ZWEI LIMITATIONSSÄTZE ÜBER BEREICH- INTEGRALE

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Elke Schäfer
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1 ZWEI LIMITATIONSSÄTZE ÜBER BEREICH- INTEGRALE Autor(en): Objekttyp: Wendelin, Hermann Article Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique Band (Jahr): 5 (1959) Heft 4: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE PDF erstellt am: Persistenter Link: Nutzungsbedingungen Die ETH-Bibliothek ist Anbieterin der digitalisierten Zeitschriften. Sie besitzt keine Urheberrechte an den Inhalten der Zeitschriften. Die Rechte liegen in der Regel bei den Herausgebern. Die auf der Plattform e-periodica veröffentlichten Dokumente stehen für nicht-kommerzielle Zwecke in Lehre und Forschung sowie für die private Nutzung frei zur Verfügung. Einzelne Dateien oder Ausdrucke aus diesem Angebot können zusammen mit diesen Nutzungsbedingungen und den korrekten Herkunftsbezeichnungen weitergegeben werden. Das Veröffentlichen von Bildern in Print- und Online-Publikationen ist nur mit vorheriger Genehmigung der Rechteinhaber erlaubt. Die systematische Speicherung von Teilen des elektronischen Angebots auf anderen Servern bedarf ebenfalls des schriftlichen Einverständnisses der Rechteinhaber. Haftungsausschluss Alle Angaben erfolgen ohne Gewähr für Vollständigkeit oder Richtigkeit. Es wird keine Haftung übernommen für Schäden durch die Verwendung von Informationen aus diesem Online-Angebot oder durch das Fehlen von Informationen. Dies gilt auch für Inhalte Dritter, die über dieses Angebot zugänglich sind. Ein Dienst der ETH-Bibliothek ETH Zürich, Rämistrasse 101, 8092 Zürich, Schweiz,

2 ZWEI LIMITATIONSSÄTZE ÜBER BEREICH-INTEGRALE von Hermann Wendelin, Graz (Reçu le 10 avril 1959) Im folgenden werden zwei Limitationssâtze fur mehrdimen sionale Jordansche Intégrale tiber Jordan-messbaren Punkt mengen als Integrationsbereiche entwickelt. Die in den Sâtzen formulierten hinreichenden Bedingungen sind handlich und fûhren durch einfache Spezialisierungen auf in den meisten aus ftihrlicheren Lehrbuchern tiber Differential- und Integral rechnung anzutreffende Limitationssâtze. Dem allgemeineren zweiten Satz wird aus beweistechnischen Grunden der speziellere erste Satz vorangestellt. Wir ftihren vorerst, lediglich zur Vereinfachung der Formu lierungen und Beweisfuhrungen einige abkurzende Bezeichnun gen ein: l ) 1. Sind F (a), G (w, e),... Aussagen, die von v, bzw. von u und ç,... abhângen, so bedeute Vu: F (u) ( ':?,Fur aile u gilt F (il)' schàrfer Vu: F (u) u : Fur aile u aus der Menge m gilt F (u) ( Âhnlich ist Vw, Ve: G (w, v) u oder Vk, v: G (v, v) l % zu interpretieren 3^: F {v)": Es existiert emu,n v, sodass F (m)", usf. i) Also keineswegs mit dem Anspruch auf logistische Darstellung, die nattirlich ganz anders aussehen miisste.

