3. Mai Zusammenfassung. g x. x i (x).

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1 3. Mai 2013 Zusammenfassung 1 Hauptsatz Satz 1.1 Sei F C 1 (D) für eine offene Teilmenge D von R q+1 = R q R. Für (x 0, u 0 ) D gelte F (x 0, u 0 ) = 0, (x 0, u 0 ) 0. Dann gibt es eine Umgebung V von x 0 sowie ein α > 0, sodass es für x V genau ein u (u 0 α, u 0 + α) mit F (x, u) = 0 gibt. Fasst man dieses u als eine Funktion g : V (u 0 α, u 0 + α) auf, so ist g in V stetig differenzierbar mit g x (x) = i (x) x i (x). Beweis: Wir dürfen annehmen (x 0, u 0 ) > 0 (anderenfalls betrachten wir F statt F ). Wegen der Stetigkeit der partiellen Ableitung / gibt es eine Umgebung Ṽ von x 0, eine Umgebung (u 0 α, u 0 + α) von u 0 und ein ρ > 0 sodass (x, u) > ρ (1) für (x, u) Ṽ (u 0 α, u 0 + α) gilt. Es folgt mit dem Mittelwertsatz F (x, u 0 ± α) F (x, u 0 ) = ±α (x, u 0 ± ζα), 0 < ζ < 1. Aus dem Zwischenwertsatz folgt mit (1), dass die Funktion F (x, ) im Intervall (u 0 α, u 0 + α) alle Werte des Intervalls (F (x, u 0 ) αρ, F (x, u 0 ) + αρ) annimmt. Für eine geeignete offene Umgebung V Ṽ von x 0 gilt wegen der Stetigkeit von F : F (x, u 0 ) < αρ, dort gilt also 0 (F (x, u 0 ) αρ, F (x, u 0 ) + αρ) (F (x, u 0 α), F (x, u 0 + α)) 1

2 Es gibt also eine Funktion g : V (u 0 α, u 0 +α), die F (x, g(x)) = 0 erfüllt. Wegen (1) ist F (x, ) streng monoton steigend, daher ist diese Funktion eindeutig. Da F stetige partielle Ableitungen nach x i, 1 i q hat, sind diese in V (u 0 α, u 0 + α) beschränkt und es folgt dort mit dem Mittelwertsatz F (x, u) F (y, u) < C x y für eine Konstante C. Wegen (1) folgt mit dem Mittelwertsatz F (x, u 1 ) F (x, u 2 ) > ρ u 1 u 2, und wegen F (z, g(z)) = 0 g(x) g(y) < 1 F (x, g(x)) F (x, g(y)) ρ = 1 ρ F (y, g(y)) F (x, g(y)) C x y. ρ Somit ist g in V stetig. Es gilt für x V und hinreichend kleine h R nach dem Mittelwertsatz 0 =F (x + he i, g(x + he i )) F (x, g(x + he i )) ζ, η (0, 1) womit + F (x, g(x + he i )) F (x, g(x)) =hf xi (x + ζhe i, g(x + he i )) + (g(x + he i ) g(x))f u (x, g(x) + η(g(x + he i ) g(x))) g(x + he i ) g(x) h F xi (x + ζhe i, g(x + he i )) = F u (x, g(x) + η(g(x + he i ) g(x))) folgt. Für h 0 erhalten wir mit (1) und der Stetigkeit von g die stetige partielle Differenzierbarkeit g (x) = F x i (x, g(x)) x i F u (x, g(x)). Wir verallgemeinern die Aussage dieses Satzes auf die Lösbarkeit eines Gleichungssystems F i (x, u) = 0, x R q, u R r, 1 i r nach den Variablen u i, d.h. wir fragen ob es lokal um einen Punkt (x 0, u 0 ), der F i (x 0, u 0 ) = 0 erfüllt eindeutige Funktionen g i : R q R gibt für die F i (x, g 1 (x),..., g r (x)) = 0 gilt. 2

