Ludwig Maximilians Universität München Fakultät für Physik. Lösungsblatt 8. Übungen E1 Mechanik WS 2017/2018

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1 Ludwig Maximilians Universität München Fakultät für Physik Lösungsblatt 8 Übungen E Mechanik WS 27/28 Dozent: Prof. Dr. Hermann Gaub Übungsleitung: Dr. Martin Benoit und Dr. Res Jöhr Verständnisfragen i.) Grundsätzlich haben alle Körper 3 Hauptträgheitsachsen durch den Körperschwerpunkt! Achse : die Achse mit dem kleinsten Trägheitsmoment Achse 3: die Achse mit dem größten Trägheitsmoment Achse 2: die Achse die senkrecht zu den ersten beiden steht. Bei der Kugel haben alle Achsen das gleiche Trägheitsmoment daher hat sie unendlich viele Hauptträgheitsachsen(2/5mr 2 ) in jede beliebige Richtung. Beim Stab ist die Achse durch die Längsache parallel zum Stab I = /2mr 2 ;wobei die Dicke des Stabes vernachlässigt wird (r = ). Alle (unendlich vielen) weiteren Achsen durch den Stabschwerpunkt stehen dazu senkrecht und haben das Trägheitsmoment I 2 = I 3 = /2ml 2. Beim Quader sind die drei Hauptachsen exakt festgelegt und jeweils die Mittelsenkrechten der Begrenzungsflächen ii.) Die Kugel ist am schnellsten, dann der Zylinder und dann der Ring. Das Objekt mit dem kleinsten Trägheitsmoment erfährt die größte Beschleunigung. Auf das herabrollende Objekt wirkt Reibungskraft F R und anteilig die Gewichtskraft ma s = F R mg sin(θ). Die Reibungskraft erzeugt ein Drehmoment M = rf R = Iα und führt zu einer Rollbewegung des Objekts, anderweitig würde es nur rutschen. Mit a s = rα folgt a s = g sin(θ) +I/mr 2 iii.) Anfangs sind die Drehimpulse von Person und Rad in Richtung der Drehstuhlachse gleich Null. Nach dem Kippen des rotierenden Rades nach oben, erhält das System den Drehimpuls L R in Richtung der Drehstuhlachse. Aufgrund der Drehimpulserhaltung muss der Gesamtdrehimpuls L p + L R verschwinden. Deshalb erhält die Person einen gleichgroßen entgegengesetzten Drehimpuls. Die Person wird also entgegen der Drehrichtung des Rades um die Stuhlachse rotieren. Dieses Drehmoment wird während der Verkippung durch den Kraftaufwand der Person erzeugt M = d L dt.

2 Übungen E Mechanik Aufgabe Rollender Doppelkegel a) Zeigen Sie durch explizite Integration, dass das Trägheitsmoment eines homogenen Kegels mit Radius R, Höhe L und Masse M bezüglich seiner Symmetrieachse I Kegel = 3 MR2 ist. b) Welche Geschwindigkeit erreicht ein Doppelkegel mit Radius R, Breite 2L beim Herunterrollen einer Schrägen von der Höhe h=h bis zum Fuß der Schrägen (h=)? Lösung: a) Parametrisierung r(z) = k z mit r(l)! = R k = R L I = r 2 dm Für homogenen Körper I = ρ V V Verwendung von Zylinderkoordinaten: 2π L r(z) I Kegel = ρ dϕ dz r 2 rdr b) E oben pot = 2πρ L = 3 MR2 = E unten kin 4 (kz)4 dz = π 2 ρk4 5 L5 = π = E trans + E rot 2MgH = 2 (2M)v2 + 2 (2I K)ω 2 = Mv 2 + I K v 2 v 2 = 2MgH M + I K R 2 2 v = 3 gh R 2 = 2MgH M + 3 MR2 R 2 = M r 2 dv mit ρ = M 3 R2 πl mit ω = v R 2 3 gh R 4 L 4 L5 3 πr2 L 2

3 Übungen E Mechanik Aufgabe 2 Dünner Stab Bestimmen Sie das Trägheitsmoment eines dünnnen Stabes um eine Achse a) senkrecht zum Stab durch sein Ende. b) senkrecht zum Stab durch seine Mitte. c) Zeigen Sie nun mittels des Steiner schen Satzes, dass das Trägheitsmoment des Stabes um eine Achse durch das Stabende viermal so groß ist wie dasjenige um eine Achse durch seinen Schwerpunkt. Lösung: a) I = r 2 ρdv I = ρa l x2 dx = ρal 3 /3 = /3ml 2 b) I = 2ρA l/2 x 2 dx = 2/3ρAl 3 /8 = /2ml 2 c) Um Mittelpunkt:I = 2ρA l/2 x 2 dx = /2ml 2 Satz von Steiner:I = I Schwerpunkt + md 2 I 2 = I + m( l 2 )2 = ml2 2 + ml2 4 = ml2 3 stimmt mit Ergebnis aus a) überein I 2 I = 4 Aufgabe 3 Bloß keine Bauchlandung... Beim Versuch den frühen Vogel (der gerade seinen wohlverdienten Wurm verspeist) auf einem Ast zu erwischen, rutscht eine verkaterte Katze aus und fällt mit dem Rücken voraus vom Baum. Mit welcher Frequenz müsste die Katze mit ihrem Schwanz rotieren, damit sie bei der noch verbleibenden Fallhöhe von h = 2 m wieder auf ihre Beine fällt? Idealisieren Sie die Katze durch einen Zylinder der Länge 4 cm und des Durchmessers cm. Stellen Sie den Schwanz als dazu senkrechten Stab mit einer Länge von 3 cm und einem Durchmesser von cm dar. Die Katze habe eine homogene Dichte ρ und die Masse M. Lösung: Nötige Rotation des Katzenkörpers (V K ): ω K = π t fall Fallzeit: s = 2 gt2 fall und t fall = 2s g Das Trägheitsmoment des Katzenkörpers (Zylinder mit Radius R K ): J K = 2 V KρRK 2 Trägheitsmoment eines Dünnen Stabes bei Rotation um Achse durch Schwerpunkt: J = 2 ML2 Trägheitsmoment J S des Schwanzes (Dünner Stab + Steinersche Satz): J S = J + M( L 2 )2 = V S ρ 3 L2 S Betragsweise Drehimpulserhaltung für Rotation des Schwanzes (die Vektoren ω S und ω K zeigen in natürlich in gegensätzliche Richtungen, müssen aber für das Problem vom Betrag her gleich sein) J K ω K = J S ω S ω S = J K JS ω K = 3V KJ K ρr 2 K 2V S J S ρr 2 S π 2s g = 3πL KR K 4 2RS 2 2s L3 S g = 27s 3

