KLAUSUR ZUR TECHNISCHEN MECHANIK I Termin: 17. März 2012 Die Bearbeitungszeit für alle drei Aufgaben beträgt 90 Minuten.

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1 KLAUSUR ZUR TECHNISCHEN MECHANIK I Termin: 7. März Die Bearbeitungszeit für alle drei Aufgaben beträgt 9 Minuten. AUFGABE (6 Punkte) Der Stab in Abb. mit l =,5 m ist in gelenkig gelagert und in abgestützt. In wirkt die Kraft F = 8. N. a) Man bestimme die Reaktionen in den Bindungen und sowie b) die Schnittgrößen in den Abschnitten, und und ihre graphische Darstellung. Wo befindet sich der gefährdete Querschnitt? Die Abschnitte, und des Stabes sind mittelbreite I-8 Träger. c) Man ermittle die Normalspannungsverteilung im gefährdeten Querschnitt und ihre graphische Darstellung sowie die maximalen Zug- und Druckspannungen im gefährdeten Querschnitt. Für den I-8 Träger gelten A = 7,64 cm, I yy = 8, cm 4 und W y =, cm. Abb. 4 l 5 F l 5 y z 6 l 5

2 LÖSUNG a) Freischneiden H 4 l 5 F V l 5 6 l 5 Mi() = F 4 5 l+f N l = F N = 5 F =.,N FiH = H = F N FiV = F +V +F N = V = F F N = 4.8,N Kontrollgleichung b) Schnittgrößen Mi() = V 4 5 l+f N 6 5 l = V x 4 l 5 F l 5 x x 6 l 5 F N V 4 l 5 M y F N x x Q z Q V z M y N M y N Q z 6 l x F N 5

3 < x < 4 5 l, N =, Q z = V = 4.8,N, M y = V x, x = M y =, x = 4 5 l M y = 4 5 V l =.9,Nm, < x < 5 l, N = V F =.,N, Q z =, M y = V 4 5 l = konst < x < 6 5 l, N =, Q z = F N =.,N, M y = F N ( 6 5 l x ), x = M y = 5 Fl =.9,Nm, x = 6 5 l M y = Schnittgrößendiagramme N. N Q z 4.8 N. N.9 Nm M y.9 Nm Die gefährdeten Querschnitte befinden sich im Bereich mit N =. N und M y =.9Nm.

4 c) Normalspannungsverteilung in den gefährdeten Querschnitten im Abschnitt mit N =. N und M y =.9Nm. z y z M y N x N A M y W y My W y maximale Zugspannung σ xx = N A + M y W y = ( 4,9+96,) N/mm = 9,8 N/mm, maximale Druckspannung σ xx = N A M y W y = ( 4,9 96,) N/mm =,9 N/mm. 4

5 Technische Mechanik I AUFGABE (6 Punkte) Das System in Abb. besteht aus dem Stab, der in eingespannt ist. In und sind Rollen mit dem Radius r angelenkt. Über die Rollen ist ein Seil geschlungen, welches die Last G hält. a) Man bestimme die Reaktionen in allen Bindungen. b) Für den Stab berechne man die Schnittgrößen und stelle sie graphisch dar. Wo befindet sich der gefährdete Querschnitt des Stabes? Abb. r l l r l G 5

6 LÖSUNG a) Freischneiden V S S r H H V l l l H M x V H x x V S S S r V H G Last FiV = S G = S = G Rolle Mi() = S r S r = S = S = G FiH = H +S cos(45 ) = H = S cos(45 ) =,77G FiV = V S +S sin(45 ) = V = S S sin(45 ) =,9G Rolle Mi() = S r S r = S = S = G FiH = H +S S cos(45 ) = H = S S cos(45 ) =,9G FiV = V S sin(45 ) = V = S sin(45 ) =,77G Stab FiH = H +H +H = H = H +H = G 6

7 FiV = V V V = V = V +V = G Mi() = M V l H l V l = M = V l+h l+v l = Gl Kontrollgleichung Mi() = M V l+v l H l = b) Schnittgrößen im Stab H M V V H l x M y V M y H H M y Q z N N x M Q l N z x Q z V < x < l, N = H = G, Q z = V = G, M y = M +V x = Gl+Gx, x = M y = Gl, x = l M y = Gl, < x < l, N = H H =,9G, Q z = V V =,77G, M y = M +V ( l+x ) V x = Gl+,77Gx, x = M y = Gl, x = l M y =,46Gl, < x < l, N = V =,77G, Q z = H =,9G, M y = H ( l x ) x = M y =,46Gl, x = l M y = Schnittgrößendiagramme,77G N G,9G 7

