VERTEILUNGEN VON FUNKTIONEN EINER ZUFALLSVARIABLEN

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1 KAPITEL 15 VETEILUNGEN VON FUNKTIONEN EINE ZUFALLSVAIABLEN In diesem Kapitel geht es darum, die Verteilungen für gewisse Funktionen von Zufallsvariablen zu bestimmen. Wir werden uns auf den Fall absolut stetiger Zufallsvariablen beschränken. 1. Eindimensionaler Fall Theorem 1.1. Es seien S und T zwei offene, endliche oder unendliche Intervalle von und X eine reelle, absolut stetige Zufallsvariable mit Werten in S und Dichte f; weiter sei u eine stetig-differenzierbare Bijektion von S auf T und h = u 1 bezeichne die inverse Bijektion von T auf S. Dannist Y = u X eine reelle, absolut stetige Zufallsvariable mit Werten in T, deren Dichte g durch g(y) =f ( h(y) ) h (y) I T (y) gegeben ist. Beweis. Für jedes A T B 1 gilt P{Y A} =P{X h(a)} = f(x) I h(a) (x) dx, woraus sich mittels der Variablentransformation x = h(y) P{Y A} = f ( h(y) ) h (y) I A (y) dy ergibt. Wir behandeln zunächst einige einfache Anwendungen von Theorem 1.1. Beispiel 1. Ist X eine reelle Zufallsvariable mit Dichte f, soisty = e X eine reelle Zufallsvariable mit positiven Werten, deren Dichte g durch g(y) = 1 y f( Log y ) I ]0,+ [ (y) gegeben ist.

2 34 KAPITEL 15: FUNKTIONEN VON ZUFALLSVAIABLEN Spezialfall. Für L(X) =N (µ, σ)(µ, σ>0) hat Y = e X die Dichte g(y) = 1 σ 1 ( π y exp 1 ( Log y µ σ ) ) I ]0,+ [ (y). Die Zufallsvariable Y heisst Log-normale Zufallsvariable mit Parametern µ, σ. Beispiel. Ist X eine reelle Zufallsvariable mit Dichte f, soisty = 1 X eine reelle Zufallsvariable mit Dichte g(y) = 1 ( 1 ) y f (y 0). y (Streng genommen kann man Theorem 1.1 hier nur für \{0} verwenden. Aber da die Zufallsvariable X absolut stetig ist, gilt P{X =0} = 0 und man kann den Nullpunkt vernachlässigen.) Spezialfall 1. Ist L(X) =N (0, 1), so hat Y = 1 die Dichte X g(y) = 1 1 ( π y exp 1 ) y (y 0). Offenbar gilt E[ Y ]= y g(y) dy = 1 1 ( π y exp 1 ) y dy =+. Die Inverse einer reduzierten, normalverteilten Zufallsvariablen hat also keinen Erwartungswert. Spezialfall. Y = 1 X die Dichte Sei nun L(X) die Cauchy-Verteilung C(0, 1). Dann hat g(y) = 1 y 1 π y = 1 π 1 1+y. Damit stellt man fest, dass auch Y gemäss C(0, 1) Cauchy-verteilt ist. Bemerkung. Ist die Abbildung u nicht bijektiv, so gibt es keine allgemeine Methode, um die Dichte von u X zu bestimmen. In den am häufigsten vorkommenden Situationen kann man aber trotzdem ein entsprechendes Vorgehen formulieren. Beispiel 1. Es sei X eine absolut stetige reelle Zufallsvariable mit Dichte f. Hier geht es darum, die Dichte g von Y = X zu bestimmen. Zwar ist u(x) = x keine Bijektion von auf +,abermankannsich folgendermassen behelfen. Man berechnet zunächst die Verteilungsfunktion

