Inhaltsangabe 3.1 Zahlensysteme und Darstellung natürlicher Zahlen Darstellung ganzer Zahlen

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1 3 Zahlendarstellung - Zahlensysteme - b-adische Darstellung natürlicher Zahlen - Komplementbildung - Darstellung ganzer und reeller Zahlen Inhaltsangabe 3.1 Zahlensysteme und Darstellung natürlicher Zahlen Darstellung ganzer Zahlen Darstellung von reellen Zahlen Festkommazahlen Gleitkommazahlen Darstellung von Daten in der MI Zusammenfassung

2 42 Kapitel 3. Zahlendarstellung Wir betrachten ein Alphabet (Menge von Zeichen) Σ, dann heißen Kombinationen von n Zeichen aus dem Alphabet Σ w 2 Σ Λ = 1 [ Wörter. Hier wird im allgemeinen eine feste Länge für n angenommen. n=0 Σ n 3.1 Zahlensysteme und Darstellung natürlicher Zahlen Dezimalsystem Als Einführung betrachten wir das " gewohnte" Dezimalsystem mit dem Alphabet Σ 10 = f0; 1; 2;::: ;9g, aus dem sich Wörter wie 17 oder 2128 bilden lassen. Eine feste Länge, z.b. n = 8, erreicht man durch Ergänzung zusätzlicher Nullen zu Beginn des Wortes, also z.b oder Für eine Basis von 2 ergibt sich das Dualsystem Σ 2 = f0; 1g, für eine Basis von 8 das Oktalsystem Σ 8 = f0; 1;::: ;7g, für eine Basis von 16 das Hexadezimalsystem Σ 16 = f0; 1;::: ;9; A; B;:::;Fg, wobei die Zahlen A;::: ;F den Dezimalzahlen 10;::: ;15 entsprechen. Beispiel 3.1: In Dezimaldarstellung ist z = = Die Dezimalzahl z = ergibt zur Basis 2: z = Mit n = 7 sind die Zahlen zwischen 0 und darstellbar. Beispiel 3.2 (MI): Die MI ist fähig, Zahlen zur Basis 2, 10 und 16 darzustellen. Zur Unterscheidung der Basen im Rechner werden folgende Schreibweisen verwendet: 143 = H 8F = B : Man kann also Hexadezimalzahlen in Binärzahlen Stelle für Stelle umwandeln. Für die Wortlänge n sind in der MI gebräuchlich: n Kürzel Bezeichnung 8 B Byte 16 H Halbwort 32 W Wort Bemerkung 3.1: Im Rechner werden Zahlen als (s 0 s 1 s n 1 ) dargestellt, so daß Wert(s 0 ;::: ;s n 1 ) = n 1 s i 2 n 1 i ; i=0 die Stellen werden also entgegengesetzt zur Zweierpotenz angeordnet. 3.2 Darstellung ganzer Zahlen Während die positiven Zahlen analog zu den natürlichen Zahlen dargestellt werden können, benötigen wir für die negativen Zahlen eine andere Darstellungsart. Dafür gibt es drei Möglichkeiten:

3 Darstellung ganzer Zahlen 43 Abbildung 3.1: Darstellung der Register im wx- bzw. wd-modus. Vorzeichen-/Betrags-Darstellung (Sign/Magnitude). Ein Bit wird für die Darstellung des Vorzeichens genutzt (in der Regel 0 für + und 1 für ), meist das am weitesten links stehende. Dadurch wird offensichtlich die für die Darstellung des Betrages zur Verfügung stehende Anzahl an Stellen um 1 gesenkt auf n 1. Beispiel 3.3: 0101 = 5, 1101 = 5. Wir haben also bei n = 4 nur noch 3 Stellen für den Betrag. Bei n = 16 ist = 92. Bei n = 8 ist der Wertebereich der darstellbaren Zahlen statt 0 :::2 8 1 = 0 :::255, nun 127 :::127. Die Null hat in diesem Fall zwei Bitmuster: und Es ergibt sich jedoch bei der technischen Umsetzung der Nachteil, daß ein zusätzliches Subtrahierwerk notwendig ist, da die Subtraktion nicht auf die Addition zurückgeführt werden kann. 1-Komplement Definition 3.1 (1-Komplement): Sei x = (x n 1 :::x 0 ) eine n-stellige Dualzahl. Dann heißt K 1 (x) = (1 = x n 1 ;::: ;1 = x 0 )1-Komplement von x. Wir schreiben auch K 1 (x) = x 1. Das 1-Komplement von x erhält man also durch stellenweises Invertieren von x. Beispiel 3.4: (178) 10 = ( ) 2. Dann ist K 1 (178) = 178 = ( ) 2. Für 5 = (0101) 2 ergibt sich 5 = (1010) 2 = K 1 (5). Voraussetzung für die Anwendung dieser Methode ist eine feste Anzahl von Stellen. 2-Komplement Definition 3.2 (2-Komplement): Sei x = (x n 1 :::x 0 ) eine n-stellige Dualzahl. Dann heißt K 2 (x) = K 1 (x) + 1 das 2-Komplement von x. Wir schreiben auch K 2 (x) = x 2

