Algebraische Spezifikation von Software und Hardware II

Transkript

1 Algebraische Spezifikation von Software und Hardware II Markus Roggenbach Mai 2008

2 3. Signaturen

3 3. Signaturen 2 Grundlegende Frage Wie lassen sich Interfaces beschreiben? Signaturen = Sammlung aller bekannten Symbole

4 3. Signaturen 3 Mathematische Definition einer Signatur Eine Signatur Σ = (S, T F, P F, P ) besteht aus einer Menge S von Sortensymbolen einer Menge T F von totalen Funktionssymbolen einer Menge P F von partiellen Funktionssymbolen einer Menge P von Prädikatssymbolen wobei...

5 Mathematische Definition einer Signatur 4 die Elemente in T F, P F und P jeweils aus einem Namen und einem Profil bestehen und T F P F =.

6 Mathematische Definition einer Signatur 5 Namen und Profile Ein totales Funktionssymbol aus T F hat die Form: f : s 1 s 2... s n s Ein partielles Funktionssymbol aus P F hat die Form: f : s 1 s 2... s n?s Ein Pädikatssymbol aus P hat die Form: p : s 1 s 2... s n s 1, s 2,... s n, s S, n N, f und p sind Strings.

7 Mathematische Definition einer Signatur 6 wir schreiben oft Anmerkung f <s1,s 2,...,s n >,s anstelle von f : s 1 s 2... s n s oder auch f T F <s1,s 2,...,s n >, s f <s1,s 2,...,s n >,s anstelle von f : s 1 s 2... s n?s oder auch f P F <s1,s 2,...,s n >, s p <s1,s 2,...,s n > anstelle von p : s 1 s 2... s n oder auch p P <s1,s 2,...,s n >

8 3. Signaturen 7 Telephonbuch S = { Database, String, Number } T F = { initial: Database, update: Database String Number Database } P F = { look up: Database String? Number } P = {}

9 3. Signaturen 8 Signaturen von Java Datentypen byte, int, long are among Java s integral types. The Java programming language provides a number of operators that act on integral values: * The comparison operators, which result in a value of type boolean: o The numerical comparison operators <, <=, >, and >= o The numerical equality operators == and!= * The numerical operators, which result in a value of type int or long: o The unary plus and minus operators + and - o The multiplicative operators *, /, % (J.Gosling, et al: The Java Language Specification)

10 Signaturen von Java Datentypen 9 Negation ( in Gosling) For integer values, negation is the same as subtraction from zero. The Java programming language uses two s-complement representation for integers, and the range of two s-complement values is not symmetric, so negation of the maximum negative int or long results in that same maximum negative number. Overflow occurs in this case, but no exception is thrown.

11 Signaturen von Java Datentypen 10 Division ( in Gosling) Integer division rounds toward 0. That is, the quotient produced for operands n and d that are integers after binary numeric promotion is an integer value q whose magnitude is as large as possible... There is one special case that does not satisfy this rule: if the dividend is the negative integer of largest possible magnitude for its type, and the divisor is -1, then integer overflow occurs and the result is equal to the dividend. Despite the overflow, no exception is thrown in this case. On the other hand, if the value of the divisor in an integer division is 0, then an ArithmeticException is thrown.

12 Signaturen von Java Datentypen 11 Remainder operation ( in Gosling) The remainder operation for operands that are integers after binary numeric promotion produces a result value such that (a/b)*b+(aa. This identity holds even in the special case that the dividend is the negative integer of largest possible magnitude for its type and the divisor is -1 (the remainder is 0).... If the value of the divisor for an integer remainder operator is 0, then an ArithmeticException is thrown.

13 Signaturen von Java Datentypen 12 S = {byte, bool, int} Signatur von byte T F = { <, <=, >, <, ==,! = : byte byte bool, +, : byte int, : byte byte int, } P F = { /, % : byte byte?int} P = {}

14 3. Signaturen 13 Symbol- Klassifikation Sorten Klassifikation der vorkommenden Objekte Funktionssymbole Berechnungen, klassifiziert nach: liefert stets ein Resultat totales Funktionssymbol Berechnung kann auch fehlschlagen partielles Funktionssymbol Prädikate Tests

15 3. Signaturen 14 Logisches Und als Funktion und als Gatter S =? T F =? P F =? P =?

16 3. Signaturen 15 (Brett)Spiel S =? T F =? P F =? P =?

17 3. Signaturen 16 Editor S =? T F =? P F =? P =?

18 3. Signaturen 17 Java-Compiler S =? T F =? P F =? P =?

