Bruchterme. Klasse 8

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1 ALGEBRA Terme Bruchterme Teil Noch ohne Korrekturlesung! Klasse Datei Nr. Friedrich W. Buckel November 00 Geändert: Oktober 00 Internatsgymnasium Schloß Torgelow

2 Inhalt DATEI. Werte berechnen. Definitionsbereiche Aufgabenblatt. Werte für Bruchzahlen berechnen. Äquivalente Terme 7. Was heißt hier gleich 7. Kürzen und Erweitern bei Bruchtermen Aufgabenblatt Ein besonderer Kürzungstrick Und noch etwas zum schnelleren Rechnen. Lösungen zu allen Aufgaben 6 - DATEI Multiplikation und Division von Termen Addition und Subtraktion... folgt

3 Bruchterme. Werte berechnen. Definitionsbereiche Von Bruchtermen spricht man nur, wenn auch im Nennerterm steht. Beispiele:, + +,, + 6, +, + +, usw. Wie man sieht sind auch Summen und Differenzen von Bruchtermen wieder solche. Erinnerst du dich noch an den eigentlichen Sinn dieser Terme? In der Datei 0 Terme wurde dies aufgeschrieben: Ein Term ist eine Berechnungsvorschrift, die Zahlen, Variable (Platzhalter) und Rechenzeichen enthält. Zu jedem Term gehört eine Menge von Zahlen, genannt der Definitionsbereich. Das sind die Zahlen, mit denen man rechnen soll, indem man sie für die Variable einsetzt. Wir führen dies noch mit einigen Bruchtermen durch: (a) Es sei T () dieser Term:, wir schreiben dies so: T. Dann setzen wir einige reelle Zahlen für ein und berechnen die zugehörigen Werte: () T, T, T, T, Man darf auch beliebige andere Zahlen einsetzen, etwa so: 0 T ( ), T, T,,6, Es gibt aber eine Zahl, die man nicht einsetzen kann, weil dann die Berechnung nicht ausführbar wird: T 0. Dieser Ausdruck ist mathematisch nicht definiert, weil man nicht 0 durch 0 dividieren kann. Daher muß man die Zahl 0 bei diesem Term aus dem Definitionsbereich ausschließen. Somit heißt unsere Aufgabe nun so: Bestimme den größtmöglichen Definitionsbereich. Dann heißt für Schüler der Klasse die Lösung D Q \{ 0}, denn die größte Menge der bis dahin bekannten Zahlen ist Q, die Menge aller rationalen Zahlen.

4 Bruchterme ( ) + T Wir berechnen einige Werte: 0 + T 0, + T T 6 + T 7 Und nun bestimmen wir den maimalen Definitionsbereich. Dazu fragen wir: Welche Zahl muß man im Nenner einsetzen, damit dieser den Wert 0 liefert? d.h. wann ist 0? Die Antwort heißt: Für. Also muß aus dem Definitionsbereich ausgesperrt werden: { } D Q \. T( ) Wir berechnen einige Werte: 0+ 0 T T Welches ist der maimale Definitionsbereich? Wir setzen den Nenner 0: ergibt 6 also. 6 Diese Zahl darf nicht eingesetzt werden, weil sonst der Nenner Null wird. Also folgt: D Q \ - Testen wir doch einmal unser Ergebnis: +... T ( ) Egal, was im Zähler steht, der Nenner wird Null, was verboten ist. Dies bestätigt unsere Rechnung zum Definitionsbereich! Bestimmung des maimalen Definitionsbereichs. Man setzt den Nenner 0 und bestimmt so die Zahlen, die beim Einsetzen zu einer Division durch Null führen würden. Genau diese Zahlen sind aus der Grundmenge auszuschließen.