3 Wir schreiben für die Ableitungsmatrizen der Funktionen F = (F 1,..., F r ), G = (g 1,..., g r ) x = x = 1,, 1 x q.. Rr q, r,, r x q g 1 g,, 1 x q.. Rr q g r g,, r x q 1 = 1,, 1 r.. Rr r, r,, r r Satz 1.2 (Hauptsatz über implizite Funktionen) Es seien in einer offenen Teilmenge D von R q R r C k -Funktionen 1 k F i : R q+r R gegeben, die für einen Punkt (x 0, u 0 ) D ( ) F(x 0, u 0 ) = 0, det (x0, u 0 ) 0 erfüllen. Dann gibt es Umgebungen V von x 0 und W von u 0, sodass es für x V genau ein u W mit F i (x, u) = 0 gibt. Die so definierten Lösungsfunktionen g j (x) erfüllen also F i (x, G(x)) = 0, sind aus C k (W ) und haben Ableitungsmatrix ( ) 1 (x, u) = (x, u) (x, u) (x, u) V W. x x Beweis: Wir führen den Beweis zuerst für k = 1 durch Induktion nach r. Für r = 1 ist die Aussagen Satz 1.1. Wir nehmen an der Satz gilt für r 1 und zeigen dass er für r gilt: Wir dürfen o.b.d.a. (gegebenenfalls nach Permutation der Varialblen u i ) annehmen, dass 2 2,, 2 r.. Rr 1 r 1, r 2,, r r regulär ist. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es dann C 1 -Funktionen φ 2,..., φ r, die in einer Umgebung von (x 0, u 0 1) F i (x, u 1, φ 2 (x, u 1 ),..., φ r (x, u 1 )) = 0, 2 i r (2) erfüllen. Wir betrachten die Funktion H(x, u 1 ) := F 1 (x, u 1, φ 2 (x, u 1 ),..., φ r (x, u 1 )). 3

4 Um Satz 1.1 auf diese Funktion anwenden zu können müssen wir zeigen, dass H 0 in (x 0, u 0 1) gilt. Wegen H = 1 + folgt aus H 1 = l=2 l=2 1 l φ l 1 l φ l. Für 2 i r gilt nach der Kettenregel und (2) i = l=2 i l φ l, 2 i r also wäre wegen dieser beiden Gleichungen der erste Spaltenvektor von eine Linearkombination der anderen Spaltenvektoren, was der Regularität der Ableitungsmatrix in (x 0, u 0 ) widerspricht. Mit Satz 1.1 erhalten wir somit eine differenzierbare Funktion g 1 (x) für gilt H(x, g 1 (x)) = 0 für x in einer Umgebung V von x 0, d.h es git F 1 (x, g 1 (x), φ 2 (x, g 1 (x)),..., φ r (x, g 1 (x)) = 0 x V. (3) Setzen wir g i (x) := φ i (x, g 1 (x)), 2 i r, so folgt mit (2) und (3) F i (x, g 1 (x), g 2 (x),..., g r (x)) = 0, 1 i r. Aus der stetigen Differenzierbarkeit von g 1 und der von φ i folgt, dass die Funktionen g i stetig differenzierbar sind. Durch Differentiation der Gleichungen F i (x, G(x)) = 0 erhalten wir mit der Kettenregel x + x = 0 ( ) 1 bzw. x = x. (4) Es bleibt zu zeigen dass für F C k auch G C k gilt: Für F C k sind und in x Ck 1. Fa die Inversenbildung eine C -Funktion auf dem Raum der regulären r r Matrizen ist, wie man etwa durch die Darstellung der Inversen mithilfe der algebraischen Komplemente sieht, folgt aus (4), dass aus Ck 1 ist. x Ein wichtiger Spezialfall des vorangegangenen Satzes ist der Fall q = 0, also die Frage nach der Lösbarkeit von r Gleichungen in r Unbekannten. Eine bijektive Abbildung f von einer offenen Menge D auf eine offene Menge D heißt ein C k -Diffeomorphismus, wenn f und f 1 C k -Funktionen sind. 4