19 3. Signaturen 18 javac -help javac -help Usage: javac <options> <source files> where possible options include: -g Generate all debugging info -g:none Generate no debugging info -g:{lines,vars,source} Generate only some debugging info...

20 3. Signaturen 19 javac: Fehlermeldung imp0]$ javac T_db2.java T_db2.java:191: cannot resolve symbol symbol : variable next location: class Db_aux db_ptr = db_ptr.next; ^ 1 error

21 3. Signaturen 20 Filtern von Web-Logs S =? T F =? P F =? P =?

22 3. Signaturen 21 CASL-Syntax NAMED-SPEC ::= spec SPEC-NAME = BASIC-SPEC end/ spec SPEC-NAME = SPEC-NAME then SPEC-NAME then... then BASIC-SPEC end/ BASIC-SPEC ::= BASIC-ITEMS...BASIC-ITEMS BASIC-ITEMS ::= SIG-ITEMS... SIG-ITEMS ::= sort/sorts SORT-ITEM ;...; SORT-ITEM ;/ op/ops OP-ITEM ;...; OP-ITEM ;/ pred/preds PRED-ITEM;...; PRED-ITEM;/

23 CASL-Syntax 22 SORT-ITEM ::= SORT,..., SORT OP-ITEM ::= OP-NAME,..., OP-NAME : OP-TYPE... OP-TYPE ::= SOME-SORTS -> SORT SOME-SORTS ->? SORT SORT? SORT SOME-SORTS ::= SORT *...* SORT PRED-ITEM ::= PRED-NAME,..., PRED-NAM : PRED-TYPE... PRED-TYPE ::= SORT *...* SORT ()

24 3. Signaturen 23 Konzepte versus Konstrukte Konzept: mathematische Definition Konstrukt: Phrase in CASL hat das Konzept als seine Semantik

25 Konzepte versus Konstrukte 24 S = { Database, String, Number } Telphonbuch in CASL T F = { initial: Database, update: Database String Number Database } P F = { look up: Database String? Number } P = {} spec Database = sorts Database; String; Number ops initial : Database; look up : Database String? Number; update : Database String Number Database end

26 Konzepte versus Konstrukte 25 Und das Ganze in ASCII spec Database = sorts Database, String, Number ops initial: Database; look_up: Database * String ->? Number update: Database * String * Number -> Database end

27 Konzepte versus Konstrukte 26 S = { Int } T F = { : Int Int, + : Int Int Int, : Int Int Int } P F = { / : Int Int? Int, div : Int Int? Int } Integer in CASL P = { even : Int ismultipleof : Int Int } spec Integer = sort Int ops : Int Int; +, : Int Int Int /, div : Int Int? Int preds even : Int; ismultipleof : Int Int end

28 4. Algebren

29 4. Algebren 28 Grundlegende Frage: Algebren Gegeben: Interface (= Signatur) Welche Programme passen zu einem Interface? Algebren

30 4. Algebren 29 Sigma-Algebra Sei Σ = (S, T F, P F, P ) eine Signatur. Eine Σ-Algebra A gibt Interpretationen der Symbole der Signatur. Konkret: A(s) ist eine Menge für s S. A(f) ist eine totale Funktion für f T F wobei A(f) : A(s 1 ) A(s 2 )... A(s n ) A(s) für f : s 1 s 2... s n s

31 4. Algebren 30 A(f) ist eine partielle Funktion für f P F wobei A(f) : A(s 1 ) A(s 2 )... A(s n ) A(s) für f : s 1 s 2... s n?s A(p) ist eine Menge für p P wobei für p : s 1 s 2... s n A(p) A(s 1 ) A(s 2 )... A(s n )

32 4. Algebren 31 Anmerkungen I 1. Sei f ein partielles Funktionssymbol. Dann darf darf überall definiert sein. 2. Die Menge A(f) A(p) enthält die gerade die Werte fuer die das Prädikatssymbol p in der Algebra A wahr ist.

33 4. Algebren 32 Anmerkungen II Jedes (sequentielle) Programm kann als Σ-Algebra aufgefa st werden.

34 4. Algebren 32 Anmerkungen II Jedes (sequentielle) Programm kann als Σ-Algebra aufgefa st werden. Nicht jede Σ-Algebra kann durch ein Programm repräsentiert werden.

35 4. Algebren 33 Anmerkungen III Spezifizieren ist allgemeiner als Programmieren.

36 4. Algebren 33 Anmerkungen III Spezifizieren ist allgemeiner als Programmieren. ABER: Spezifikationssprachen sind i.d.r. einfacher als Programmiersprachen.