Vl Statistische Prozess- und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung Übung 5

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1 Vl Statistische Prozess- ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 5 Aufgabe ) Sei p = P(A) die Wahrscheilichkeit für ei Ereigis A, dh., es gilt 0 p. Bereche Sie das Maximum der Fuktio f(p) = p(-p). Aufgabe ) Um de Ateil p = P(A) aller Objekte eier Grudgesamtheit zu ermittel, die die Eigeschafte A habe (z.b. A= Ausschuss), zieht ma aus der Grudgesamtheit eie Stichprobe vom Umfag ud schätzt p durch de etsprechede Ateil h (A) (= relative Häufigkeit) i der Stichprobe: p=p(a) h (A) Betrachtet ma h (A) als Zufallsgröße (die Elemete der Stichprobe werde ja zufällig gezoge), so ka ma wieder E ud Var bereche. Es ist folgedes bekat: Für = h (A) gilt: E=p (d.h. h (A) schätzt im Mittel p korrekt) ud Var() = p(-p)/ (d.h.wege Var() = E(-E) = E(h (A)-p) : h (A) schätzt p mit wachsedem immer besser, d.h. die quadratische Abweichug vo p wird im Mittel immer kleier. Wir wolle u wisse, wie groß die Wahrscheilichkeit P( h (A) - p ε) ist, dass für ei feste Stichprobeumfag h (A) vo p höchstes um (ei kleies) ε abweicht. Es ist bekat, dass für 0 h (A) äherugsweise ormalverteilt ist, d.h. es gilt: p( p( h ( A) N( p, ) bzw. ( h ( A) N(0, ). a) Weise Sie uter Verwedug der Normalverteilug ach, dass α u ( ) p( h (A) ± ε mit ε = () ei Vertrauesitervall für p mit der Sicherheit -α ist! b) I () ist p ubekat. Ersetzte Sie i () p(-p) durch die i Aufgabe ermittelte obere Schrake. Wie sieht da ε bzw. ihr Vertrauesitervall h (A) ± ε für p aus? Was passiert da mit der Geauigkeit ud mit der Sicherheit des u etstadee Vertrauesitervalls? c) Wie groß ist für Ihr i Aufgabe ermitteltes Vertrauesitervall h (A) ± ε die Irrtumswahrscheilichkeit P( h (A)-p > ε) höchstes?

2 Vl Statistische Prozess- ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 5 d) Wie groß muss der Stichprobeumfag midestes sei, damit gilt: P( h (A)-p >ε) 0,00? e) Utersuche Sie das Itervall i b) für verschiedee für verschiedee, ε ud α! Was stelle Sie fest? Aufgabe 3) A eier Takstelle wird jedes takede Fahrzeug überprüft, ob es mit eiem Katalysator (K- Auto) ausgerüstet ist oder icht. a) Uter =50 Fahrzeuge befade sich 30 ohe Katalysator. Bereche Sie - uter Verwedug der Normalverteilug- eie Vertrauesbereich für de ubekate Ateil aller K-Autos zur Sicherheit vo 90%! b) Wie viele Autos müsste midestes überprüft werde, damit mit eier Wahrscheilichkeit vo mehr als 90% die relative Häufigkeit der K-Autos vo der tatsächliche (ubekate) Wahrscheilichkeit für ei K-.Auto um weiger als 0,0 abweicht? Reiche =50 Beobachtuge aus? Aufgabe 4) Die Schichtdicke bei eier galvaische Beschichtug vo Autoteile sei ormalverteilt N(µ,σ ). 4 Teile werde galvaisch beschichtet. Als Schichtdicke erhält ma (i µm): 7,0 3, 30, 3,5. a) Bereche Sie ei Vertrauesitervall für die erwartete Schichtdicke µ zur Sicherheitswahrscheilichkeit -α jeweils für - α = 0,90, - α = 0,95, - α = 0,99. Was bedeutet eie Sicherheitswahrscheilichkeit vo 0,90? Was stelle Sie fest, we die Sicherheitswahrscheilichkeit wächst? b) Wie groß ist die Sicherheitswahrscheilichkeit dafür, dass die erwartete Schichtdicke E=µ der Produktio i eiem Vertrauesbereich x ± ε mit der Geauigkeit ε= 3µm liegt? c) 8 weitere Messuge ergabe zusamme mit de o.g. 4 Messuge (Stichprobe vom Umfag =3) folgede Schätzuge für µ ud σ : x µ = 30µ m, s = ( m). Wie groß müsste der Stichprobeumfag sei, damit mit eier Sicherheit vo 95 % die erwartete Schichtdicke µ im Vertrauesbereich x ± ε mit eier Geauigkeit vo ε= µm liegt?