3 1. EINDIMENSIONALE FALL 35 F Y von Y,diesist { 0, für y 0; F Y (y) = P{Y y} =P{ y X +y}, für y>0. Da die Verteilung von X diffus ist, kann man { 0, für y 0; F Y (y) = F X (y) F X ( y), für y>0, schreiben. Daraus erhält man die Dichte f Y von Y durch Differenzieren: { 0, für y 0; f Y (y) = f(y)+f( y), für y>0. Ist die Zufallsvariable X gerade, so gilt also { 0, für y 0; f Y (y) = f(y), für y>0. So hat etwa für L(X) =N (0, 1) die Zufallsvariable Y = X die Dichte { 0, für y 0; f Y (y) = e y /, für y>0. π Beispiel. Es sei wiederum X eine reelle, absolut stetige Zufallsvariable mit Dichte f. Hier ist nun die Dichte von Y = X zu berechnen. Auch u(x) =x ist keine Bijektion von auf +. Man berechnet{ zunächst wieder die Verteilungsfunktion F Y von Y : 0, für y 0; F Y (y) = P{Y y} =P{ y X + y}, für y>0. Da auch hier die Verteilung von X diffus ist, hat man { 0, für y 0; F Y (y) = F X ( y) F X ( y), für y>0. Mittels Ableiten ergibt sich 0, für y 0; f Y (y) = 1 ( f( y)+f( y), für y>0. y Falls die Zufallsvariable X gerade ist, gilt also 0, für y 0; f Y (y) = 1 f( y), für y>0. y Ist beispielsweise L(X) =N (0, 1), so hat die Variable Y = X die Dichte 0, für y 0; f Y (y) = 1 1 y e y/, für y>0. π Dies ist die χ-quadrat-verteilung mit einem Freiheitsgrad.

4 36 KAPITEL 15: FUNKTIONEN VON ZUFALLSVAIABLEN. Zweidimensionaler Fall Theorem.1. Es seien S und T zwei offene Mengen von und es sei (X, Y ) ein absolut stetiges Paar von Zufallsvariablen mit Werten in S und gemeinsamer Dichte f. Ist G :(x, y) (u, v) =(u(x, y),v(x, y)) eine stetig differenzierbare Bijektion von S auf T, so bezeichne H = G 1 :(u, v) (x, y) =(h 1 (u, v),h (u, v)) die inverse Bijektion von T auf S. (Die partiellen Ableitungen D u h 1, D v h 1, D u h, D v h sind also stetig.) Mit J = D(h 1,h ) D(u, v) = D(x, y) D(u, v) = D uh 1 D v h 1 D u h D v h wird die Jacobi-Determinante der inversen Bijektion H bezeichnet. Dann ist (U, V )=G (X, Y )=(u (X, Y ),v (X, Y )) ein absolut stetiges Paar von reellen Zufallsvariablen mit Werten in T, dessen gemeinsame Dichte g durch g(u, v) =f ( h 1 (u, v),h (u, v) ) J I T (u, v) gegeben ist. Beweis. Für jedes A T B gilt P{(U, V ) A} =P{(X, Y ) H(A)} = f(x, y) I H(A) (x, y) dx dy, und die Variablentransformation x = h 1 (u, v), y= h (u, v) macht daraus P{(U, V ) A} = f ( h 1 (u, v),h (u, v) ) J I A (u, v) du dv. Bemerkung. Für dieses Vorgehen benötigt man die bekannte Formel für das Verhalten von Doppelintegralen unter Variablentransformation, für deren Einsatz man allerdings voraussetzen muss, dass die Jacobi-Determinante J nirgendwo auf A verschwindet. Es genügt natürlich, vorauszusetzen, dass J 0 ausserhalb einer vernachlässigbaren Menge I gilt, wenn auch H(I) vernachlässigbar ist. Dies erweitert die Möglichkeiten der Anwendung. Beispiel 1. Es sei (X, Y ) ein Paar von unabhängigen Zufallsvariablen, die beide N (0, 1)-verteilt sind. Die Verteilung des Paares hat dann als Dichte f(x, y) = 1 π exp ( x + y ).