5 Bruchterme Beispiele im Schnellverfahren: Bestimme den maimalen Definitionsbereich für diese Terme, wenn die Grundmenge Q, die Menge der rationalen Zahlen ist : a) T Nenner 0 führt auf 0 also 0. D Q \{ 0} T Nenner 0 führt auf + 0 also -. + D Q \{-} + T 0 T + 7 Nenner 0 führt auf also 0; D Q \{ } 7 Nenner 0 führt auf also -7; 7 { } D Q \ e) T ( + )( ) Nenner 0 heißt ( + )( ) 0 Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer seiner Faktoren Null wird. Die erste Klammer wird Null für -, die zweite für. Beide Zahlen sind auszuschließen: { ; } D Q \ f) + T Nenner 0 heißt ( + 7)( ) 0 ( + 7)( ) 7. Klammer: Klammer: 0 D Q \ 7 { } ; g) T( ) 6 Nenner 0 heißt 6 0. Man muss nun die dritte binomische Formel erkennen: 6 ( )( + ) 0. Klammer: 0. Klammer: + 0 D Q \ ; { }

6 Bruchterme AUFGABENBLATT: () Bestimme die Definitionsbereiche diese Terme: a) e) + f) + g) + h) 7 + () Bestimme die Definitionsbereiche diese Terme: a) + ( + )( + ) ( + )( ) + + ( + 7)( 7) + + e) f) 0 g) + 7 h) + + i) + j) + 6 k) + ( + )( + ) l) ( )( + ) m) n) + () Faktorisiere den Nenner und bestimme dann den maimalen Definitionsbereich. a) e) + f) + 0

7 Bruchterme. Werte für Bruchzahlen berechnen Das Einsetzen von Brüchen in Terme fällt Schülern sehr schwer, weil sofort Doppelbrüche entstehen, was dann zu Problemen führen kann. Beginnen wir mit diesem Beispiel: ( ) + T. Wir wollen berechnen, welchen Wert dieser Term der Bruchzahl zwei verschiedene Berechnungswege: zuweist. Ich zeige T ( ) Hier habe ich den Doppelbruch mit erweitert, damit im Zähler und im Nenner die Drittel-Brüche wegfallen. T Und hier habe ich im Zähler und Nenner komplett berechnet und dann mit dem Kehrwert multipliziert.. Diese beiden unterschiedlichen Möglichkeiten hat man meistens. Wie groß wird der Wert für den Bruch? T T ( ) Oder dieser Term: T + Hier habe ich den Doppelbruch mit erweitert, damit im Zähler und im Nenner die Achtel-Brüche wegfallen. Und hier habe ich Zähler und Nenner komplett berechnet und dann mit dem Kehrwert multipliziert.. Wir berechnen zunächst den Wert für : T( ) Diese Rechnung muß gründlich besprochen werden. Zunächst kann man im Zähler sofort durch kürzen, was dort zur Zahl führt. Am Ende wird mit dem Kehrwert des Nenners multipliziert. Ein flotter Rechner muß übrigens nicht alles aufschreiben, was in dieser Berechnung dasteht. Einiges kann man im Kopf erledigen! Und nun die alternative Methode: T ( ) ( ) Hier wurde irgendwann mit der Zahl erweitert, um den Nenner des Nenners weg zu bekommen. Das beseitigt den Doppelbruch früher und erspart die Multiplikation mit dem Kehrwert.

8 Bruchterme 6 Wir berechnen jetzt den Wert für : T T 0 06 ( ) oder so: 06 ( ) ( + ) Die erste Rechnung geht wieder so vor, daß Zähler und Nenner berechnet werden, und am Ende erfolgt die Multiplikation mit dem Kehrwert des Nenners. Die zweite Version schafft den Doppelbruch dadurch weg, daß nach dem. Gleichheitszeichen mit erweitert wird. Damit fällt der Nenner im Nenner weg, aber auch der Nenner im Zähler. Jeder entscheide für sich, was für ihn einfacher ist. Ein drittes und letztes Beispiel: + T ( + )( ) Gesucht ist der Wert für : T Wer weiß es noch: Ein Bruch wird durch dividiert, indem man den Nenner mit multipliziert!! Dann durch Kürzen! Gesucht ist als nächstes der Wert für. ( ) T( ) AUFGABE : Berechne die Werte für die angegebenen Brüche und Bruchterme: a) + 7 T für ; und 7 T für ; und T für ( + )( ) ; und 6 T + e) + T + + für ; und für ; und.