5 Satz 1.3 (Umkehrsatz) Ist F auf D R r eine C k -Abbildung mit df(x 0 ) regulär, dann gibt es offene Umgebungen V von x 0 und W von F(x 0 ) sodass F eingeschränkt auf V ein C k -Diffeomorphismus von V auf W ist. Ist F auf ganz D regulär, dann ist F eine offene Abbildung, d.h. das Bild offener Teilengen von D ist offen. Beweis: Dies folgt unmittelbar aus Satz 1.2, wenn wir die Funktion F : R r R r R r, F(z, w) = F(w) z betrachten: Dann gibt es eine Funktion G von einer Umgebung von z 0 in eine Umgebung von w 0, die F(z, G(z)) = 0, also F(G(z)) z = 0 erfüllt. G ist also lokal die Umkehrfunktion zu F. Insbesondere liegt mit F(z) eine Umgebung dieses Punktes in der Bildmenge von F, F ist also eine offene Abbildung. Mithilfe des Hauptsatzes über implizite Funktionen kann man eine notwendige Bedingung für die Existenz lokaler Extrema unter Nebenbedingungen geben. Für eine reellwertige Funktion f und r Funktionen g i auf einer Teilmenge D des R p hat f in x 0 D ein lokales Maximum (Minimum) unter den Nebenbedingungen g ( x) = 0, wenn g i (x 0 ) = 0, 1 i r und f(x) f(x 0 ) (f(x) f(x 0 ))für alle x aus einer Umgebung von x 0, die g i (x) = 0, 1 i r erfüllen gilt. Hat f in x 0 ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum unter den Nebenbedingungen, so sprechen wir von einem lokalen Extremeum unter diesen Nebenbedingungen. In einfachen Fällen ist es möglich die Nebenbedingungen zu verwenden um r der p Variablen zu eleminieren und die so erhaltene Funktione in p r Variablen auf lokale Extrema zu untersuchen. Ist dies nicht möglich kann man die implizite Darstellung von p Variablen verwenden um eine notwendige Bedingung für lokale Extrema unter Nebenbedingungen zu finden. Satz 1.4 Es seien f, g i, 1 i r reellwertige C 1 Funktionen auf einer offenen Teilmenge D des R n, n > r. Gilt Rang(dg)(x 0 ) = r, so ist eine notwendige Bedingung für ein lokales Extremum in x 0 D unter den Nebenbedingungen g i (x) = 0, dass es Zahlen (λ 1,..., λ r ) R r gibt die Lösung des 5

6 Gleichungssystems (x 0 ) +. x n (x 0 ) + λ j (x 0 ) = 0 λ j x n (x o ) = 0. g 1 (x 0 ) = 0. g r (x 0 ) = 0 sind. Beweis: Wir schreiben x R n = R p+r als (y, z), x 0 = (y 0, z 0 ) mit y = (y 1,..., y p ) R p, z = (z 1,..., z r ) R r. Wir dürfen wegen Rang(dg)(x 0 ) = r (gegebenenfalls nach Permutation der Variablen (x 1,..., x r+p )) annehmen, dass (x z 0) regulär ist. Dann gibt es nach dem Hauptsatz über implizite Funktionen lokal um y 0 r C 1 -Funktionen H(y) = (h 1 (y),..., h r (y)), für die gilt. Es folgt k(y) := f(y, H(y)) = 0 und H ( ) 1 y = z y bzw. mit 0 = k y = y + H z y = y z ( ) 1 z y ( ) 1 z (x 0) z (x 0) =: (λ 1,..., λ r ) (5) y i (x 0 ) λ j y i (x 0 ) = 0, i = 1,..., p. (6) Rechtsmultiplikation von (5) mit z (x 0) und (6) gibt x i (x 0 ) λ j x i (x 0 ) = 0, i = 1,..., p + r. Diese Darstellung ist symmetrisch in den Variablen x 1,..., x p+r, also ist die anfangs getroffene Voraussetzung, dass die letzten r Spaltenvektoren von x in (x 0 ) Rang r haben, obsolet. 6

