Vorlesung Stetige Verteilungen / Mathematische Behandlung

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1 B E A C D Z Faultät Verehrswissenschaften Friedrich List Professur für Verehrsströmungslehre Verehrssystemtheorie I+II (V.-Wirtschaft) Vorlesung..0 Stetige Verteilungen / Mathematische Behandlung Neufert, S.-O., Dr.-Ing. Faultät Verehrswissenschaften Friedrich List Dresden WIR BEWEGEN DIE WELT.

2 Normalverteilung: Die Normal- oder Gauß-Verteilung (nach Carl Friedrich Gauß) ist eine breit angewendete, ontinuierlich verlaufende Wahrscheinlicheitsverteilung. Ihre Wahrscheinlicheitsdichte wird auch Gauß-Funtion, Gauß- Kurve, Gauß-Gloce oder Glocenurve genannt. Die besondere Bedeutung der Normalverteilung beruht unter anderem auf dem zentralen Grenzwertsatz, der besagt, dass eine Summe von n unabhängigen, identisch verteilten Zufallsgrößen im Grenzwert normalverteilt ist. Das bedeutet, dass man Zufallsvariablen dann als normalverteilt ansehen ann, wenn sie durch Überlagerung einer großen Zahl von Einflüssen entstehen, wobei jede einzelne Einflussgröße einen im Verhältnis zur Gesamtsumme unbedeutenden Beitrag liefert. Viele natur-, wirtschafts- und ingenieurswissenschaftliche Vorgänge lassen sich durch die NV entweder exat oder zumindest in guter Näherung beschreiben. Bei verehrswissenschaftlichen Fragestellungen ist zu berücsichtigen, dass die NV immer auch negative Werte mit abbildet. Dichtefuntion: ϕ( u) = e π u Verteilungsfuntion: u x Φ ( u) = π e dx Der Mittelwert µ liegt beim Zenit der Gauß-Kurve. Die Standardabweichung σ beschreibt die Breite der NV. Näherungsweise gilt (für jede NV): 68,7 % aller Werte haben eine Abweichung von höchstens σ vom Mittelwert, 95,45 % aller Werte haben eine Abweichung von höchstens σ vom Mittelwert, 99,73 % aller Werte haben eine Abweichung von höchstens 3σ vom Mittelwert. (Erläuterungen zur Standardisierung bzw. Normierung der NV erfolgen in der Vorlesung)

3 Rechenbeispiel : Zwischen Dresden und Berlin wurden folgende BAB-Reisezeiten von Pw gemessen: Reisezeiten /min/: 00 / 70 / 0 / 80 / 95 / 90 / 0 / 30 / 00 / 0 / 05 / 50 / 35 / 80 / 40 / 0 / 00 / 90 / 70 / 5 / 40 / 00 / 0 / 45 / 90 / 0 / 0 / 5 / 30 / 50 / 0 / 00 / 80 / 5 / 45 / 0 / 05 / 95 / 60 / 0 / 90 / 50 / 0 / 05 / 5 / 0 / 40 / 30 / 0 / 30 Prüfen Sie, ob diese Fahrzeiten als normalverteilt angenommen werden önnen. Welcher Anteil der Pw ist a) länger als die mittlere Reisezeit, b) länger als,5 Stunden und c) nicht länger als,5 Stunden unterwegs? Ermitteln Sie die Reisezeit, die nur in 5% aller Fälle überschritten wird. Bestimmen Sie die Spitzenfatoren ψ 95 und ψ 99. Leiten Sie daraus Erenntnisse ab. (Lösungen in Vorlesung) 3

4 Klassen /min/ Klassengrenzen /min/ Klassenmitten /min/ beobachtete Häufigeiten f j standardisi erte Werte theoretische Verteilung φ(u j,gr )*n (ganzzahlig gerundet) theoretische Häufigeit h j (f j -h j ) /h j 69, ,5 3 83, ,5 6 97, ,5 4, ,5 5, ,5 5 39, ,5 8 53, ,5 67, ,5 8,5 4

