Anschauliche Funktionentheorie

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1 Anschauliche Funktionentheorie von Tristan Needham Übersetzt von Dr. Norbert Herrmann und Ina Paschen Oldenbourg Verlag München Wien

2 XIX Inhaltsverzeichnis 1. Geometrie und komplexe Arithmetik Einführung Historischer Abriß Bombeliis wilder Gedanke" Einiges zur Terminologie und Schreibweise Übungen Äquivalenz der algebraischen und geometrischen Arithmetik Die Eulersche Formel Einleitung Das Argument des bewegten Teilchens Das Potenzreihen-Argument Sinus und Cosinus und die Eulersche Formel Einige Anwendungen Einleitung Trigonometrie Geometrie Analysis Algebra Vektorrechnung Transformationen und euklidische Geometrie* Geometrie mit den Augen von Felix Klein Klassifikation von Bewegungen Drei-Spiegelungen-Satz Ähnlichkeit und komplexe Arithmetik Räumliche komplexe Zahlen? 51 Aufgaben 53

3 XX Inhaltsverzeichnis 2. Komplexe Funktionen als Transformationen Einführung Polynome Positive ganzzahlige Potenzen Verbesserte Lösung kubischer Gleichungen* Cassinische Kurven* Potenzreihen Das Geheimnis der reellen Potenzreihen Konvergenzkreis Approximation einer Potenzreihe durch ein Polynom Einzigkeit Rechnen mit Potenzreihen Berechnung des Konvergenzradius Fourier-Reihen* Die Exponentialfunktion Zugang über Potenzreihen Die Geometrie der Abbildung Ein anderer Zugang Cosinus und Sinus Definitionen und Identitäten Beziehungen zu hyperbolischen Funktionen Die Geometrie der Abbildung Mehrdeutige Funktionen Beispiel: Rationale Potenzen Einwertige Zweige einer mehrdeutigen Funktion Bedeutung für Potenzreihen Beispiel mit zwei Verzweigungspunkten Die Logarithmusfunktion Die Umkehrung der Exponentialfunktion Die logarithmische Potenzreihe Allgemeine Potenzen Mittelwert über Kreisen* Der Schwerpunkt Mittelwert über regulären Polygonen Mittelwert über Kreisen 125 Aufgaben Möbiustransformationen und Inversion Einleitung Definition und Bedeutung der Möbiustransformationen 141

4 XXI Die Verbindung mit der Relativitätstheorie von Einstein* Zerlegung in einfache Abbildungen Die Inversion Einleitende Definitionen und Tatsachen Erhaltung von Kreisen Konstruktion inverser Punkte mit Hilfe orthogonaler Kreise Erhaltung von Winkeln Symmetrieerhaltung Inversion an einer Kugel Drei anschauliche Anwendungen der Inversion Ein Problem der sich berührenden Kreise Eine seltsame Eigenschaft von Vierecken mit orthogonalen Diagonalen Satz von Ptolemäus Die Riemannsche Zahlenkugel Der Punkt Unendlich Die stereographische Projektion Übertragung komplexer Funktionen auf die Zahlenkugel Das Verhalten von Funktionen im Unendlichen Stereographische Gleichungen* Möbiustransformationen: Grundlegende Ergebnisse Erhaltung von Kreisen, Winkeln und der Symmetrie Nicht-Einzigkeit der Koeffizienten Die Gruppen-Eigenschaft Fixpunkte Fixpunkte in Unendlich Das Doppelverhältnis Möbiustransformationen als Matrizen* Zusammenhang mit Linearer Algebra einleuchtende Erfahrung Die Erklärung: Homogene Koordinaten Eigenvektoren und Eigenwerte* Drehungen der Kugel als Möbiustransformationen* Veranschaulichung und Klassifizierung* Die Grundidee Elliptische, hyperbolische und loxodromische Transformationen Lokale geometrische Interpretation des Multiplikators Parabolische Transformationen Berechnung des Multiplikators* 196