4 44 Kapitel 3. Zahlendarstellung Beispiel 3.5: Für unsere beiden Beispiele von oben ergibt sich K 2 (5) = K 1 (5)+1 = = 1011 und K 2 (178) = = := 178. MI verwendet eine Zahlendarstellung im 2-Komplement. Bedeutung der Komplementärdarstellungen von z. Dann gilt Sei z eine Zahl, z 1 = K 1 (z) das 1-Komplement z + z 1 = (11 :::1 z } n ) = 2 n 1 z 2 = z = 2 n z = (1 00 :::0 z } n ) z: Addition und Subtraktion von Zahlen Wir definieren nun +z := z und z := 2 n z, also ergibt sich als Wertebereich 2 n 1» w» 2 n 1 1, wobei 2 n 1 := (10 :::0). Dann können wir auf die in Tabelle 3.1 dargestellte Weise addieren bzw. subtrahieren = = = ( 5) = = 11010, 5 2 = = = 15 Tabelle 3.1: Addition im 2-Komplement für n = 5. Man beachte, daß die führende Eins im zweiten Ergebnis gelöscht wird, da sie dem 2 n aus der Komplementbildung entspricht. Das Ergebnis ist also wieder 5-stellig. Wir haben also die Subtraktion zweier (ganzer) Zahlen auf die Addition des 2-Komplements zurückgeführt. Dafür benötigen wird die Berechnung des 2-Komplements. Dabei ergeben sich jedoch folgende Probleme: 1. Zahlen im 2-Komplement müssen gekennzeichnet werden, sonst wird die Eindeutigkeit der Darstellung verloren, z.b. ist ( 5) 2 = und (27) 10 = Insbesondere muß also festgestellt werden, ob der Übertrag von Interesse ist. 2. Bei der Addition zweier negativer Zahlen, z.b. ( 102) + ( 58), können die in Tabelle 3.2 auf der nächsten Seite angegebenen Probleme auftreten. 3. Durch eine Addition von 2 (positiven und negativen) Zahlen bzw. die Subtraktion (je einer positiven und negativen Zahl) kann sich ein Overflow ergeben. Betragsmäßig entsteht eine so große Zahl, daß die n Stellen nicht ausreichen. In der Regel kann von Rechnern (wie auch der MI) ein sogenanntes Overflow-Flag gesetzt werden. Beispiel 3.6: Sei n = 4. Es sollen addiert werden. Dann erhalten wir B B 1000 = B 10100, wobei für die erste Stelle kein Speicherplatz reserviert ist, also tritt ein Overflow auf.