5 Erlan--Verteilung: Die Erlan--Verteilung ann sowohl symmetrisch als auch rechtsschief verlaufen, was von den beiden Formparametern und λ vorgegeben wird. κ λ Dichtefuntion: f(x) = x ( )! e λx ;(x 0, λ > 0, =,,...) Verteilungsfuntion: F(x) = e λx i= 0 ( λx) i! i Die Verteilungsfuntion beginnt bei Null, schließt also negative Werte aus, was bei realitätsnahen, verehrstheoretischen Betrachtungen von Bedeutung sein ann. Für den Erwartungswert bzw. die Varianz einer erlang--verteilten Kenngröße gilt: EX = D X λ = λ und. Daraus leitet sich folgende Beziehung ab: Da in der Verteilungsfuntion eine Summe von i = 0 bis - läuft, ist ganzzahlig zu runden. Mithin ist abzuleiten, dass sich diese Verteilung versuchsweise an SPn mit einem Variationsoeffizienten größer 0 und leiner 0,85 anpassen lässt. Probleme bereitet bei dieser Verteilung die Umstellung nach x S (also nach Anteilswerten einer Verteilung, die mit S % unterschritten, höchstens erreicht werden). Eine Erlang-=-Verteilung entspricht der (sicherlich weitläufig beannten) Exponentialverteilung. (Detaillierte Erläuterung erfolgen in der Vorlesung) VX = 5

6 Exponentialverteilung: Die Exponentialverteilung ist in jedem Fall eine schiefe Verteilung. Sie benötigt einen Variationsoeffizient von rund (ca. 0,95 bis,05). Einziger Formparameter ist λ. Dichtefuntion: f ( x) = e λ λ x ;( λ > 0) Verteilungsfuntion: F( x) = e λx Für den Erwartungswert gilt: EX = λ Die Varianz berechnet sich zu: D X = λ Daraus lassen sich die Standardabweichung und der Variationsoeffizient ermitteln. Im Rahmen des Chi-Quadrat-Anpassungstests besteht die Besonderheit, dass sich aufgrund DX = EX (wegen VX = ) die Anzahl der Schätzer m bei der Bestimmung des Freiheitsgrades auf reduziert. 6

7 Weibullverteilung: Die Weibullverteilung ist unabhängig vom Variationsoeffizienten anwendbar. D.h., ihre beiden Parameter α und Θ lassen so universelle Funtionsverläufe zu, dass zunächst jede SP auf eine Weibullverteilung hin geprüft werden ann. Sie ann also symmetrisch als auch schief bis hin zu exponentiell verlaufen. Dichtefuntion f x Θ ( α ) ( ) ( ) = x e x/ Θ α α α Verteilungsfuntion: ( ) F( x) = e x/ Θ α Wie die Verteilungsfuntion zeigt, beginnt auch die Weibullverteilung bei Null. Für den Erwartungswert gilt: ( ) EX = Θ Γ + / α Der Variationsoeffizient berechnet sich über den quadratischen Ansatz: VX = Γ Γ ( + / α) ( + / α) Aus beiden Werten lässt sich die Standardabweichung (in der Grundgesamtheit als Dispersion bezeichnet) ableiten: DX = EX VX Wie die Formeln zeigen, setzt die Weibullverteilung auf die Gammafuntion auf (siehe Formelsammlung). Bitte leiten Sie sich in Vorbereitung der Übungen die Berechnungsformel für x S ab. 7

8 Umwandlung von Random-Zufallszahlen r im Intervall 0... in Zufallszahlen x, die eine Modellverteilung nachbilden: x a = x = a + (b a) r b a. Gleichverteilung: F(x). Normalverteilung: Φ( u) = e du π λx 3. Erlan--Verteilung: F(x) = e λx 4. Exponentialverteilung: F(x) = e u i= 0 u ( λ * x) i! i x = x + s x rj j= m 6 x = ln λ j= ln r x = λ r j x α Θ 5. Weibullverteilung: / F (x) = e x = Θ ( ln r) α 8

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