5 . ZWEIDIMENSIONALE FALL 37 Nun betrachten wir das Paar (, Θ) mit =(X + Y ) 1/, Θ=Arctg Y X. (1) Gemeinsame Verteilung von (, Θ). Zunächst ist (x, y) (r, θ) = ( (x + y ) 1/, Arc tg y ) x eine stetig differenzierbare Bijektion von S = \{0} auf T =]0, + [ [0, π[. Die inverse Bijektion ist (r, θ) (x, y) =(r cos θ, r sin θ), und daraus erhält man J = x r x θ y r y θ = cos θ r sin θ sin θ rcos θ = r. Die gemeinsame Dichte von (, Θ) ist also g(r, θ) =f(r cos θ, r sin θ) J = 1 ( ) π e r / r r, θ) ]0, + [ [0, π[. () andverteilungen. Die marginalen Dichten von und von Θ ergeben sich daraus unmittelbar als g(r, ) = g(,θ)= π 0 0 g(r, θ) dθ = e r / r g(r, θ) dr = 1 π (r ]0, + [), (θ [0, π[). Bemerkung. Die Verteilung von mit der Dichte g(r, ) =e r / r für r ]0, + [ wird als ayleigh-verteilung bezeichnet. Die Überlebensfunktion von ist P{ >r} = ihr Erwartungswert ist E[] = r 0 e t / tdt= e r / P{ >r} dr = 0 (r >0), e r / dr = π. (3) Die Zufallsvariablen und Θ sind unabhängig. Aus (1) und () folgt g(r, θ) =g(r, )g(,θ), ( r, θ) ]0, + [ [0, π[ ), was die Unabhängigkeit von und Θ ausdrückt; damit sind auch und Y/X unabhängig.

6 38 KAPITEL 15: FUNKTIONEN VON ZUFALLSVAIABLEN Beispiel. Ist (X, Y ) ein Paar von unabhängigen, N (0, 1)-verteilten Zufallsvariablen, so ist auch das Paar (U, V )mitu = (X + Y )/ und V = (X Y )/ ein Paar von unabhängigen und N (0, 1)-verteilten Zufallsvariablen. Beweis. DiegemeinsameDichtevon(X, Y )ist f(x, y) = 1 π exp( 1 (x + y ) ). Die Variablentransformation u =(x + y)/, v =(x y)/ liefert eine Bijektion von auf. Man rechnet nach, dass x = (u + v)/ und y =(u v)/, sowie D(x, y)/d(u, v) = 1 ist, daher ist die gemeinsame Dichte g(u, v) von(u, V ) gegeben durch: ( u + v g(u, v) =f, u v ).1 = 1 (( u + v ) ( u v ) )) + = π exp ( 1 ( 1 ) ( e u / 1 ). e v /. π π 3. Verteilung einer Funktion von zwei Zufallsvariablen. Es sei (X, Y ) ein Paar von reellen, absolut stetigen Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichte f. Weiter sei u : eine messbare Funktion. Es geht nun darum, die Verteilung der Zufallsvariablen U = u (X, Y ) unter geeigneten egularitätsannahmen über die Funktion zu berechnen. Zu diesem Zweck betrachten wir U als die erste marginale Variable des Paares (U, V ), wobei U = u (X, Y ) und V = Y ist. (a) Verteilung des Paares (U, V ). Man setzt voraus, dass die Abbildung (x, y) (u, v) =(u(x, y),y) eine stetig differenzierbare Bijektion von auf ist und bezeichnet mit (u, v) (x, y) =(h(u, v),v) die inverse Bijektion. D(x, y) Dann gilt J = D(u, v) = h u h v 0 1 = h u.gemäss Theorem.1 ist das Paar (U, V ) absolut stetig und die gemeinsame Dichte g ist g(u, v) =f ( h(u, v),v ) h u (u, v) ((u, v) ). (b) Verteilung von U. Die Dichte dieser Verteilung ist g(u) =g(u, ) = f ( h(u, v),v ) h u(u, v) dv (u ). Beispiel 1(Verteilung der Summe). Es sei u = x + y und v = y, also U = X + Y und x = u v, y = v, somitj = = 1 und g(u) = f(u v, v) dv (u ).