3 Vl Statistische Prozess- ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 5 Aufgabe 5) Bei eier gelieferte Charge vo Drehteile wird agegebe, dass der Mittelwert µ bei 00 mm ud die Stadardabweichug σ bei 0, mm liegt. a) I welchem Bereich müsste da der beobachtete Mittelwert x eier Stichprobe vom Umfag =5 mit eier Sicherheit vo 99% liege? b) Eie Stichprobe vom Umfag =5 ergab das Stichprobemittel x = 99mm. Ageomme, die Agabe σ = 0, mm ist korrekt. Was köe Sie da über die Agabe µ = 00 mm sage? Ist diese auch korrekt? Aufgabe 6) Ahäge: Ahag Übersicht über Tolerazbereiche Ahag Verteilugs- ud Quatil-Tabelle 3

4 Vl Statistische Prozess- ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 5 Ahag Übersicht über Schätzuge ud Tolerazbereiche für p=p(a), µ= E ud σ = Var Schätzfuktioe für p=p(a), µ= E ud σ = Var Sei ~P θ eie Zufallsgröße, dere Verteilug vo eiem ubekate Parameter θ abhägt, (z.b. θ=µ=e oder θ=σ =Var() oder θ=p=p(a)). Defiitio: Sei,, eie Stichprobe vo ( uabhägige wie verteilte Zufallsgröße). Da heißt eie Fuktio der Stichprobe ( ) θ = S(,, ) Schätzfuktio für θ. Gewüschte Eigeschafte eier Schätzfuktio: ( ). Erwartugstreue: E θ = θ. Kosistez: Varθ = E( θ θ ) 0 Erwartugstreue ud kosistete Schätzfuktioe für p=p(a), µ=e ud σ =Var a) Schätzfuktio für Ateile (Wahrscheilichkeite) p=p(a): h (A) = Ateil vo Objekte eier Stichprobe vo vom Umfag, Es gilt: die die Eigeschaft A besitze. E( h ( A)) = p Var ( h ( A)) = E( h ( A) = p( 4 0 p( (Die Ugleichug gilt, weil das Maximum vo f(p)=p(-p) a der Stelle 4 p=/ erreicht wird (Extremwert vo f(p) ist p=/. ) 4

5 Vl Statistische Prozess- ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 5 b) Schätzfuktio für de Erwartugswert µ=e eier Zufallsgröße mit Var()=σ : = i i= arithmetisches Mittel eier Stichprobe,, vo Es gilt: E ( ) = µ Var( ) = E( (erwartugstreu) (Berechug des Erwartugswertes: E( σ µ ) = 0 (kosistet) = = = ) E i E i µ = µ = µ Eigeschafte = i besitzt i i= i= Berechug der Variaz: des Erwartugswertes de gleiche Erwartugswert ( wie vo weil Stichprobe ) Var ( ) = = = Var i σ = σ = σ Var i Eigeschafte = i besitzt i = i= der i die gleiche Variaz Variaz ( vo weil Stichprobe wie ) ) c) Schätzfuktio für die Variaz σ =Var() eier Zufallsgröße : S Es gilt: = ( i ) i= Streuug eier Stichprobe,, vo E ( S ) = σ (erwartugstreu) Var( S ) = E( S σ ) 0 (kosistet) 5