9 Bruchterme 7. Was heißt hier gleich? Äquivalente Terme Schüler lernen in der Regel in Klasse 6, daß man Brüche erweitern und kürzen kann. Beispiel: Wir erweitern den Bruch 7 mit und erhalten Oder wir haben den Bruch und kürzen diesen durch : 6 6:. : 7 Ob wir nun erweitern oder kürzen, wir schreiben in jedem Fall: Was heißt hier gleich? Schon der bloße Anblick sagt einem, daß 7 diese Brüche nicht gleich sein können, denn einmal heißt der Zähler, und einmal ist es die 6 im Zähler. Also können die Brüche im einfachen Wortsinn nicht gleich sein! Der eine oder andere wird nun wissen oder ahnen, was gemeint sein kann: Diese Brüche haben den gleichen Wert! Sie sind gleichwertig! Diesen Wert kann man etwa mit dem Taschenrechner ermitteln. Brüche hat man ja als neue Schreibweise für die Division eingeführt. stellt eine Abkürzung für das Ergebnis der Division : 7 dar. 7 6 Und stellt eine Abkürzung für die Division 6 : dar. Erst wenn man gelernt hat, daß beide Divisionen zum selben Ergebnis führen, kann man die Brüche 7 und 6 als gleichwertig bezeichnen! Die Schreibweise 6 besagt also nicht, daß die Brüche gleich sind, 7 sondern daß sie denselben (Divisions-) Wert haben!!! Diesen Hintergrund müssen Schüler kennen, wollen sie nicht ständig eine falsche Vorstellung vom Begriff der Gleichheit haben!

10 Bruchterme. Kürzen und Erweitern bei Bruchtermen Wir schauen uns nun an, dass man Bruchterme durch Erweitern und Kürzen in gleichwertige Bruchterme umformen kann. Schauen wir uns ein Beispiel an. + T 6 Wir zerlegen den Nenner in Faktoren (wir faktorisieren den Nenner): Durch Ausklammern von erhält man zuerst ( 6). Die. binomische Formel liefert schließlich 6 ( )( + ). Damit können wir den Bruch so umformen: + ( + ) ( + ). 6 ( 6) ( )( + ) Wenn wir den Inhalt des letzten Abschnittes noch im Kopf haben, so wissen wir noch, daß eigentlich gleichwertig heißt, denn die Brüchen sehen ja verschieden aus, sind also nicht dieselben Brüche. Den letzten Bruchterm kürzen wir nun durch ( + ) und erhalten so: ( + ) ( + ) ( + ) 6 ( 6) ( ) ( + ) ( ) Unser Ergebnis ist jetzt dieser Term: T ( ). Die Terme T und T sind gleichwertig, weil T durch Kürzen aus T entstanden ist. Dies können wir jederzeit durch Berechnung von Werten nachprüfen: Wir berechnen für und für - die Werte mit beiden Termen: + T 6 und T ( ) + T T ( ) 6 ( ) + 6 T 0 T + 6 Wie man sieht, liefert T und T tatsächlich dieselben Werte, sind also gleichwertig! Jetzt kommt aber eine noch Feuerwerksrakete: Berechne bitte selbständig T ( ) und T ( )!

11 Bruchterme T ( ) 6 ( ) Die Tatsache, dass im Nenner die Null erscheint, zeigt, dass man eine Zahl eingesetzt hat, die nicht zum Definitionsbereich unseres Terms T gehört. T Aber der gekürzte Term T liefert dennoch einen Wert. Also hat sich beim Kürzen der Definitionsbereich verändert! Definitionsbereich von T : Aus Also muß man die Lösungen dieser Gleichung ausschließen, und das sind D Q \ 0 ; ± folgt 0, und -. Es folgt { } Definitionsbereich von T : Aus 0 folgt Es folgt D Q \{ 0 ;}. Nun sehen wir es ganz deutlich: 0 mit den Lösungen 0 und. Durch das Kürzen hat sich der Definitionsbereich vergrößert, denn die zuerst ausgeschlossene Zahl - gehört nach dem Kürzen durch + zum neuen Definitionsbereich hinzu. Dies hat eine Konsequenz für die Definition der Gleichwertigkeit. Zuerst sagt man, dass zwei Terme gleichwertig heißen, wenn sie zu allen Zahlen ihres Definitionsbereiches dieselben Werte liefern. Jetzt sehen wir, dass sich durch Kürzen der Definitionsbereich vergrößern kann. Dann sind die Terme für alle Werte des kleineren Definitionsbereiches gleichwertig, bei der einen Zahl, die nach dem Kürzen plötzlich zum Einsetzen zugelassen ist, kann dies natürlich nicht gelten. Wenn man dennoch Bruchterme, die durch Erweitern oder Kürzen auseinander hervorgehen, gleichwertig nennt, dann tut dies immer unter dem Vorbehalt, dass eine Zahl, die durch Kürzen zum Definitionsbereich dazukommt (oder beim Erweitern wegfällt siehe später) als Ausnahme fungieren muß! Meistens macht man es dann sogar so, daß man für den gekürzten Bruch den ursprünglichen Definitionsbereich beibehält, so daß eine wirkliche Gleichwertigkeit vorhanden ist! Beispiele: () Kürze den Term T ( ) so weit wie möglich und finde die Ausnahmezahl heraus, bei der keine Gleichwertigkeit eistieren kann!