5 XXII Inhaltsverzeichnis Eigenwert-Interpretation der Multiplikatoren* Zerlegung in 2 oder 4 Spiegelungen* Einführung Elliptischer Fall Hyperbolischer Fall Parabolischer Fall Zusammenfassung Automorphismen der Einheitsscheibe* Anzahl der Freiheitsgrade Aufstellung der Formel mit dem Symmetrieprinzip Geometrische Interpretation der einfachsten Formel* Vorstellung des Riemannschen Abbildungssatzes 208 Aufgaben Differentiation: Das Konzept der Drehstreckung Einleitung Ein verwirrendes Phänomen Lokale Beschreibung von Abbildungen in der Ebene Einleitung Die Jacobi-Matrix Das Konzept der Drehstreckung Die komplexe Ableitung als Drehstreckung Rückblick auf die reelle Ableitung Die komplexe Ableitung Analytische Funktionen Eine kurze Zusammenfassung Einige einfache Beispiele Konform = Analytisch Einführung Konform in einem Gebiet Konforme Abbildungen auf der Riemannschen Zahlenkugel Kritische Punkte Schrumpfungsgrad Zusammenbruch der Konformität Verzweigungspunkte Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen Einleitung Die Geometrie linearer Transformationen Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen 242 Aufgaben 244

6 XXIII 5. Weitere geometrische Eigenschaften der Differentiation Neuformulierung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen Einleitung Die kartesische Form Die Polar-Koordinaten-Form Was bedeutet Starrheit? Anschauliche Differentiation von log(z) Differentiationsregeln Komposition Inverse Funktionen Addition und Multiplikation Polynome, Potenzreihen und rationale Funktionen Polynome Potenzreihen Rationale Funktionen Visuelles Differenzieren der Potenzfunktion Anschauliche Differentiation von exp(z) Geometrische Lösung von E' = E Eine Anwendung höherer Ableitungen: Krümmung* Einleitung Analytische Transformation der Krümmung Komplexe Krümmung Himmelsmechanik* Zentralkraft-Felder Zwei Arten elliptischer Umlaufbahnen Überführung der ersten in die zweite Art Die Geometrie der Kraft Eine Erklärung Der Satz von Kasner-Arnol'd Analytische Fortsetzung* Einleitung Starrheit Einzigkeit Erhaltung von Identitäten Analytische Fortsetzung mittels Spiegelungen 293 Aufgaben Nicht-euklidische Geometrie* Einleitung 309

7 6.1.1 Das Parallelenaxiom Einige Tatsachen aus der nicht-euklidischen Geometrie Geometrie auf einer gekrümmten Fläche Innere und äußere Geometrie Gaußsche Krümmung Flächen konstanter Krümmung Die Verbindung mit den Möbiustransformationen Kugelgeometrie Die Winkelabweichung eines sphärischen Dreiecks Bewegungen der Kugel: Räumliche Drehungen und Spiegelungen Eine konforme Karte der Kugel Räumliche Drehungen als Möbiustransformationen Räumliche Drehungen und Quaternionen Hyperbolische Geometrie Die Traktrix und die Pseudosphäre Die konstante negative Krümmung der Pseudosphäre* Eine konforme Karte der Pseudosphäre Beltramis hyperbolische Ebene Hyperbolische Geraden und Spiegelungen Die Bolyai-Lobachevsky-Gleichung* Die drei Typen direkter Bewegung Zerlegung einer beliebigen direkten Bewegung in zwei Spiegelungen Die Winkelabweichung eines hyperbolischen Dreiecks Die Poincaresche Kreisscheibe Bewegungen der Poincareschen Kreisscheibe Das Halbkugel-Modell und der hyperbolische Raum 374 Aufgaben Windungszahlen und Topologie Windungszahl Die Definition Was bedeutet "innen"? Schnelles Bestimmen der Windungszahl Gradsatz von Hopf Das Ergebnis Geschlossene Kurven als Abbildungen von Kreisen* Die Erklärung* Polynome und das Argumentprinzip 399

8 XXV 7.4 Ein topologisches Argumentprinzip* Algebraische Abzahlung der Urbilder Geometrische Abzahlung der Urbilder Welche topologische Besonderheit ergibt sich bei analytischen Funktionen? Ein topologisches Argumentprinzip Zwei Beispiele Satz von Rouche Das Ergebnis Der Fundamentalsatz der Algebra Fixpunktsatz von Brouwer* Maxima und Minima Maximumprinzip Weitere Ergebnisse Das Lemma von Schwarz-Pick* Lemma von Schwarz Satz von Liouville Resultat von Pick Das verallgemeinerte Argumentprinzip Rationale Funktionen Pole und wesentliche Singularitäten Die Erklärung* 426 Aufgaben Komplexe Integration: Der Satz von Cauchy Einführung Das reelle Integral Die Riemannsche Summe Die Trapezregel Geometrische Fehlerabschätzung Das komplexe Integral Komplexe Riemannsche Summen Eine anschauliche Technik Eine nützliche Ungleichung Integrationsregeln Komplexe Inversion Ein Kreisbogen Allgemeine geschlossene Wege Windungszahl Konjugation 454