8 ,9G Q z G,77G M y Gl,5Gl,46Gl,46Gl Der gefährdete Querschnitt des Stabes befindet sich in (x = ) mit N = G und M y = Gl. 8

9 Technische Mechanik I AUFGABE (8 Punkte) Der Stab in Abb. ist in gelenkig gelagert und in und abgestützt. Es wird in durch die Kraft F belastet. Die Biegesteifigkeit dieses einfach statisch unbestimmt gelagerten Stabes ist EI yy = EI = konst. Man bestimme a) die Reaktionen in allen Bindungen und b) die Gleichungen der Biegelinie in den Abschnitten, und. Man skizziere auch den Verlauf der Biegelinie und berechne die Verschiebung des Angriffspunktes in Richtung der Kraft. Abb. l 4 l 4 l F 9

10 LÖSUNG a) Freischneiden H V = X x l 4 l 4 l F N x FN x F Mi() = F 4 5 l X 6 5 l+f N 4 5 l = F N = F + X Mi() = F 8 5 l X 5 l+f N 4 5 l = F N = F + X FiH = H = Kontrollgleichung FiV = F +X F N +F N = Schnittgrößen F X M y N x Q X z F N l 5 M y N x Q z M y N Q z 4 l x 5 < x < 5 l, M y(x ) = X x, < x < 4 5 l, M y(x ) = X ( 5 l+x ) F N x = (F + X)x + 5 Xl, < x < 4 5 l, M y(x ) = F ( 4 5 l x ) = Fx 4 5 Fl, Bereich x : EI[w(x )] = M y (x ) = Xx, EI[w(x )] = Xx +C, EIw(x ) = 6 Xx +C x +C Randbedingungen: w(x = ) = C =,

11 Bereich x : w(x = 5 l) = C = 75 Xl EI[w(x = 5 l)] = 4 75 Xl EI[w(x )] = M y (x ) = (F + X)x Xl 5 EI[w(x )] = (F + X)x 5 Xlx +C, EIw(x ) = 6 (F + X)x 5 Xlx +C x +C 4 Übergangsbedingungen: w(x = ) = C 4 = [w(x = 5 l)] = [w(x = )] C = 4 75 Xl w(x = 4 5 l) = X = F V = X = F, F N = F, F N = 7 F F l 4 l 4 l F 7 F F b) Gleichungen der Biegelinie: Bereich x : EI[w(x )] = Fx Fl, EIw(x ) = 9 Fx Fl x Bereich x : Bereich x : EI[w(x )] = Fx 4 5 Flx 8 5 Fl, EIw(x ) = 9 Fx 5 Flx 8 5 Fl x EI[w(x )] = M y (x ) = Fx Fl, EI[w(x )] = Fx Flx +C 5, EIw(x ) = 6 Fx + 5 Flx +C 5 x +C 6 Randbedingungen: w(x = ) = C 6 =,

12 [w(x = 4 5 l)] = [w(x = )] C 5 = 8 45 Fl EI[w(x )] = Fx Flx Fl, EIw(x ) = 6 Fx + 5 Flx Fl x Darstellung der Biegelinie EI[w(x )] = Fx Fl = x =,l EI[w(x )] = Fx 4 5 Flx 8 5 Fl = x =,56l Verschiebung des Punktes in Richtung der Kraft F: w(x = 4 5 l) = w = 5 Fl 5 EI l 4 l 4 l x x F w