5 Darstellung von reellen Zahlen 45 Dez. Binär K 1 (z) K 2 (z) Bemerkung ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: invertieren (K 2 ) addieren +1 (K 1 ) Tabelle 3.2: Addition negativer Zahlen. Da das Ergebnis negativ sein muß, ist es nötig, nach der normalen Addition das Ergebnis erneut in ein 2-Komplement umzuformen (also erst invertieren, dann mit 1 addieren). Beispiel 3.7: Bei der MI führt die Addition B B zu dem Ergebnis B , es werden die Flags V = 1; C = 1 gesetzt, das Programm wird unterbrochen und es erscheint eine Fehlermeldung im Protokollfenster. Überlauf bei arithmetischen Operationen Ausnahmen auftreten: Bei arithmetischen Operationen können zwei 1. Zum einen der Überlauf (overflow), d.h. das Ergebnis ist bei der aktuellen Länge der Operanden nicht mehr darstellbar. Der Rechner setzt das Bit, das mit RES V bezeichnet wird. Dieses Bit kann durch den Benutzer abgefragt werden oder automatisch einen arithmetischen Alarm auslösen. 2. Zum anderen kann ein Übertrag (carry) auftreten. Er wird in einem Bit, das mit RES C bezeichnet ist, vermerkt. Beispiel 3.8: Bei der Addition von 63 und 37 tritt kein Überlauf auf, da das Ergebnis 100 = ( ) 2 mit 8 Stellen darstellbar ist, ebenfalls tritt kein Übertrag auf, wie er bei der Addition eines Zweierkomplements entstehen würde. Bei der Addition von 100 = ( ) 2 mit 37 = ( ) 2 erhalten wir ( ) 2 als Ergebnis, es tritt also durch die Verwendung des 2-Komplements ein Übertrag auf, aber kein Überlauf. Wird jedoch 100 zu 37 addiert, so erhalten wir als Ergebnis und somit einen Überlauf, jedoch keinen Übertrag. Weiterhin ist mit RES Z abfragbar, ob das Ergebnis 0 ist, mit RES N, ob das Ergebnis negativ ist. 3.3 Darstellung von reellen Zahlen Festkommazahlen Das Komma steht an beliebiger, aber fester Stelle: 1. Spezialfall der Integer-Zahlen, das Komma wird ganz rechts geschrieben: z = n 1 z i 2 i i=0

6 46 Kapitel 3. Zahlendarstellung 2. Komma wird ganz links (vor dem ersten Bit) geschrieben, dann z = n z i 2 i i=0 Dann wäre = = 1=2 + 1=8 + 1=16 + 1=128 = 0; Allgemein wird das Komma an einer festen, aber beliebigen Stelle gesetzt. Sei z := (z n 1 ::: z 1 z 0 ;z 1 ::: z m ) 2 : Dann hat z die Länge n + m, wobei n Stellen vor und m Stellen nach dem Komma gesetzt sind: n 1 z i 2 i : i= m Positive und negative Zahlen müssen in dieser Darstellung noch unterschieden werden, z.b. durch ein Vorzeichenbit. Bemerkung 3.2: Über die Darstellung von reellen Zahlen mit fester Stelle kann nur eine beschränkte Genauigkeit erreicht werden. Außerdem muß gekennzeichnet werden, an welcher Stelle sich das Komma befindet (zumindest bei der letzten Darstellung). Diese Probleme lassen sich durch die Verwendung von Gleitkommazahlen vermeiden Gleitkommazahlen Man spricht auch von halbalgorithmischer Darstellung. Definition 3.3 (Gleitkommazahl): Wir definieren und schreiben dafür kurz z = ±M b ±E. z = ±Mantisse Basis ±Exponent Beispiel 3.9: So ist 1228; 8 = 2; = = 12; Es gibt also verschiedene Möglichkeiten der Darstellung je nach verwendetem Exponenten und verwendeter Basis. Falls die Basis b fixiert ist, ist Angabe von (M; E) für eine eindeutige Darstellung offensichtlich ausreichend. Beispiel 3.10: Für eine Addition von z.b. 1; und 0; ist eine einheitliche Basis und gleicher Exponent notwendig. Man addiert also (1; ; 75) Für eine Zahl existieren verschiedene Darstellungen in dieser Schreibweise. Daher ist eine eindeutige Schreibweise zu definieren: Definition 3.4: Eine Gleitkommazahl der Form ±m b ±d heißt normalisiert, falls gilt 1»jmj < 1: b

