VORLESUNGEN ÜBER VARIATIONSRECHNUNG VON ORD. PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER UNIVERSITÄT CHICAGO

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1 ^ '.. '.. ' ' VORLESUNGEN ÜBER VARIATIONSRECHNUNG VON DR.OSKAR BOLZA ORD. PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER UNIVERSITÄT CHICAGO UMGEARBEITETE UND STARK VERMEHRTE DEUTSCHE AUSGABE DER "LECTURES ON THE CALCULUS OF VARIATIONS" DESSELBEN VERFASSERS MIT 117 FIGUREN IM TEXT UNVERÄNDERTER NEUDRUCK 1949 KOEHLER & AMELANG / LEIPZIG

2 ; Inhaltsübersicht. Erstes Kapitel. Die erste Variation bei der einfachsten Klasse von Aufgaben. Seit«1. Vorläufige Orientierung üder die wichtigsten Probleme der Variationsrechnung Definitionen und Sätze über gewöhnliche Maxima und Minima Definition des Maximums und Minimums eines bestimmten Integrals Verschwinden der ersten Variation Die Euler'sche Differentialgleichung Bemerkungen zur Integration de» Euler'schen Differentialgleichung Der Fall beweglicher Endpunkte Der allgemeine <5"-Prozeß 46 Zweites Kapitel. Die zweite Variation bei der einfachsten Klasse von Aufgaben. 9. Die Legendre'scha Bedingung Die Jacobi'sche Differentialgleichung Hilfssätze über lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung Das Jacobi'sche Kriterium Geometrische Bedeutung der konjugierten Punkte Notwendigkeit der Jacobi'schen Bedingung 82 Drittes Kapitel. Hinreichende Bedingungen bei der einfachsten Klasse von Aufgaben. 15. Hinreichende Bedingungen für ein schwaches Extremum" Konstruktion eines Feldes von Extremalen Der Weierstraß'sche Fundamentalsatz Ableitung weiterer notwendiger Bedingungen aus dem Weierstraß'- schen Fundamentalsatz Hinreichende Bedingungen für ein starkes Extremum Zusammenhang des Unabhängigkeitssatzes mit der Hamilton-Jacobi'schen Theorie 128 Übungsaufgaben zu den drei ersten Kapiteln 144 Viertes Kapitel. Hilfssätze über reeue Funktionen reeuer Variabein. 21. Über die Umgebung einer Punktmenge Ein Satz über eindeutige Abbildung, und seine Anwendungen

3 Inhaltsübersicht. Seite 23. Existenztheoreme für Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen Abhängigkeit der Lösung eines Systems von gewöhnlichen Differentialgleichungen von den Anfangswerten und verwandte Fragen VII Fünftes Kapitel. Die Weierstraß'sehe Theorie der einfachsten Klasse von Problemen in Parameterdarstellung. 25. Formulierung der Aufgabe Die Differentialgleichung des Problems Anwendung der allgemeinen Existenztheoreme für Differentialgleichungen auf die Theorie der Extremalen ^ Die Weierstraß'sehe Transformation der zweiten Variation und die zweite notwendige Bedingung Die Jacobi'sche Bedingung für den Fall der Parameterdarstellung Die "Weierstraß'sehe Bedingung Das Feld und das Feldintegral Der Weierstraß'sehe Fundamentalsatz und die hinreichenden Bedingungen Existenz eines Minimums im Kleinen" Der Osgood'sche Satz Verallgemeinerung der Bedeutung des Kurvenintegrals 284 Übungsaufgaben zum fünften Kapitel 295 Sechstes Kapitel. Der Fall variabler Endpunkte 36. Die Variationsmethode Das Extremalenintegral Die Differentiationsmethode Die Brennpunktsbedingung Geometrische Bedeutung des Brennpunktes Hinreichende Bedingungen für das Problem mit einem variablen Endpunkt Der Fall zweier variabler Endpunkte 327 Siebentes Kapitel. Die Kneser'sche Theorie. 43. Darboux's Methode für die Behandlung des Problems der kürzesten Linien auf einer gegebenen Fläche Der Kneser'sche Transversalensatz und der verallgemeinerte Enveloppensatz Transformation des Integrals J durch eine PunkttranBformation Die Kneser'schen krummlinigen Koordinaten und ihre Anwendungen Folgerungen ans dem Enveloppensatz. 357 t.