3 zugeordnet 2. Sind A l7 A 2,..., A k und B Aussagen, so bedeute «Au A 2,..., A k A, folgt B".? B": Aus A ± und A2A 2 und... und 3. Tritt im Laufe eines Beweises ober einem?=" Zeichen die Nummer einer Formel Définition oder Voraussetzung auf, so bedeutet dies, dass der rechts vom = "-Zeichen stehende Ausdruck vermoge der Formel aus dem linksstehenden her vorgeht. Z.B. bedeutet (n) 5JA = B": B geht vermoge (n) aus A hervor." (Dièse Schreibweise soll nur gelegentlich zur Erleichterung der Einsicht verwendet werden, wobei kein Wert auf voll stândiges Zitieren aller gerade in Betracht kommenden Vor aussetzungen gelegt wird.) 4. A = B": B wird durch A defîniert 5. Ist 33 Punktmenge eines tt-dimensionalen euklidisch-me trischen Raumes, so bedeute J n [33] den rc-dimensionalen Jordanschen Inhalt von beschr. <f (P), 33>":?/ (P) ist auf 33 beschrànkt" (d.h. 3M, VP: / (P) < M) >0 e«7. stet. </(P), 33>":?/ (P) ist auf 33 stetig." Def. 1.? Wir erklâren nun Sei B eine réelle Zahlenmenge, deren Elementen p eindeutig eine Jordan-messbare Punktmenge 33 (p) werde. Die Menge ail dieser 33 ((3) werde mit b bezeichnet. B r sei die Menge der Hàufungs punkte von B. n.n Fur irgend zwei Elemente p' und p r/ aus i) Wobei 91.Q3 den Durchschnitt der Menge 51 mit der Menge 33 bedeute. D/ B be

4 Ich merke an (A. 1.) { Im allgemeinen ist (p', (3") ((3", (3') Es bedeute ferner Def. 3. Es werde nun folgender Hilfssatz bewiesen: (H. S.) Ad 1. Beweis von (H. S.)* (1) Die Summanden rechts sind elementefremd, daher gilt sicher (2) Subtraktion und Absolutbetragsbildung ergibt hieraus daher (3) i) Bekanntlich existieren mit J n [i'j und J n [ia J auch Intî-â]. JnC'î? S8 X. SP 2] und J n [*828 2?»!.«,].

5 Wegen der Voraussetzungen unter 1. in (H. S.) gibt es zu dem beliebig gewàhlten s>o eine reduzierte Umgebung U (p o ),? das heisst: eine Umgebung von p o, die nur den Punkt p 0 nicht enthàlt,? sodass fur aile p' und P" eu (p 0 ) gilt: (4) daher, da ist, (5) (3), (5) > (6) woraus schliesslich folgt Ad 2. Setzt man in (3) anstelle von p' und $" : p und po,p0 man, so erhâlt (7 Zufolge der Voraussetzungen unter 2. in (H. S.) ergibt lim? Bildung des linken Termes von (7) Null, also ist Wir kônnen jetzt den Satz beweisen,

6 sflte i. Beweis von Satz 1. Unter Beachtung, dass unter den gemachten Voraussetzun gen mit J/ (P) d-r, J/ (P) dr auch J/ (P) dr und J/ (P) dx existiert, hat man mit M als obérer Schranke fur / (P) in V»(P): Peß Def. 2. also (8) Nun versch.windet aber hierin unter Beachtung von V4V 4 4 und (H. S.) 2. fur lim-bildung die rechte Seite, also gilt Gleich.es auch P-P. i) V ist die Bezeicïinung der redits stelienden Voraussetzungen. 2) v2? (p) bedeute die Vereinigungmenge aller S (3), 3 e B. 3eß

7 fur die linke Seite, d.h. es ist Eine Anwendung von Satz 1. Sei / (x) ùber [a, b] integrierbar und p 0 g [a, b]. Dann gilt Zum Beweis setze man in Satz 1. fur 33 (p) ===== [a, (B], (3 0 e [a, b]. Die S (p) erfûllen dann die Bedingung E (b) und es ist lim und Vl<3V 1<3 Jl[i3(p)]J 1 [i3(p)] = Ji[S(p 0)], also Y i 1 erfullt. Dass auch Vi 2 gelten, ist unmittelbar ersichtlich. 2.. M? 51 \ 33 ct bedeute? 31 ist Teilmenge von 53 ".