6 Vl Statistische Prozess- ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 5 Defiitio Tolerazbereich: Sei ~P θ eie Zufallsgröße, dere Verteilug vo eiem ubekate Parameter θ abhägt.,, sei eie Stichprobe vo ( uabhägige wie verteilte Zufallsgröße) ud θ = S(,, ) eie erwartugstreue ud kosistete Schätzfuktio für θ. Problem: Auch we eie Schätzfuktioe θ für θ erwartugstreu ud kosistet ist, gilt für jedes feste : P( θ = θ) = 0. D.h. θ trifft θ icht geau. Wir erhöhe die Trefferwahrscheilichkeit, we wir als Schätzug für θ ei kleies Itervall θ ± ε, ε>0, um θ herum betrachte. Defiitio: Das Itervall θ ± ε heisst Vertrauesitervall zur Sicherheitswahrscheilichkeit (Überdeckugswahrscheilichkeit) - α bzw. zur Irrtumswahrscheilichkeit α ud Geauigkeit ε, falls gilt: P θ ε θ θ + ε ) = α ( Adere Bezeichuge für das Vertrauesitervall: Bereichsschätzug, Toleraz- oder Kofidezitervall, Vertrauesbereich, Kofidezbereich Bemerkug: Adere Schreibweise: Es ist P θ ε θ θ + ε ) = P( θ θ ) ( ε Ei Vertrauesitervall hägt vo 3 Größe ab:, ε ud α. Je breiter das Itervall, d.h. je größer ε, desto wahrscheilicher ist es, dass θ i dem Itervall liegt. Natürlich sid wir a möglichst kleie Itervalle iteressiert i dee θ mit hoher Wahrscheilichkeit -α liegt. Da θ kosistet ist, d.h. für wachsede Stichprobeumfag gege θ strebt, köe wir das immer durch ei geüged großes erreiche. 6

7 Vl Statistische Prozess- ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 5 I diesem Zusammehag ergebe sich 3 praktische Fragestelluge: 3 Fragestelluge: a) Gegebe:, ε Gesucht: α b) Gegebe:, α Gesucht: ε c) Gegebe: α, ε Gesucht: Um diese zu beatworte, bzw. Tolerazbereiche bereche zu köe, beötige wir die Wahrscheilichkeitsverteilug der Schätzfuktio θ = S(,, ). Verteiluge der Schätzfuktioe h ( A),, S für p=p(a), E ud Var ) Verteilug vo h (A) : a) Für < 0: h (A) ~ B(, p) p( b) Für 0: h (A) N(p, ) ) Verteilug vo : a) Falls ~N(µ, σ σ ( µ ) ) : ~ N( µ, ) bzw. ~ N(0,) σ ( µ ) ud ~ t s (für > 30 ist t - N(0,)) b) Falls icht ormalverteilt ist oder die Verteilug vo ubekat ist: ( µ ) Für 0: N(0,) σ ( µ ) ud t N(0,) s 3) Verteilug vo S : a) Falls ~N(µ, σ ) : ( ) S σ ~ χ b) Falls icht ormalverteilt ist oder die Verteilug vo ubekat ist: Für 0: ( ) S σ ~ χ 7

8 Vl Statistische Prozess- ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 5 Tolerazitervalle für p=p(a), µ= E ud σ = Var ) Tolerazitervall für Ateile (Wahrscheilichkeite) p=p(a) mit Sicherheitswahrscheilichkeit -α: α u( ) Für 0: h ( A) ± () u(γ) ist das γ-quatil der Stadardormalverteilug (i Ahag Tabelle tabelliert). α u( ) Es gilt: P p h ± ( A) α. () (Beweis zu (): Siehe am Ede dieses Kapitels) )Tolerazitervall für de Erwartugswert µ=e eier Zufallsgröße zur Sicherheit = -α: a) Fall: ~N(µ,σ ) ud bekate Variaz Var()=σ α u( )σ ± (3) (u(γ) ist das γ-quatil der Stadardormalverteilug N(0,), siehe Ahag ) b) Fall: ~N(µ,σ ) ud ubekate Variaz Var()=σ α t ( ) S ± (4) Für > 30 geht ebefalls (weil da t ( γ ) = u( γ ) ist) : α u( ) S ± (5) (t - (γ) ist das γ-quatil der t - -Verteilug, siehe Ahag ) c) Fall: icht ormalverteilt oder die Verteilug vo ist icht bekat: Für 0: Formel (3) falls die Variaz Var()=σ vo bekat ist, Formel (5) falls die Variaz Var()=σ vo ubekat ist. 8