13 KLAUSUR ZUR TECHNISCHEN MECHANIK II Termin: 7. März Die Bearbeitungszeit für alle drei Aufgaben beträgt 9 Minuten. AUFGABE (6 Punkte) Das System in Abb. dreht sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω = 5 rad/s um die vertikale Achse. An der Drehachse ist in ein Stab von der Länge l =,9 m angelenkt, dessen Ende durch ein horizontales Seil in der dargestellten Lage mit α = 5 gehalten wird. Entlang des Stabes kann sich ein punktförmiger Körper von der Masse m verschieben, der durch eine Feder in der dargestellten Lage gehalten wird. Die Federkonstante ist c = 4, 6 kn/m, die unverformte Länge ist s =, m und die aktuelle Länge beträgt s =,5 m. a) Für welchen Wert der Masse m befindet sich der Körper in der dargestellten Lage im relativen Gleichgewicht? b) Mit diesem Wert für m berechne man die Stützkraft zwischen Körper und Stab. c) Man bestimme die Reaktionen in und sowie die Schnittgrößen des Stabes und ihre graphische Darstellung. Wo befindet sich der gefährdete Querschnitt des Stabes? Abb. ω s s cos(α) α l α α c s m s ssin(α)

14 LÖSUNG a) Freischneiden des Körpers Auf den freigeschnittenen Körper von der Masse m wirken folgende Kräfte: - die Gewichtskraft mg - die Federkraft F e = c(s s ) mit c = 4.6 N/m, s =,5 m und s =, m ergibt F e =, N - die Trägheitskraft (Fliehkraft) F n (T) = mrω mit r = ssin(α) =,9 m - die Stützkraft F N α F e F N α mg y α F (T) n x Fix = mgcos(α) F e cos(α)+f (T) n sin(α) = m = mg = 4,676N, F e cos(α) gcos(α)+rω sin(α) =,496kg F (T) n = mrω = 7,65N, b) Berechnung von F N Fiy = mgsin(α) F e sin(α) F N +F (T) n cos(α) = c) Stab F N = F e sin(α) mgsin(α)+f (T) n cos(α) =,64N z x N Q l l F N F F sin(α) α F cos(α) Auf den freigeschnittenen Stab wirken folgende Kräfte: - in die Stützkraft F N 4

15 - im Gelenk die Kräfte N und Q - in die Seilkraft F Es gelten l = scos(α) =,57 m und l = l l =,7 m Mi() = F N l F cos(α) l = F = 86,77N Mi() = F N (l l )+Q O l = Q O = 4,564N Fix = N O F sin(α) = N O = 49,77N FN N F sin(α) Q x x F cos(α) l l Schnittgrößen der Abschnitte und N Q x M y M y F sin(α) N N Q F cos(α) z Q z l x < x < l =,57m, N = N = 49,77N,, Q z = Q = 4,564N, M y = Q x, x = M y =, x = l M y = Q l =,4Nm < x < l = l l =,7m, N = F sin(α) = 49,77N,, Q z = F cos(α) = 7,79N, M y = F cos(α) (l x ), x = M y = F cos(α) l =,4Nm, x = l M y = N 49,77 N Q z 4,564 N 7,79 N 5

16 M y,4 Nm Der gefährdete Querschnitt befindet sich an der Stelle (x = l ) und die Schnittgrößen sind N = 49,77 N und M y =,4 Nm. 6

17 Technische Mechanik II AUFGABE (6 Punkte) Das System in der Abb. besteht aus den Körpern mit den Massen m = 5 kg und m = kg, die mit einem Seil verbunden sind. Das Seil ist über eine feste Rolle mit dem Radius r =,5 m und dem axialen Trägheitsmoment J O =,5 kg m geschlungen. Auf dem Körper mit der Masse m liegt ein Körper mit der Masse m = kg. Der Körper mit der Masse m ist mit einer Feder verbunden, die in der Lage mit s = unverformt ist. Die Federkonstante ist c = N/m. Die Bewegung beginnt aus dem Ruhezustand in der Lage I mit s =. a) Man ermittle die Geschwindigkeit v II = ṡ und die Beschleunigung s in die Zwischenlage II, nachdem die Körper den Weg s zurückgelegt haben. b) Man berechne die Geschwindigkeit v III in die Lage III, nachdem die Körper den Weg s I III = h =, m zurückgelegt haben. c) In der Lage III bewegt sich der Körper mit der Masse m durch einen Ring, welcher die Masse m zurückhält. Danach bewegt sich das System ohne die Masse m bis in die Lage IV, in der die Geschwindigkeit gleich null wird. Man bestimme den aus der Lage III bis in die Lage IV zurückgelegten Weg h. Abb. r,j O r I O ϕ = s/r II h h I II s III IV m m m c s s IV III II I II I h h 7

