Zum Nachdenken. Wenn die Zahl (123) hat, was könnte dann (123,45) 10

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3 TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Zum Nachdenken Wenn die Zahl (123) 10 den Wert hat, was könnte dann (123,45) 10 bedeuten? Wenn Sie beliebige reelle Zahlenwerte darstellen möchten, ergibt sich ein Unterschied "vor dem Komma" zu "nach dem Komma"? Grundlagen der Informatik Fakultät Informatik 4. 2b

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15 Weiteres Beispiel Umrechnung im Quellsystem TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM 4. 13b

16 TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Zum Nachdenken Sogar schon (0.1) 10 kann binär nicht exakt dargestellt werden. Das könnte ein Problem verursachen, wenn man z.b. Euro Beträge summiert. Wie könnte man das Problem lösen? Grundlagen der Informatik Fakultät Informatik 4. 13c

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18 TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Darstellung reeler Zahlen Brüche im 10er System Alle Brüche 1/10, 1/100 1/1000 etc. im 10er System sind im Binärsystem nicht durch eine abbrechende Entwicklung darstellbar. Z.B. (0.1) 10 = ( ) 2 Muss man aber sehr exakt mit Zehntel und Hundertstel etc. rechnen (z.b. im Bankwesen) gibt es folgende Alternativen: Alternative 1: Man spendiert so viele Stellen hinter dem Komma, dass bei allen denkbaren Rechenoperationen (mit allen denkbaren Zahlen) nach dem Runden der exakte erwartete Betrag resultiert b

19 TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Darstellung reeler Zahlen Brüche im 10er System Alternative 2: Man stellt Werte im 10er System dar und stellt Algorithmen zur Verfügung, um ziffernweise im 10er System zu rechnen. Beispiel BCD Darstellung (Binär codierte Dezimalzahl): Man stellt jede Dezimalziffer einzeln binär dar: 0: : : wird in BCD dargestellt als c

20 TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Darstellung reeler Zahlen Brüche im 10er System Man stellt die 4 Bit Kombination zu den Ziffern hintereinander dar, d.h. man erhält pro Byte 2 Ziffern. Zum Rechnen benötigen wir dann ziffernweise arbeitende Verfahren. Alternative 3: Man bestimmt die kleinste darzustellende Einheit und verschiebt das Komma solange nach rechts, bis man wieder nur noch mit ganzen Zahlen rechnet. Beispielsweise könnte man statt in Euro auch in Cent rechnen und erhält dadurch ganze Zahlen. Die Darstellung ist damit exakt d

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24 TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Weitere Beispiele b = 2, B = 8, Mantisse 3 Nachkommastellen+Vorzeichen, Exponent 2 Stellen+Vorzeichen (beides jeweils in Vorzeichen/Betrag Darstellung) m=0,100, e=1 z=0, =4 m=0,011, e= 11 z=0, =0, Die größte Zahl m=0,111, e=11 z=0, =448 Die kleinste Zahl größer 0 m=0,001, e= 11 z=0, =0, b

25 TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Weitere Beispiele b = 2, B = 2, Mantisse 4 Nachkommastellen+Vorzeichen, Exponent 3 Stellen+Vorzeichen (beides jeweils in Vorzeichen/Betrag Darstellung) m=0,1000, e=101 z=0, =16 m= 0,1111, e= 100 z= 0, = 0, Die größte Zahl m=0,1111, e=111 z=0, =120 Die kleinste Zahl größer 0 m=0,0001, e= 111 z=0, =0, c

26 Bemerkung zur Verschiebung des Kommas TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Ist B=b k und wird der Exponent um 1 kleiner, verschiebt sich das Komma um k nach rechts. Beispiele: b = 2, B = 8, d.h. B = b 3 0, = 0, = 1, b = 10, B = 100, d.h. B = b 2 0, = 0, = 20, d

27 Bemerkung zur Verschiebung des Kommas TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Es gibt mehrere Darstellung für denselben Wert z.b. 0, = 0, Später sollen alle Mantissen mit 0, anfangen. Die 0 wird dabei nicht gespeichert. Die Mantisse soll möglichst groß sein, damit wir möglichst viele Stellen darstellen können so verschwendet die 0, gegenüber der 0,2006 zwei Stellen für die,00 Normalisierte Darstellung (siehe später) 4. 17e

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37 TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Bereiche der Fließkommadarstellung b = 10, B = 10, Mantisse 3 Nachkommastellen, Exponent 2 Stellen (beides jeweils in Vorzeichen/Betrag Darstellung) Größte positive Zahl: 0, Kleinste positive normalisierte Zahl: 0, = Kleinste positive nicht normalisierte Zahl: 0, = b

38 TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Bereiche der Fließkommadarstellung 4. 26c

39 TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Bereiche der Fließkommadarstellung Nicht darstellbare reele Zahlen: Zahlen aus den Unterlauf oder Überlaufbereichen Aus den anderen Bereichen, z.b., 1/3, 1, d

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41 TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM IEEE Format zur Darstellung von Gleitkommazahlen Allgemeines Format: z = 1.m 1 m 2 m n. 2 e Normalisieren heißt, 1 m<2. Die "1." wird nicht gespeichert Die Mantisse wird durch Vorzeichen/Betrag dargestellt Kleine Zahlen werden nicht normalisiert gespeichert In der normalisierten Darstellung wird der Exponent in der Excess Darstellung angegeben (d.h. es gibt kein explizites Vorzeichen des Exponenten) 4. 27b

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44 TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Codierungen Darstellungen Normalisiert Nichtnormalisiert Null Infinite/ Infinite Not a Number (NaN) Bemerkung Exponent in Excess Darstellung (127 für single precision) Für kleine Zahlen, die nicht mehr normalisiert werden können Es gibt zwei Darstellungen der Null (+0, 0) Z.B. Ergebnis von 1/0 oder 1/0; begrenztes Weiterrechnen möglich Z.B. Ergebnis von 1 Codierung e>0...0, e<1...1 e=0...0, m e=0...0, m=0...0 VZ beliebig e=1...1, m=0...0 VZ=0: +, VZ=1: e=1...1, m VZ beliebig 4. 29b

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48 TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Darstellbare Zahlen (Beispiel single precision) kleinste (pos) darstellbare Zahl größte darstellbare Zahl Genauigkeit (kleinster Wert) Genauigkeit (größter Wert) Nichtnormalisiert m = = 2 23 e = = 126 z = = m = e = = 126 z = aufeinanderfolgende Zahlen: m 1 = 0.**...***0 m 2 = 0.**...***1 m 2 m 1 = 2 23 e 1 = e 2 = = 126 z 2 z 1 = = Normalisiert m = = 1 e = = 126 z = = m = e = = = 127 z = m 2 m 1 = 2 23 e 1 = e 2 = = 126 z 2 z 1 = = m 2 m 1 = 2 23 e 1 = e 2 = = 127 z 2 z 1 = = b

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