12 Bruchterme 0 Lösung: Zerlegen in Faktoren und Kürzen liefert: T ( ) ( + ) ( ) T ( ) Vor dem Kürzen lautete der Definitionsbereich \{ 0;} nach dem Kürzen durch + gilt: D Q \{ 0}. D Q, Die Bruchterme T und T sind also äquivalent (gleichwertig) mit der Ausnahmezahl, die nach dem Kürzen zum Definitionsbereich gehört. + mit (+). Bestimme die Definitions- 6 bereiche vor und nach dem Erweitern und mache eine Aussage über die Gleichwertigkeit der Terme vor und nach dem Erweitern! () Erweitere den Term T ( ) Lösung: Erweitern ergibt ( + )( + ) + T T Man könnte Zähler und Nenner noch ausmultiplizieren, wovon ich aber abrate, denn man erhält dann diesen unübersichtlichen Term Definitionsbereiche: ( 6)( + ) T ( ) T ( )( + ) : \{ ± 6} D Q. ( 6)( + ) 0 ( 6)( + 6)( + ) 0 ergibt \{ ± 6;-} D Q. Ergebnis: Die Terme T und T (und sogar T ) sind gleichwertig. Allerdings gibt es eine Ausnahmezahl -, die beim Erweitern von T nach T zum Definitionsbereich dazu kommt. Für sie kann es daher keine Gleichwertigkeit geben. Beim nun folgenden normalen Kürzen achtet man nicht auf diese Ausnahmezahlen, sondern kürzt einfach. Man muss jedoch diese Besonderheit wissen, nämlich dass es beim Erweitern und Kürzen Ausnahmezahlen geben kann, die zum Definitionsbereich dazukommen bzw. wegfallen können.

13 Bruchterme () Der Term hat als Definitionsbereich: D Q \{ }. Durch Ausklammern und Kürzen erhalten wir einen gleichwertigen (äquivalenten) ( ) Term:. ( ) Und dieser ist gar kein Bruchterm mehr, d.h. jetzt darf man sogar jede Zahl einsetzen, auch die bisher verbotene Zahl. Also könnte man meinen, daß der Definitionsbereich nun D Q ist. Schreiben wir jedoch und bezeichnen diese Terme damit als gleichwertig, dann müssen wir auch für den gekürzten Term den ursprünglichen Definitionsbereich aufrecht erhalten! T ( ) liefert keinen Wert für : T 0 0. Aber T () liefert einen Wert für : T. Damit zwei Terme gleichwertig bleiben, muß man verlangen, daß der gekürzte Term denselben Definitionsbereich behält wie zuvor! () Gegeben ist der Term + T ( + )( ) Definitionsbereich D Q \{ ; }. mit seinem Durch Kürzen geht T in den gleichwertigen Term T über, + der diesen Definitionsbereich hätte: D Q \{ }. Weil T aber durch Kürzen aus T entstanden ist, müssen wir den ursprünglichen Definitionsbereich D Q \{ ; } auch für T beibehalten, sonst sind die Terme nicht mehr gleichwertig. MERKE: Beim Kürzen eines Bruchterms entsteht ein gleichwertiger neuer Term. Dessen Definitionsbereich könnte größer sein, weil durch das Kürzen ein Verbot für das Einsetzen wegfallen kann. Weil gegebener und gekürzter Term aber gleichwertig bleiben sollen, muß der ursprüngliche Definitionsbereich beibehalten werden.

