Stroppel Musterlösung , 180min. Aufgabe 1 (3 Punkte) Bestimmen Sie die Determinante der Matrix

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1 Stroppel Musterlösung 7.., 8min Aufgabe Punkte Bestimmen Sie die Determinante der Matrix A =. Geben Sie alle Lösungen x des homogenen Gleichungssystems Ax = an. Entwicklung nach der ersten Spalte: deta = det det = = Da die Determinante ungleich Null ist, ist das homogene LGS eindeutig lösbar: x =. Seite von

2 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 7.., 8min Aufgabe 5 Punkte Gegeben seien die Matrizen A :=, B := Bestimmen Sie alle ggf. komplexen Eigenwerte und zugehörigen Eigenräume.. Zu A: charakteristisches Polynom: λ λ =! Eigenwerte: λ =, λ =. { } Eigenräume: A λ E = Vλ = s s C { } A λ E = Vλ = s s C Zu B: charakteristisches Polynom: λλ + =! Eigenräume: B λ E = Vλ = B λ E = i i i Vλ = Eigenwerte: λ =, λ = i, λ = i. s s C ; +i s 5i s C ; 5 B λ E = +i i Vλ = s i i 5i 5 s C. Seite von

3 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 7.., 8min Aufgabe 6 Punkte Begründen Sie, ob folgende Reihen konvergieren. k k + k +4i a b k 6 k= k= c sinhk k= Bestimmen Sie folgende Grenzwerte. e lim x sinx 4x d k= sink kk + x+ f lim x x x 6 a Wurzelkriterium k + k k k = k + k k < Reihe konvergiert b +4i = = 5 < Die gegebene geometrische Reihe konvergiert. 6 6 c sinhk ist keine Nullfolge Reihe divergiert d sink kk + < kk + < k Somit ist eine konvergente Majorante gefunden, die Reihe konvergiert. e Hier liegt der Fall vor, deshalb ergibt sich mit der Regel von l Hospital: sinx lim x 4x = lim x cosx 4 = lim x cosx = f Hier liegt der Fall vor, deshalb ergibt sich mit der Regel von l Hospital: lim x x+ x x 6 = lim x x = 5 Seite von

4 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 7.., 8min Aufgabe 4 4 Punkte Bestimmen Sie für die Funktion x f: R R: x t expt dt das Taylorpolynom T 4 f,x, der vierten Stufe um den Entwicklungspunkt x =. Die Potenzreihe der Exponentialfunktion ist auf ganz R konvergent und kann gliedweise integriert werden: x t expt dt = = x k= k= t k+ dt k! x k+ k +k!. Die ersten Summanden liefern das gesuchte Taylorpolynom Alternative Lösung: T 4 f,x, = k= Berechnung des Integrals mit partieller Integration: fx = x x texpt dt = [texpt] x x k+ k +k! = x + x + 8 x4. expt dt = xexpx expx+. Ableitungen: Taylor-Polynom: f x = xexpx expx+ f = f x = xexpx f = f x = xexpx+expx f = f x = xexpx+expx f = f 4 x = xexpx+expx f 4 = T 4 f,x, = f! x + f! x + f! x + f! x + f4 4! Statt der partiellen Integration kann ersatzweise auch so argumentiert werden: Wegen übereinstimmender Integrationsgrenzen gilt f = texptdt =. x 4 = x + x + 8 x4. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist f x = xexpx. Seite 4 von

5 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 7.., 8min Aufgabe 5 7 Punkte Berechnen Sie die folgenden Integrale, oder begründen Sie, warum sie nicht existieren. a c 4 x exp x x dx x x dx d b 4 x x dx x x dx a Mit der Substitution ux = x x, dux dx = x, u =, u = 6 folgt x exp x x dx = 6 expudu = e 6. b Eine Partialbruchzerlegung für den Integranden lautet x x = A x + B x = Ax +Bx A =, B =. Somit ist das Integral [ x x dx = ln x + ] [ ] ln x x = ln x. c + 4 dx = ln x x lim β + β 4 β ln 4 = ln ln = ln. d Der Integrand ist an x = nicht definiert, deshalb muss die Integration an dieser Stelle aufgespalten werden. Dabei gilt für < β < : β dx = ln x x der Limes für β existiert somit wegen β lim β β = nicht, das uneigentliche Integral divergiert. β β, Seite 5 von

6 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 7.., 8min Aufgabe 6 7 Punkte Gegeben ist die Funktion f: R R: x,y xy xy +x = xy +x. Die kritischen Stellen von f sind,,,,, und, a Skizzieren Sie die Nullstellenmenge und Vorzeichenverteilung von f. b Geben Sie für jede der oben stehenden kritischen Stellen den Funktionswert von f und den Typ der kritischen Stelle an. c Geben Sie die Gleichung der Tangentialebene an den Graphen der Funktion f im Punkt,,f, an.. a y y-achse und Kreis um, mit Radius. Rechter Halbkreis negativ, an Nullstellenmenge jeweils Vorzeichenwechsel. + + x b Die Punkte, und, sind Kreuzungspunkte von Kurven aus der Nullstellenmenge, an denen jeweils ein Vorzeichenwechsel erfolgt. Hier liegen also Sattelpunkte mit Funktionswert vor. In den beiden durch die Nullstellenmenge begrenzten kompakten Halbkreisen müssen Extremwerte auftreten. Da jeweils nur eine kritische Stelle enthalten ist, müssen dies die entsprechenden Stellen sein. Damit ist f und f, c Die Stelle,, = = = = > ein Maximum < ein Minimum. ist kritisch, hat also einen verschwindenden Gradienten und der Funktionswert wurde in b bestimmt. Die Tangentialebene hat somit die Gleichung z =. Seite 6 von

