. Die der Firma Z sind c Z =. Zusätzlich entstehen der Firma Z fixe Eintrittskosten in Höhe von 9. Bezüglich der GK der Firma A herrscht asymmetrische Information: Firma A kennt ihre eigenen GK, Firma Z kennt diese nicht. Firma Z weiss aber, dass die GK der Firma entweder 0 oder 4 betragen, jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 0.5. Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung ist Common Knowledge. Es gibt zwei Perioden. In Periode ist Firma A Monopolist und produziert eine Menge ya. Firma Z beobachtet diese Menge und trifft dann ihre Eintrittsentscheidung. Tritt Firma Z in Periode 2 in den Markt ein, werden ihr sofort die GK der Firma A bekannt, und es entsteht ein Cournot Duopol mit vollständiger Information. Falls die Firma Z nicht eintritt, bleibt die Firma A in der zweiten Periode Monopolist. Der gemeinsame Diskontfaktor ist δ =, d.h. es findet keine Diskontierung statt. a) Berechnen Sie die Monopolmenge sowie den Monopolgewinn (für eine Periode) der Firma A in Abhängigkeit von ihren Grenzkosten. b) Berechnen Sie die Angebotsmengen und Gewinne der beiden Firmen in einem (eventuellen) Duopol (ebenfalls für eine Periode), ebenfalls in Abhängigkeit der GK der Firma A. Unter welcher Bedingung hätte Firma Z ein Interesse, in den Markt einzutreten, wenn sie vollständige Information hätte? c) Angenommen, Firma hat niedrige GK (c = 0). Sie möchte dies der Firma 2 signalisieren, indem sie in Periode eine höhere Menge ŷ als ihre Monopolmenge anbietet. Welche zwei Bedingungen muss diese Menge erfüllen, damit das Signal glaubwürdig ist, i.e. in einem separierenden Gleichgewicht? d) Leiten Sie ein Intervall her, innerhalb dessen ŷ die Bedingungen für ein separierendes Gleichgwicht erfüllt. e) Existiert in diesem Modell ein Pooling Gleichgewicht? Begründen Sie ihre Antwort. (Hinweis: Würde Firma Z in den Markt eintreten? Welche Menge würde jeder Typ von Firma A in der ersten Periode anbieten?) 5