4 Übungen E Mechanik Aufgabe 4 Trägheitsmomente eines Quaders Wir betrachten einen Quader der Länge a, Breite b, Dicke d und Masse m (d a). Dieser hat ein Trägheitsmoment von I 3 = 2 m(a2 + b 2 ) um die Drehachse durch seinen Mittelpunkt und senkrecht zu seiner Fläche. a) Bestimmen Sie die Hauptträgheitsmomente. Lösung: Die drei Hauptachsen des Quaders sind seine Symmetrieachsen. Alle drei Hauptachsen durchqueren den Mittelpunkt des Quaders; siehe Skizze: y b z x a Das Trägheitsmoment für die z-richtung ist bereits bekannt. Die anderen Trägheitsmomente bezüglich der anderen Hauptachsen folgen aus Analogie dazu. Für vernachlässigbar kleine Dicken d des Quaders sind diese gegeben durch: I = m 2 (b2 + d 2 ) m 2 b2 I 2 = m 2 (a2 + d 2 ) m 2 a2. Es gilt I < I 2 < I 3, wie es bereits aus der Vorlesung bekannt ist. b) Was ist das Trägheitsmoment des Quaders um eine Drehachse parallel zum Quader, die eine Diagonale des Rechtecks ist (siehe Skizze)? Lösung: Das Trägheitsmoment des Quaders entlang einer beliebigen Richtung n durch den Schwerpunkt lässt sich elegant mit Hilfe des Trägheitstensors Θ berechnen. Da die I i den Trägheits- 4

5 Übungen E Mechanik momenten der Hauptachsen entsprechen, ist dieser gerade durch I Θ = I 2 = m b 2 a 2 2 I 3 a 2 + b 2 gegeben. Das Trägheitsmoment I n für die Drehung entlang eines Vektors durch den Schwerpunkt ist dann I n = n T Θ n. In unserem Fall ist n T = a 2 +b 2 ( a b ) und somit wird In zu I n = ( ) b m 2 a b a 2 a 2 + b 2 2 a 2 + b 2 a b = m a 2 + b 2 2 a 2 b 2 + a 2 b 2 a 2 + b 2 = m 6 a 2 b 2 a 2 + b 2 Alternative Lösung: Die Aufgabe kann auch ohne die Verwendung des Trägheitstensors Θ gelöst werden. Dies ist jedoch etwas umständlicher. Um das Trägheitsmoment um die Diagonale zu finden, bietet es sich an, zwei x-y-koordinatensysteme zu verwenden, eines, das axial auf den Quader ausgerichtet ist, und eines, das auf die Diagonale ausgerichtet ist: Das Trägheitsmoment um die x -Achse ist I x = m i y 2 i. Hier ist m i ein Massenelement des Quaders und die Summe geht über den gesamten Quader. Nun ist y gegeben durch und somit y = y cos(θ) x sin(θ) Aber wir wissen auch, dass I x = m i y 2 i cos 2 (θ) + m i x 2 i sin 2 (θ) 2 m i x i y i cos(θ) sin(θ) 5

6 Übungen E Mechanik mi x 2 i = I 2 = 2 ma2 mi y 2 i = I = 2 mb2 Aus Symmetriegründen gilt m i x i y i = Also ist dann I x : Wir wissen auch, dass cos 2 (θ) = I x = 2 m(a2 sin 2 (θ) + b 2 cos 2 (θ)) a2 a 2 + b 2, sin2 (θ) = b2 a 2 + b 2 Setzt man dies in die Gleichung für das Trägheitsmoment ein, erhält man I x = ( a 2 6 m b 2 ) a 2 + b 2 c) Der Quader rotiert nun um diese diagonale Drehachse. Zeigen Sie, dass der Winkel zwischen Winkelgeschwindigkeit und Drehimpuls durch ( a ) ( ) b arctan arctan b a gegeben ist. Lösung: Wenn sich der Quader mit Winkelgeschwindigkeit ω um seine Diagonale dreht, dann hat die Winkelgeschwindigkeit in der x-richtung die Komponente ω cos(θ) und in die y-richtung die Komponente ω sin(θ). Also gilt für den Drehimpuls: L x = I ω cos(θ) L y = I 2 ω sin(θ) Daraus folgt der Winkel zwischen der Richtung der Drehimpulsachse und der x-achse: arctan ( ) ( I2 ω sin(θ) a 2 ) sin(θ) ( a ) = arctan I ω cos(θ) b 2 = arctan cos(θ) b Der Winkel zwischen dem Winkelgeschwindigkeitsvektor und der x-achse beträgt θ = arctan ( ) b a Also beträgt der Winkel zwischen den beiden Vektoren: ( a ) ( ) b arctan arctan b a 6