7 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 7.., 8min Alternative Lösung von b mit Ableitungen: Mit dem Gradienten ergibt sich die Hesse-Matrix gradfx,y = Hfx,y = y y +x xy x 6x y y Für x = hat die Hesse-Matrix die Determinante y, die für y negativ ist. Hier liegen also Sattelpunkte mit Funktionswert vor. Für y = hat die Hesse-Matrix Diagonalform mit Determinante x, die für x positiv ist. Die Diagonal-Einträge haben das gleiche Vorzeichen wie die x-koordinate der untersuchten Stelle. Damit ist f, = ein Maximum und f, = ein Minimum. x Seite 7 von

8 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 7.., 8min Aufgabe 7 7 Punkte Bestimmen Sie alle absoluten Maxima und Minima der Funktion f: R R: x,y x+y auf der durch die Nebenbedingung 5x 6xy +5y = 6 beschriebenen Ellipse. x+y x 6y Der Gradient von f ist. Der Gradient der Nebenbedingung ist. Dieser x+y 6x+y Ausdruck wird nur für x,y =, Null. Der Punkt, erfüllt die Nebenbedingung nicht. Daraus ergibt sich das System der Lagrange-Gleichungen x+y = λx 6y x+y = λ 6x+y 5x 6xy +5y 6 = Hieraus ergibt sich λx 6y = λ 6x+y. Der Fall λ = führt auf x = y. Für λ ergibt sich x 6y = 6x+y und daraus x = y. Einsetzen in die Nebenbedingung ergibt die vier kritischen Stellen mit den Funktionswerten P =,, P =,, P =,, P 4 =, fp = 64, fp =, fp = 64, fp 4 =. Bei P und P 4 können somit keine absoluten Extrema vorliegen. Die durch die Nebenbedingung beschriebene Menge ist kompakt, also existiert mindestens ein absolutes Maximum und mindestens ein absolutes Minimum. Durch Vergleich der Funktionswerte ergibt sich bei P ein absolutes Maximum und bei P ein absolutes Minimum. Seite 8 von

9 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 7.., 8min Name, Vorname: Nummer: Matrikel- Studiengang: Aufgabe 8 Punkte Geben Sie die komplexe Zahl i in Polarkoordinaten an. cos π+isin π Bestimmen Sie diejenigen Lösungen der Gleichung z 5 = i, deren Argumente im Intervall [ π,π] liegen. Die Lösungen können in der Form z = rcosϕ+isinϕ mit r,ϕ R angegeben werden. z = cos 7 π+isin 7 π Aufgabe 9 9 Punkte Gegeben sind im Standardkoordinatensystem E = ;, der Punkt P = 6,, die beiden Vektoren v =,5 und w =,4, sowie die affine Abbildung α: R R : x 4 4 x Die Punkte P und P sind durch die Beziehungen PP = v und PP = w bestimmt. Die Punkte Q,Q und Q sind die entsprechenden Bildpunkte: Q = αp, Q = αp, Q = αp. a Geben Sie für die Punkte P und P die Koordinaten im Standardkoordinatensystem E an. E P = 4 7, E P = 8 6 b Geben Sie für die Punkte Q,Q,Q die Koordinaten im Standardkoordinatensystem E an Q =, E Q =, E 7 Q = E c Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte Q,Q,Q bezüglich des Koordinatensystems F = P;v,w und geben Sie dann die Darstellung der Abbildung α bezüglich des Koordinatensystems F an. Die allgemeine Koordinatentransformation muss dazu nicht bestimmt werden. Q =, F Q =, F Q = F F αx = F x + Seite 9 von

10 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 7.., 8min Aufgabe Punkte Gegeben sind drei Punkte P =,,, P =,6,9 und P =,4,8 im Raum R. Durch diese Punkte ist die Ebene E gegeben. Geben Sie zwei Vektoren v und w an, welche die Ebene E aufspannen und bestimmen Sie einen Normalenvektor n der Ebene E. v = 5 7 w = 6 n = Geben Sie die Hessesche Normalform der Ebene E an. 98 9x +4x +x = 6 98 Aufgabe Punkte Gegeben sei die Quadrik { } Q k := x R x +kx +x +4x x +x + = für k R. Geben Sie die Matrixbeschreibung der Quadrik in Abhängigkeit von k in der Form x A k x+a x+c = an. x k x+,,x+ = Bestimmen Sie den Rang der Matrix A k in Abhängigkeit von k. Geben Sie die Menge aller k R an, für welche die Quadrik Q k vom kegeligen Typ ist. RgA k = k k = R Aufgabe Punkte Bestimmen Sie jeweils den Konvergenzradius ρ der folgenden Reihen. a j= j j +j + z j ρ = j +4j + b j + j z 4i j ρ = 4 j j= 4 c j + j j j z j ρ = j + j= Seite von