14 Bruchterme Beispiele zum Kürzen von Bruchtermen () Ich beginne mit Termen, die mehrere Variable enthalten: (a) ( a b 6ab a b y z z y z Gekürzt wurde durch ab, weil dieser Term im Zähler und im Nenner enthalten war. Gekürzt wurde durch 6 y z, weil dieser Term im Zähler und im Nenner enthalten war. () Klammern, die man direkt kürzen kann: (a) ( ( a + ( a + a ( + 6a ( a + ( a ( a a ( a + ( a a( a + Gekürzt wurde durch (a +, weil dieser Term im Zähler und im Nenner enthalten war. Gekürzt wurde durch a (a + (a... () Klammern, die man erst durch Faktorisieren erzeugen muß: (a) ( y) y y + y + y + y Gekürzt wurde durch. ( u v u v ( u v)( u + v) ( u v) ( u+ v) ( u+ v) ( u+ v) u ( + v) Hier wurde im Zähler zuerst ausgeklammert, dann wurde bei u v die dritte binomische Formel angewandt und anschließend durch (u + v) gekürzt. ( 6+ ( ) ( )( + ) + Hier hat sich der Definitionsbereich um die Zahl vergrößert! ( + 0 ( )( + ) + + ( )( ) Die letzte Art der Faktorisierung ist am schwersten. Dazu gibt es in der Datei 0 Terme reichlich Erklärungen und Übungsmaterial. Jedenfalls kann man nach der Zerlegung des Zählers und des Nenners die Klammer ( ) herauskürzen. Hier hat sich der Definitionsbereich um die Zahl vergrößert.

15 Bruchterme AUFGABENBLATT: Kürze diese Bruchterme so weit wie möglich: () a) ab a b y z y z u v 0u v 7 yz y z e) u v w 7u v w f) y z 0 7 y z (6) a) ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) a( a + 6a ( b + a) e) ( a+ ( b+ a) (a + ( b + a) f) 0 + (7) Zerlege in Faktoren und kürze dann: a) y y e) f) () a) 6 ( + ) ( + )( ) y y y + y ( + ) e) 0+ f) () a) e) f) + 0 +

16 Bruchterme Ein besonderer Kürzungstrick Wir betrachten die beiden Terme: a b und b a. Sie liefern stets Werte mit entgegensetztem Vorzeichen. Für a und b etwa folgt: a b und b a -. Oder 7 und 7. Für folgt: bzw Dieses umgekehrte Vorzeichen können wir durch einen vorgeschalten Faktor (-) kompensieren: ( b a) b+ a a b oder ( 7 ) Wir wenden dies meist umgekehrt an und sagen: Vertauscht man die Zahlen einer Differenz, dann ändert sich das Vorzeichen: a b ( b a), 7 ( 7), ( ) ( ) usw. Dies muß man anwenden, wenn man Bruchterme dieser Art hat: a b ( b a) b a ( b a) Hier haben wir die Differenz im Zähler getauscht und dafür ein Minuszeichen erhalten. Anschließend konnte man kürzen. 0 ( 0 ) ( ) Oder hier: 6 ( ) ( ) ( )( + ) Oder so: ( + ) ( ) ( + )( ) ( + )( ) ( + ) + Oder dieses: ( )( + ) ( )( + ) ( + ) + (In einer Summe darf man ja die Summanden straflos vertauschen). Merke Dir diesen Kürzungstrick gut! Aufgabe 0 a)

17 Bruchterme Und noch etwas zum schnelleren Rechnen! Es gibt die Grundregel: Verkleinere zuerst die Zahlen, bevor du sie größer machst. Beispiele, wo das Sinn macht: a) 7 0? Viele rechnen so: und beginnen dann zu kürzen!!! Besser ist es, zuerst zu kürzen: ist schlecht gemacht! ist besser, weil gleich durch gekürzt worden ist! 0 0 ist schlecht gemacht! 6 0 geht schneller, weil zuerst durch gekürzt worden ist.