7 Darstellung von reellen Zahlen 47 Beispiel 3.11: Beispielsweise ist die Schreibweise 0; normalisiert, da 1 = 1 = 0; 1 < 0; = jmj < 1: b 10 Bemerkung 3.3 (MI): In der MI wird folgende Darstellung verwendet. Die Basis wird auf 2 festgelegt, für das Vorzeichen wird 1 Bit, für den (angenommen positiven) Exponenten werden L Bits und für die Mantisse n Bits reserviert. Daher benötigen wir L + n + 1 Bits für die Darstellung einer Zahl: b 0 b 1 b L b L+1 b L+n Die Normalisierung in der MI erfolgt immer abweichend von oben stehender Definition zwischen 1 und 2, d.h. jede Zahl beginnt mit 1; und wir erhalten als Gesetz für die Normierung 1» M < 2. Daher wird bei der Darstellung der Zahl die führende Eins weggelassen und wir erhalten im Rechner das Gesetz 0» m < 1. Später muß also die 1 wieder dazu addiert werden. Insgesamt erhalten wir also folgende Werte: v = ( 1) b 0 m = n b L+i 2 i ; i=1 e = L b i 2 L i i=1 wobei 0» m < 1 und 0» e» e max = 2 L 1 gilt. In der obigen Darstellung z = ±M b ±E erhalten wir nun M = m + 1 in Vorzeichen/Betrags- Schreibweise und E = e (2 L 1 1). Beispiel 3.12 (Normalisierte Gleitkommazahlen in der MI): Statt 0; in Dualschreibweise ergibt sich als Mantisse in der MI 1101 (die führende 1 fällt weg) und als Exponent 5. Statt 10011; ergibt sich als Mantisse und als Exponent 14. In der MI gibt es zwei Typen für Gleitkomma- Typen von Gleitkommazahlen in der MI zahlen: 1. F (float) als " kurze" Gleitkommazahldarstellung. Zur Speicherung werden 32 Bit verwendet, davon 8 Bit für Exponenten und somit 23 Bit für die Mantisse (sowie 1 Bit für das Vorzeichen). Der Exponent hat 8 Bits und somit den Wertebereich 127» E» 128. Es läßt sich damit eine Genauigkeit von etwa 7 Dezimalstellen erreichen. 2. D (double) als " lange" Gleitkommazahldarstellung. Zur Speicherung werden 64 Bit verwendet, davon 11 Bit für den Exponenten und somit 52 Bit für die Mantisse. Somit lassen sich mit diesem Typ Zahlen im Wertebereich von 1023» E < 1024 mit einer Genauigkeit von etwa 16 Dezimalstellen darstellen.

8 48 Kapitel 3. Zahlendarstellung Bemerkungen zu Gleitkommazahlen: 1. Sehr kleine Zahlen lassen sich nicht als Gleitkommazahlen darstellen, d.h. wir haben ein " kleines Loch" um den Nullpunkt herum. Daraus resultiert in manchen Fällen ein Fehler. Die Zahl 0 wird definiert als 0; 0 = 0; 0 (zwei Darstellungen). 2. Bei Gleitkomma-Operationen können Over- und Underflows bezüglich der normalisierten Darstellung auftreten. Beispiel 3.13: Bei der Addition 0; ; ist das Ergebnis 1; nicht mehr in Normalform und muß erneut zu 0; normalisiert werden. Analog kann bei Subtraktion ein Underflow auftreten, z.b. bei 0; ; Beide Fälle lassen sich also durch eine erneute Normalisierung beheben. Zur Kennzeichnung eines Überlaufs wird e = e max, und zur Kennzeichnung eines Unterlaufs e = 0 verwendet. 3. Hinsichtlich des Wertebereiches lassen sich mit Gleitkommadarstellung Zahlen (double) bis etwa ß 1; darstellen, mit Festkommazahlen bis etwa ß 0; Allerdings haben die Gleitkommazahlen eine ungenauere Darstellung (nur 16 Stellen), beide Darstellungen haben die gleiche Anzahl von Bits, können also die gleiche Anzahl Zahlen darstellen. Je größer der Zahlenbereich bei fester Anzahl von Bits ist, desto ungenauer ist die Darstellung. 3.4 Darstellung von Daten in der MI Zusammenfassung Es lassen sich in der MI natürliche, ganze und Gleitkommazahlen darstellen, wobei die Längen B (8 Bit), H (16 Bit), W (32 Bit), F (32 Bit) und D (64 Bit) zur Verfügung stehen. Operationen in der MI sind datentypspezifisch, z.b. ADD W. Beispiel 3.14: Sei F eine Zahlendarstellung in der MI. Dann hat diese Zahl ein Vorzeichen von ( 1) 0 =+1, einen Exponent E von und eine Mantisse M von Also ergibt sich als Wert E = e (2 L 1 1) = (2 7 1) = 5 M = 1 + m = = 89 = 1; : z =+1 1; = 44; 5: Da der Datentyp F gewählt wurde, belegt z 4 Byte, obwohl die letzten beiden Bytes nicht benötigt werden. Allerdings reicht daher die Adresse des ersten Bytes, da die Zahl am Stück gespeichert wird.