18 LÖSUNG Konservatives System sowohl im Abschnitt I III vor dem Verlust der Masse m alsauchimabschnittiii IV nachdemverlustdermassem mitunterschiedlichen Gesamtenergien. a) Es wird angenommen, dass das Potential der Gewichtskräfte und der Federkraft in der Lage I mit s = und unverformter Feder gleich null ist. Lage I mit E ki = und E pi = sowie E mi = E ki +E pi =. Lage II: Lageparameter s und ϕ = s/r sowie Geschwindigkeiten ṡ und ϕ = ṡ/r E kii = (m +m )ṡ + m ṡ + J O ϕ = ( m +m +m + J O )ṡ = r m eṡ, m e = m +m +m + J O r = 57,45kg, E pii = (m +m )gs+m gs+ cs = (m +m m )gs+ cs, E mii = E kii +E pii = m eṡ (m +m m )gs+ cs E mi = E mii = ṡ = m e [ (m +m m )gs cs]. ( ) Ableitung nach der Zeit der Gleichung ( ) ṡ dṡ dt = m e [ (m +m m )gṡ csṡ ] = m e [ (m +m m )g cs ] ṡ s = m e [ (m +m m )g cs ]. b) In der Lage III mit s I III = h =, m und ṡ = v III folgt aus Gl. ( ) [ v III = (m +m m )gh ] m e ch =,49m/s. c)nach dem Verlust der Masse m hat das System in der Lage III folgende Energiewerte E kiii = ( m +m + J ) O v r III = 4,48J und E piii = ( m +m )gh + ch = 4,65Nm, E miii = E kiii +E piii = 8,5J. In der Lage IV ist die Geschwindigkeit gleich null und somit E kiv =. Das Potential in der Lage IV ist E piv = ( m +m )g(h +h )+ c(h +h ) = 4,65Nm+(6,N)h +(5,N/m)h. Aus E kiii + E piii = E kiv + E piv = 8,5 J folgt die quadratische Gleichung zur Berechnung von h h +(,6m)h (,4m ) = mit der sinnvollen Lösung h =,6m. Mit diesem Wert ist die Gesamtenergie in der Lage IV E miv = 8,475J. 8

19 m,r,j Technische Mechanik II AUFGABE (8 Punkte) DasSysteminAbb. bestehtauseinerfestenrollevondermassem = kg, mit dem Radius r =,5 m und dem axialen zentralen Trägheitsmoment J =,75 kg m. Auf die Rolle wirkt das Antriebsmoment M = 5 Nm. Über die Rolle ist ein Seil geschlungen, an dessen einem Ende der Körper von der Masse m = 45 kg befestigt ist. Das andere Ende des Seils ist über die Rolle geführt und auch mit dem Körper von der Masse m verbunden. Die Rolle hat die Masse m = kg, den Radius r =,5 m und das axiale zentrale Trägheitsmoment J =,95 kg m. Auf die Rolle wirkt auch die vertikale Kraft F = N, die das Seil auf Spannung hält. a) Man bestimme den Zusammenhang zwischen den kinematischen Parametern s und ϕ sowie deren erste und zweite Ableitungen nach der Zeit. b) ManberechnedieBeschleunigungen sund ϕsowiediekräfteinallenbindungen. Abb. m,r,j M r ϕ s m ϕ F 9

20 LÖSUNG a) Kinematik: s = rϕ, ṡ = r ϕ s = r ϕ () b) Freischneiden J ϕ S H m g S V M ϕ S s m s mg S S ϕ m g F N S J ϕ F Rolle Mi() = M +S r S r+j ϕ =, () FiH = H =, FiV = V m g S S = () Rolle Mi() = S r+s r +J ϕ = (4) FiH = F N =, FiV = m g +S +S F = (5) Masse m FiV = mg +S S m s = (6) Aus () wird S S und aus (4) wird S S bestimmt. Durch addition folgt S S = M r J r ϕ J r ϕ. Dieses Zwischenergebnis wird in Gl. (6) eingesetzt und () berücksichtigt s = M mg r m+ J + J =,96 m/s, ϕ = 8,784rad/s r r

21 Kräfte in den Bindungen S = ( F +m g J r ϕ) = 8,46N, S = ( F +m g + J r ϕ) +m(g + s) = 754,N, S = ( F +m g + J r ϕ) =,84N, V = m g +m(g + s)+m g +F =.,77N.