7 3. FUNKTION VON ZWEI ZUFALLSVAIABLEN 39 Spezialfall (Faltungsprodukt). In einer Situation, in der das Paar (X, Y )auchnochunabhängig ist, faktorisiert die gemeinsame Dichte, d.h. f(x, y) =f 1 (x)f (y), wobei f 1 bzw. f die Dichten von X bzw. Y sind, und man erhält g(u) = f 1 (u v) f (v) dv (u ). Man bezeichnet g = f 1 f als das Faltungsprodukt von f 1 und f. Anwendung. Betrachten wir den Fall L(X) =N (µ 1,σ 1 ), L(Y ) = N (µ,σ )für µ 1,µ, σ 1,σ > 0. Man kann nachrechnen, dass dann L(X+Y )=N(µ 1 +µ, σ1 + σ ) gilt, aber die Berechnung auf dem direkten Weg ist langwierig. Es ist der elegantere Weg, die Techniken der erzeugenden Funktionen oder der charakteristischen Funktionen zu verwenden. Beispiel (Verteilung des Produkts). Hier ist u = xy und v = y, also U = XY und x = u/v, y = v, somit also J = 1/v u/v 0 1 =1/v und ( u ) 1 g(u) = f v,v v dv (u ). Für ein unabhängiges Paar (X, Y )istf(x, y) =f 1 (x)f (y) und g(u) = f 1 (u/v)f (v) 1 v dv (u ). Anwendung. Sei wieder L(X) =N (0, 1), L(Y )=N (0, 1). Die Dichte g(u) vonu = XY ist dann g(u) = 1 π = 1 π 0 ( exp 1 ( u ( u ( exp 1 )) 1 v + v v dv v + v)) 1 v dv. Diese Funktion hat für jedes u 0 einen endlichen Wert, denn für ein solches u kann man die Variablentransformation v = u t durchführen und erhält g(u) = 1 ( exp π 0 u ( t + 1 )) dt t t. Dieses Integral kann man nicht mehr nur mit Hilfe von elementaren Funktionen ausdrücken; es lässt sich aber mittels Bessel-Funktionen darstellen (cf. Aufgabe 8, Kap. 13).

8 40 KAPITEL 15: FUNKTIONEN VON ZUFALLSVAIABLEN Beispiel 3(Verteilung des Quotienten). Sei nun u = x y,alsou = X Y. Dann ist u = x y, v = y, und daher x = uv, y = v, J = v u 0 1 = v und g(u) = f(uv, v) v dv (u ). Ist speziell noch (X, Y ) unabhängig, so hat man f(x, y) =f 1 (x)f (y) und g(u) = f 1 (uv)f (v) v dv (u ). Anwendung. Sei wieder L(X) =N (0, 1), L(Y )=N(0, 1). Die Dichte g(u) vonu = X/Y ist g(u) = 1 ) exp ( v π (1 + u ) v dv = 1 ) exp ( v π 0 (1 + u ) vdv und daraus erhält man mittels der Variablentransformation v (1 + u )/ =t g(u) = 1 π 1 1+u 0 e t dt = 1 π 1 1+u (u ). Man stellt also fest, dass der Quotient von zwei unabhängigen, reduziertnormalverteilten Zufallsvariablen die Cauchy-Verteilung C(0, 1) hat. Diese Eigenschaft hat interessante Konsequenzen: 1) Die Zufallsvariablen X/Y und Y/X haben offenbar die gleiche Verteilung. Also ist die Inverse einer mit C(0, 1) Cauchy-verteilten Zufallsvariablen ebenfalls eine mit C(0, 1) Cauchy-verteilte Zufallsvariable. ) Es sei Z eine mit C(0, 1) Cauchy-verteilte Zufallsvariable. Sie hat die gleiche Verteilung wie X/Y, wobeix, Y unabhängige und reduziertnormalverteilte Zufallsvariablen bezeichnen. Daher hat 1+Z die gleiche 1 Z 1+ Y X + Y Verteilung wie X 1 Y = X + Y ( X + Y X Y =.Aberauch, X Y ) ist X Y X ein Paar von unabhängigen und reduziert-normalverteilten Zufallsvariablen. Deshalb ist auch 1+Z gemäss C(0, 1) verteilt. 1 Z 3) Die Zufallsvariable 1 + Z =1+ Y X = X + Y ist der Quotient von Y zwei symmetrischen Zufallsvariablen, ist aber selbst nicht symmetrisch, denn sie ist C(1, 1)-verteilt.