8 Ad 1 (9) Beweis von Satz 2. also mit den Abkûrzungen (10) daher (11) (12) Wir untersuchen erst O, dann Y. Sei s > 0 beliebig gegeben. Ich setze Wegen V 2j4 gibt es dann eine reduzierte Umgebung U (a 0 ) von ao,a0, sodass (13) ausfâllt, umsomehr als wegen V (3 : 33 (p) eb (14)?{ 33 (15), also (a) (16) (17) Aus V 2>2 folgt auch fiir die Limesfunktion <p (P)

9 (18) Wegen V2jsV 2j5 gilt auch (17) besagt, dass Vl2V 12 fur 9 (P), (18) dass Vl3V 13 aber auch V! i ist wegen V2lV21 fur 9 (P) erfiïllt. Satz 1. auf 9 (P) angewendet ergibt daher erfûllt ist, (19) (20) Oder, was damit gleichwertig ist: Es gibt eine reduzierte Umgebung U (Po) von Poi sodass 6U( 3 0 ) 2 (a), (b)?»? (21) Wegen (11) gilt also auch (22) d.h. lim 0 (a, (3) = 0, somit nach (10): also Satz 2., 1. Ad 2. Die fur / (P, a) und 9 (P) gemachten Voraussetzungen V2V 2 3, V24V 24 und V25V 25 ermôglichen die Anwendung eines bekannten Vertauschungssatzes, wônach (23) und also auch (24) gilt.

10 Nochmalige Limitation hierin nach (3 liefert was angesichts dessen, dass J <p (P) di: eine Konstante ist, die * (Po) Behauptung unter Satz 2., 2. ergibt. Ad 3. f (P, a) erfûllt zunâchst Vl2V 12 und Vl3V 13 von Satz 1. fur aile a, desgleichen aber auch Vl3,V 13, dies, da aus V 2j3 auch folgt. In Satz 1. (25) anstelle von /(P):/ a) gesetzt, fûhrt auf sodass auch (26) wird. Aus denselben Grûnden, die (23) legitimierten, trifft wieder (27) (26), (27)? d.h., es gilt auch Satz 2., 2. (A. 2.) 1. Setzt man in Satz 2. A = B und lâsst oc 0 mit (3 0 zusammenfallen, so erhâlt man unter im iibrigen gleichen Voraussetzungen wie dort (Eine bekannte Beziehung.) 2. Satz 1. stellt einen Spezialfall von Satz 2. dar.

11 Fuhrt man die Définition ein so gilt die manchmal ntitzliche Beziehung (A. 3.) { E* (6)? E (b) wie die folgenden Ùberlegungen sofoït lehren: Schliesslich kônnen wir noch aufgrund von Satz 2. beweisen: (A. 4.) S3O)S S worin (Sj, 2,S S2O,S S 2, 3 ) bzw. (S 10, 20, 30 ) eine beliebige Anordnung der drei Parameter a, (3, y, bzw. von Beweis von (A. 4.). Es ist, wenn c z (a, b) : (28) Ich betrachte zuerst J / (x, a) dx. 9(3)

12 Die Mengeii B (P) sind hier durch die von p abhângigen Inte grationsintervalle [9 (P), c], bzw. [c, 9 (P)] gegeben und erfullen offenbar die Voraussetzung V2V 2 { ; ebenso erfûllt / (x, a) auf grund der fiir sie gemachten Voraussetzungen die entsprechenden Voraussetzungen von Satz 2, wenn man dort x anstelle von P und / (#, a0)a 0 ) anstelle von 9 (P) schreibt. Daher ist nach Satz 2.: (29) Da hierin sâmtliche Ausdrucke von y unabhàngig sind, folgt aus (29) weiter durch y = Limitation: (30) Ganz ebenso verfâhrt man mit dem zweiten Intégral der rechten Seite von (28) und erhâlt (31) (30), 31? (A. 4.), w. z. z. w.

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