9 8.5.1 Einführung Flächendeutung Allgemeine Wege Potenzfunktionen Integration entlang eines Kreisbogens Komplexe Inversion als Grenzfall* Allgemeine Wege und der Deformationssatz Eine Erweiterung des Satzes Residuen Die Exponentialabbildung Der Fundamentalsatz Einführung Ein Beispiel Der Fundamentalsatz Das Integral als Stammfunktion Logarithmus als Integral Parametrische Berechnung Der Satz von Cauchy Einige Vorbemerkungen Die Erklärung Der allgemeine Satz von Cauchy Das Ergebnis Die Erklärung Eine einfachere Erklärung Die allgemeine Formel für Wegintegrale 484 Aufgaben Cauchysche Integralformel und ihre Anwendungen Cauchysche Integralformel Einleitung Erste Erklärung Gaußscher Mittelwertsatz Eine zweite Erklärung und die allgemeine Cauchysche Integralformel Unendliche Differenzierbarkeit und Taylorreihen Unendliche Differenzierbarkeit Taylorreihen Rechnen mit Residuen Laurentreihe um einen Pol Eine Formel zur Berechnung von Residuen 505

10 XXVII Anwendung auf reelle Integrale Berechnung von Residuen mit Taylorreihen Anwendung auf die Summation von Reihen Laurentreihen im Kreisring Ein Beispiel Satz von Laurent 514 Aufgaben Vektorfelder: Physik und Topologie Vektorfelder Komplexe Funktionen als Vektorfelder Physikalische Vektorfelder Fluß und Kraftfelder Quellen und Senken Windungszahlen und Vektorfelder* Der Index eines singulären Punktes Der Poincaresche Index Das Indextheorem Flüsse auf geschlossenen Flächen* Formulierung des Satzes von Poincare-Hopf Definition des Index auf einer Fläche Eine Erklärung des Satzes von Poincare-Hopf 540 Aufgaben Vektorfelder und komplexe Integration Fluß und Arbeit Fluß Arbeit Lokaler Fluß und lokale Arbeit Divergenz und Rotation in geometrischer Form* Divergenzfreie und rotationsfreie Vektorfelder Komplexe Integration und Vektorfelder Das Pölya Vektorfeld Der Satz von Cauchy Beispiel: Fläche als Fluß Beispiel: Windungszahl als Fluß Lokales Verhalten von Vektorfelder* Cauchysche Formel Positive Potenzen Negative Potenzen und Multipole 570

11 XXVIII Inhaltsverzeichnis Multipole im Unendlichen Laurentreihen als eine Multipolentwicklung Das komplexe Potential Einleitung Die Stromfunktion Das Gradientenfeld Die Potentialfunktion Das komplexe Potential Beispiele 585 Aufgaben Ströme und harmonische Funktionen Harmonische Duale Duale Ströme Harmonische Duale Konforme Invarianz Konforme Invarianz harmonischer Funktionen Konforme Invarianz des Laplace-Operators Die Bedeutung des Laplace-Operators Ein mächtiges Berechnungshilfsmittel Die komplexe Krümmung, neue Bearbeitung* Etwas Geometrie der harmonischen Äquipotentiallinien Die Krümmung harmonischer Äquipotentiallinien Weitere Umformungen der komplexen Krümmung Weitere geometrische Eigenschaften der komplexen Krümmung Ströme um ein Hindernis Einleitung Ein Beispiel Die Spiegelungsmethode Abbildung einer Strömung auf eine andere Die Physik des Riemannschen Abbildungssatzes Einleitung Äußere Abbildungen und Strömungen um Hindernisse Innere Abbildungen und Dipole Innere Abbildungen, Wirbel und Quellen Ein Beispiel: Automorphismus der Kreisscheibe Greensche Funktion Problem von Dirichlet Einführung 645

12 XXIX Schwarzsehe Interpretation Dirichletsches Problem für die Kreisscheibe Die Interpretationen von Neumann und Bocher Allgemeine Greensche Formel 657 Aufgaben 662 Literaturverzeichnis 667 Sachverzeichnis 673