9 EGÄNZUNGEN UND ÜBUNGEN 41 EGÄNZUNGEN UND ÜBUNGEN 1. Es sei X eine Cauchy-verteilte Zufallsvariable mit der Verteilung C(0, 1). Dann ist auch die Variable Y = 1+X gemäss C(0, 1) verteilt. 1 X. Ist X eine im Intervall ] π/, +π/[ gleichverteilte Zufallsvariable, so ist die Variable Y =tgx gemäss C(0, 1) verteilt. 3. Es sei (X, Y ) ein Paar von unabhängigen Zufallsvariablen, von denen jede E(λ)-verteilt ist (λ > 0). Dann hat die Zufallsvariable U = X 1 Y die Dichte f(u) = (u 0). Es ist klar, dass U keinen endlichen (1 + u) Erwartungswert besitzt. Die Zufallsvariable V = U +1 = X + Y hat die Y Dichte g(v) = 1,v 1, hat also die Paretoverteilung P(1, 1). v 4. Es sei (X, Y ) ein Paar von unabhängigen Zufallsvariablen mit den andverteilungen L(X) = Γ(r, λ), L(Y ) = Γ(s, λ) (r, s, λ > 0). Sei U = X + Y, V = X X + Y. a) Das Paar (U, V ) ist unabhängig. b) L(U) =Γ(r +s, λ), L(V )=B(r, s) (Beta-Verteilung). Man stellt fest, dass die andverteilung von V nicht von λ>0 abhängt. 5. Es sei (U, Y ) ein Paar von unabhängigen Zufallsvariablen; U sei auf [0, 1] gleichverteilt und Y sei absolut stetig mit g als Dichte. Man betrachte die Zufallsvariable X = UY, deren Dichte mit f bezeichnet wird. a) Man berechne f als Funktion von g. b) Hier wird nun angenommen, dass [0, + [ derträger von Y ist. Man zeige, dass f differenzierbar ist und dass zwischen f und g die Beziehung xf (x)+g(x) = 0 besteht. Man folgere daraus, dass f genau ein Maximum hat, und zwar in x =0. c) Nun wird als Träger von Y angenommen. Man zeige, dass auch hier f genau ein Maximum hat, das sich in x = 0 befindet. d) Nun sei g(x) = x e x /,für x. Man zeige, dass dann f die π Dichte der Normalverteilung N (0, 1) ist. 6. Es sei (X, Y ) ein ( Paar ) von unabhängigen und N (0, 1)-verteilten a b Zufallsvariablen. ( ) ( ) A = sei eine orthogonale -Matrix und c d U X = A,d.h.U = ax + by, V = cx + dy. V Y