4 VIII Inhaltsübersicht. Achtes Kapitel. Diskontinuierliche Lösungen. Seito 48. Die Weierstraß-Erdmann'schen Eckenbedingungen Konjugierte Punkte auf gebrochenen Extrenialen Hinreichende Bedingungen für diskontinuierliche Lösungen Diskontinuierliche Variationsprobleme Randbedingungen bei Problemen mit Gebietseinschränkungen Hinreichende Bedingungenbei Lösungen, welche Segmente der Schranke enthalten Das N e w t o n'sche Problem des Rotationskörpers kleinsten Widerstandes 407 Neuntes Kapitel. Das absolute Extrenmm. 65. Einleitende Bemerkungen Ein allgemeiner Hilfssatz über die Existenz einer Grenzkurve Beweis des Hilbert'schen Existenztheorems..." Ein Satz von Darboux über das absolute Extrenmm 438 Übungsaufgaben zum sechsten bis neunten Kapitel 444 Zehntes Kapitel. Isoperimetrische Probleme. 69. Die Euler'sche Regel Die zweite und vierte notwendige Bedingung Die Weierstraß'sche Theorie der konjugierten Punkte beim isoperimetrischen Problem Die Kn es er 'sehe Theorie der konjugierten Punkte beim isoperimetrischen Problem Der Weierstraß'sche Fundamentalsatz für isoperimetrische Probleme Hinreichende Bedingungen beim isoperimetrischen Problem Einiges über isoperimetrische Probleme bei variablen Endpunkten. 515 Übungsaufgaben zum zehnten Kapitel 528 Die Euler-Lagrange'sche Elftes Kapitel. Multiplikatoren-Methode. 66. Allgemeiner Überblick DieLagrange'scheMultiplikatorenmethode für gewöhnliche Extrema mit Nebenbedingungen Die Multiplikatorenregel für den Fall endlicher Bedingungsgleichungen Die Multiplikatorenregel für den Fall von Differentialgleichungen als Nebenbedingungen Diverse Bemerkungen zur Multiplikatorenregel DieMultiplikatorenregelfürdenFallgemischterBedingungsgleichungen Existenztheoreme für Extremalen und Reduktion der Euler-Lagrange'schen Differentialgleichungen auf ein kanonisches System Die Hamilton-Jacobi'sche Theorie 595

5 Inhaltsübersicht. IX Zwölftes Kapitel. "Weitere notwendige, sowie hinreichende Bedingungen beim Lagrange'schen Problem. & B Seite 74. Analoga der Bedingungen-ven Weierstraß und Legendre Die Kneser'sche Theorie der konjugierten Punkte beim Lagrange'- sehen Problem Die zweite Variation beim Lagrange'schen Problem Hinreichende Bedingungen beim Lagrange'schen Problem Mayer'sche Extremalenscharen 639 Dreizehntes Kapitel. Elemente der Theorie der Extrema von Doppelintegralen. 79. Die erste Variation von Doppelintegralen mit x, y als unabhängigen Variabein......" Die erste Variation von Doppelintegralen in Parameterdarstellung Die zweite Variation bei Doppelintegralen Hinreichende Bedingungen für Extrema von Doppelintegralen Übungsaufgaben zum elften bis dreizehnten Kapitel 688 Nachträge und Berichtigungen 696 Sachregister 699 Anhang (mit Lfg. 1 ausgegeben). 1 *