Aufgabe 1.1. Aufgabe 1.2. Aufgabe 1.3. FernUNI Hagen WS 2002/03. Mathematik II für WiWi s (Kurs 0054) Mentorin: Stephanie Schraml

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1 FernUNI Hagen WS 00/0 Aufgabe 1.1 Berechnen Sie jeweils die 1. Ableitung der Funktion f: 1- a) f() = e 1+ e + b) f() = (+) Aufgabe 1. Von einer Funktion f ist bekannt: (1) f ist ein Polynom. Grades () f hat an der Stelle 0 eine Nullstelle () f hat an der Stelle einen Etremwert (4) f hat an der Stelle 0 einen Wendepunkt (5) f () = 1 für alle R Geben Sie die Funktionsgleichung für f an. Aufgabe 1. a) Bestimmen Sie die 1. Ableitung der Funktion f() = sin (1+ ) b) Berechnen Sie die 1. und. Ableitung der Funktion a f() = + mit a R und bestimmen Sie dann a R so, dass die Funktion f für diesen (Parameter-) Wert von a an der Stelle = ein Minimum besitzt. 0 Seite 1 von 7

2 FernUNI Hagen WS 00/0 Aufgabe 1.4 Gegeben sei die Funktion f() = 9 a) Geben Sie die Zerlegung von f in Linearfaktoren an. b) Bestimmen Sie die Stellen, an denen die Funktion (1) ein relatives Minimum () ein relatives Maimum () einen Wendepunkt annimmt c) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion. d) Bestimmen Sie das absolute Maimum und das absolute Minimum der Funktion auf dem Intervall [ 1,4 ]. Aufgabe 1.5 a) Berechnen Sie für die Funktion f() = ln die 1. Ableitung b) Berechnen Sie für die Funktion ( + ) 4 f() = die 1. und. Ableitung Seite von 7

3 FernUNI Hagen WS 00/0 Aufgabe 1.6 a) Berechnen Sie die 1. Ableitung dy d y = f () = (log (+ )) 1 a der Funktion, die gegeben ist durch: b) Überprüfen Sie, ob die 1. Ableitung der Funktion 1 f () = 1 e mit der Funktion - g() = e 1- übereinstimmt. c) Zeigen Sie, daß: [ ln(f ())] ' = -1 Seite von 7

4 FernUNI Hagen WS 00/0 Aufgabe 1.7 a) Es sei f() = a + b + c - d Bestimmen Sie die Polynomkoeffizienten a, b, c und d aus den folgenden Angaben (1) f(0) = 0 () f'(0) = -15 () f besitzt in = - einen Wendepunkt (4) die Steigung der. Ableitung ist (konstant) gleich 6. b) Gegeben sei die Funktion: f() = + 15 (1) Berechnen Sie alle Nullstellen von f () Zeigen Sie f() in Linearfaktoren () Berechnen Sie die Stelle, an der f einen Wendepunkt bestitzt. Aufgabe 1.8 Gegeben seien die Funktionen + f() = e + y() = + 1 Zeigen Sie, daß jeweil die erste Ableitung dieser Funktion übereinstimmt mit f'() = e( + ) (e ) + + g '() = + 1 Seite 4 von 7

5 FernUNI Hagen WS 00/0 Aufgabe 1.9 Gegeben Sei die Funktion f() = - mit ID = IR \ {0} (i) Zeigen Sie, daß die ersten drei Ableitungen f, f und f dieser Funktion übereinstimmen mit ( - ) 4 - (8 -) f'() =, f''() = 6, f'''() = (ii) Bestimmen Sie für die gegebenen Funktion f a) den Defininitonsbereich D f, b) die Nullstellen, c) die Stellen, an denen relative Etremwerte angenommen werden, d) die Wendestellen, e) die Bereiche, auf denen die Funktion monoton steigt oder fällt f) die Bereiche, auf denen die Funktion konve oder konkav ist. Seite 5 von 7

6 FernUNI Hagen WS 00/0 Zusatzaufgaben: Mathe 1 Rommelfanger, Blatt 5, Nr. 16, SS 1998 Bilden Sie jeweils die 1. und. Ableitung der Funktionen 4 a. f ( ) = b. g( ) = 5 c. h( ) = e d. p( ) = ln ( ) 1 e. q( p) = 10p f. u ( ) = ( ) 5 g. 4 h. w( ) = 5 log( ) Mathe 1 Rommelfanger, Blatt 5, Nr. 17, SS 1999 Bilden Sie jeweils die 1. und. Ableitung der Funktionen a. f() = ( - 1)( ) b. g() = c. h() = +1 d. p() = 6 (- ) 7 e. q() = + ln ( + ) f. v() = - e Geben Sie dabei stets die Definitionsmenge der Funktion und ihrer 1. und. Ableitung an. Mathe 1 Rommelfanger, Blatt 6, Nr., SS 1998 Bilden Sie die erste und die zweite Ableitung der Funktion f( ) = (ln 1) + e. Mathe 1 Rommelfanger, Blatt 6, Nr. 14, SS 1998 a. Bestimmen Sie die relativen Etrema der Funktion g(, y) = y + b. Berechnen Sie mittels der Kettenregel die 1. Ableitung der Funktion h(t) = g((t), y(t)) in t 0 = mit g(, y) = - 7y + y (t) = - t, y(t) = t - 4t + 7 Mathe 1 Rommelfanger, Blatt 6, Nr. 15, SS 1998 Berechnen Sie i. durch direkte Ableitung ii. mittels der Kettenregel die 1. Ableitung der Funktionen a. h(t) = g((t), y(t)) in t a = mit g(, y) = + y, (t) = t + 1, y(t) = t b. H(t) = G((t), y(t), z(t)) in t b =, mit G(, y, z) = + y + z, Seite 6 von 7

7 FernUNI Hagen WS 00/0 (t) = t, y(t) = t, z(t) = t - 1. Seite 7 von 7

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