10 4 KAPITEL 15: FUNKTIONEN VON ZUFALLSVAIABLEN a) Das Paar (U, V ) besteht wiederum aus unabhängigen und N (0, 1)- verteilten Zufallsvariablen. b) Ist T mit C(0, 1) Cauchy-verteilt, so gilt dies auch für Z = a + bt c + dt. 7. Es sei (X, Y ) ein Paar von unabhängigen und N (0, 1)-verteilten Zufallsvariablen. Hier sei nun U =X, V = X Y. a) Man bestimme die gemeinsame Dichte des Paares (U, V ), sowie die marginalen Dichten von U und von V. b) Man bestimme die durch das Ereignis {V = 0} bedingte Dichte von U. c) Man bestimme die durch das Ereignis {V = 0} bedingte Dichte von X + Y. d) Man stellt fest, dass die in b) und c) gefundenen bedingten Dichten gleich sind und ihr gemeinsamer Wert die (nicht bedingte) Dichte von X + Y ist. Anders gesagt, man stellt die Gleichung L(X X Y =0)=L(X + Y X Y =0)=L(X + Y ) fest. Hätte man dieses esultat vorhersehen können? 8. Es sei (U 1,...,U n )einsystemvonn unabhängigen Zufallsvariablen, die alle auf [0, 1] gleichverteilt sind. Die Verteilung von X = n U i hat die Dichte i=1 1 ( ( 1 )) n 1, Log falls 0 <x 1; f(x) = (n 1)! x 0, sonst. 9. Es sei X eine mittels C(0, 1) Cauchy-verteilte Zufallsvariable. a) Man zeige, dass { X und 1/X die gleiche Verteilung haben. X, mit Wahrscheinlichkeit 1/; b) Sei nun: Y = 1/X, mit Wahrscheinlichkeit 1/. Man zeige L(Y )=C(0, 1). 10. Es sei (X, Y ) ein Paar von unabhängigen und N (0, 1)-verteilten Zufallsvariablen. Es sei nun U = XY und V = X/Y. 1) Man bestimme die gemeinsame Dichte von (U, V ). ) Man leite daraus die marginalen Verteilungen von U und von V ab.

11 EGÄNZUNGEN UND ÜBUNGEN (A. Joffe). Es sei (X, Y ) ein Paar von unabhängigen und N (0, 1)- verteilten Zufallsvariablen. 1) Da X und Y unabhängig sind, gilt L( X Y = 0) = L( X ). Diese Verteilung hat die Dichte: f(x) = π e x / (x 0). ) Betrachten wir nun die Polarkoordinaten = X + Y, Θ=Arctg(Y/X). Wir haben in diesem Kapitel,, Beispiel 1, gesehen, dass die Zufallsvariablen und Θ unabhängig sind. Folglich ist L( Θ=0)=L(). Die Verteilung von ist die ayleigh-verteilung mit der Dichte g(x) =xe x / (x 0). Dieses Beispiel zeigt, dass die bedingte Dichte für sich allein keinen Sinn macht, sondern mit Hilfe einer gemeinsamen Dichte in einem gegebenen Koordinatensystem definiert werden muss. 1. Es sei (X, Y ) ein Paar von unabhängigen und N (0, 1)-verteilten Zufallsvariablen. Man bestimme die Verteilungen der Variablen: a) U = X Y ; b) Z = X + Y X Y. (Die Verteilung von Z ist die Student-Verteilung mit einem Freiheitsgrad.) 13. Es sei (X, Y ) ein Paar von unabhängigen Zufallsvariablen, die gemäss C(0, 1) Cauchy-verteilt sind. Dann ist auch deren harmonisches Mittel H = [ ( 1 1 X + )] 1 1 Y gemäss C(0, 1) Cauchy verteilt. Dies folgt leicht aus der Tatsache, dass sowohl das eziproke einer Cauchyverteilten Zufallsvariablen, als auch das arithmetische Mittel von zwei unabhängigen und Cauchy-verteilten Zufallsvariablen wiederum Cauchyverteilt ist.

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