7 Die Faktoren λ i werden Lagrange Multiplikatoren genannt. Die hergeleitete Bedingung sagt also, dass x 0 nur dann ein lokales Extremum unter den Nebenbedingungen g i (x) = 0 sein kann, wenn in x x 0 vollen Rang r hat und die Funktion F : R p+2r R, F (x 1,..., x r+p, λ 1,..., λ r ) := f(x 1,..., x r+p ) λ j g j (x) in x 0 eine stationäre Stelle, d.h. eine verschwindende Ableitungsmatrix hat. Die Notwendigkeit dieser Bedingung lässt sich auch wie folgt zeigen: Bewegt man sich auf differenzierbaren Kurven t x(t) im R n, die g j (x(t)) = 0, j r erfüllen, so gilt nach der Kettenregel dg j (x(t)) dt = i=1 x i dx i dt = ẋ g j = 0. Wegen der linearen Unabhängigkeit der Vektoren g j spannen die Vektoren ẋ(t 0 ) also einen Teilraum des n r-dimensionalen Raumes r ( g j (x 0 )) auf. Andererseits kann man wegen dem Hauptsatz über implizite Funktionen lokal mit den Gleichungen g j (x) = 0 nach r der n Veariablen lösen, es gibt also Funktionen φ i (y), i r mit g i (y, φ 1 (y),..., φ r (y)) = 0, i r. Die Kurve x(t) = ( y 0 + n r l=1 tν l e l, φ 1 ( y0 + n r l=1 tν l e l ),..., φr ( y0 + n r l=1 tν l e l ) ) ist dann für kleine Werte von t Lösung der Gleichung g i (x(t) = 0 mit den ersten n r Koordinaten von dx(0) = (ν dt 1,..., ν n r,...). Somit spannen die Ableitungen der Differentiale dieser Kurven einen mindestens n r- dimensionalen Teilraum des R n auf. Also ist r ( g j (x 0 )) genau der Raum Ableitungen ẋ von Kurven x(t) mit x(0) = x 0, die lokal Lösungen der Gleichungen g j (x(t)) = 0 sind. Andererseits kann f(x(t)) auf einer Kurve t x(t) in t 0 nur dann ein lokales Extremum haben, wenn df(x(t)) (t 0 ) = dt i=1 x i dx i dt (t 0) = ẋ(t 0 ) f(x(t 0 )) = 0 gilt. Also muss für ein lokales Extremum unter den Nebenbedingungen aus ẋ g j = 0, j r folgen ẋ f = 0 d.h. ẋ(t 0 ) r ( g j (x 0 )) ẋ(t 0 ) f, was zu f Span( g 1,..., g r ) in x 0 äquivalent ist. Diese Bedingung fordert also die Existenz von Koeffizienten λ j, die f(x 0 ) = r λ j g j (x 0 ) erfüllen. 7

8 Beispiel 1.5 Wir suchen unter allen Quadern mit Volumen 1 jenen mit minimaler Oberfläche. D.h. wir suchen das Minimum der Funktion f(x, y, z) = 2(yz+xz+xy) unter der Nebenbedingung xyz = 1. Auf der Nullstellenmenge der Funktion g(x, y, z) = xyz 1 hat diese offensichtlich Rang 1, also sind alle lokalen Extrema Lösungen der mithilfe der Lagrange schen Multiplikatoren aufgestelten Gleichungen: Wir erhalten mit F (x, y, z, λ) = 2(xy + xz + xy) λ(xyz 1) das Gleichungssystem 2y + 2z λyz =0 2x + 2z λxz =0 2x + 2y λxy =0 xyz 1 =0. Daraus folgt (x y)(2 λz) = 0. Für x y folgt also λz = 2 und mit der zweiten Gleichung z = 0, ein Widerspruch. Analog erhalten wir keine Lösung für x z. Also gilt x = y = z und wegen der 4. Gleichung x = y = z = 1. Man sieht leicht, dass f gegen konvergiert, wenn eines der Argumente unter der Nebenbedingung gegen 0 oder konvergiert. Also muss f unter der Nebenbedingung ein globales Minimum haben. Dafür kommt nur (1, 1, 1) in Frage. 8