9 Vl Statistische Prozess- ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 5 3) Tolerazitervall für die Variaz σ = Var zur Sicherheitswahrscheilichkeit = -α: Dieses Itervall ist icht symmetrisch: Ug σ Og mit ( ) S Ug =, α χ ( ) ( ) S Og = (6) α χ ( ) χ ( γ ) ist das γ Quatil der Chi-Quadrat-Verteilug χ mit - Freiheitsgrade. Es gilt: P(Ug σ Og) = α (7) Beweis zu Formel (7): Der Beweis erfolgt uter Verwedug der Verteilug ( ) S σ ~ χ (siehe obe): P(Ug σ Og) 9

10 Vl Statistische Prozess- ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 5 Beweis zu Formel (): Der Beweis erfolgt uter Verwedug der Normalverteilug der relative Häufigkeit p( h (A) N(p, ) für 0: 0

11 Vl Statistische Prozess- ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 5 Ahag : Verteilugs- ud Quatiltabelle. Verteilugsfuktio der Stadardormalverteilug Verteilugsfuktio ud Quatile der Stadardormalverteilug Beispiele: u=,67 Φ(u) = 0,955; u=,673 Φ(u) = 0,958; u=-0,8 Φ(u) = -Φ(-u) = -0,7939 = 0,06

12 Vl Statistische Prozess- ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 5. Quatile der χ - Verteilug m\α 0,005 0,0 0,05 0,05 0, 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 0,000 0,000 0,000 0,004 0,06,706 3,84 5,03 6,635 7,879 0,00 0,00 0,05 0,03 0, 4,605 5,99 7,378 9,0 0,60 3 0,07 0,5 0,6 0,35 0,584 6,5 7,85 9,348,34,94 4 0,07 0,97 0,484 0,7,064 7,779 9,4,4 3,8 4,86 5 0,4 0,554 0,83,45,60 9,36,07,83 5,09 6,75 6 0,676 0,87,37,635,04 0,64,59 4,45 6,8 8,55 7 0,989,39,690,67,833,0 4,07 6,0 8,48 0,8 8,344,647,80,733 3,490 3,36 5,5 7,53 0,09,96 9,735,088,700 3,35 4,68 4,68 6,9 9,0,67 3,59 0,56,558 3,47 3,940 4,865 5,99 8,3 0,48 3, 5,9,603 3,053 3,86 4,575 5,578 7,8 9,68,9 4,7 6,76 3,074 3,57 4,404 5,6 6,304 8,55,03 3,34 6, 8,30 3 3,565 4,07 5,009 5,89 7,04 9,8,36 4,74 7,69 9,3 4 4,075 4,660 5,69 6,57 7,790,06 3,68 6, 9,4 3,3 5 4,60 5,9 6,6 7,6 8,547,3 5,00 7,49 30,58 3,80 6 5,4 5,8 6,908 7,96 9,3 3,54 6,30 8,85 3,00 34,7 7 5,697 6,408 7,564 8,67 0,09 4,77 7,59 30,9 33,4 35,7 8 6,65 7,05 8,3 9,390 0,86 5,99 8,87 3,53 34,8 37,6 9 6,844 7,633 8,907 0,,65 7,0 30,4 3,85 36,9 38,58 0 7,434 8,60 9,49 0,85,44 8,4 3,4 34,7 37,57 40,00 5 0,5,5 3, 4,6 6,47 34,38 37,65 40,65 44,3 46, ,79 4,95 6,79 8,49 0,60 40,6 43,98 46,98 50,89 53, ,9 8,5 0,57,46 4,80 46,06 49,0 53,0 57,34 60,7 40 0,7,6 4,43 6,5 9,05 5,8 55,34 59,34 63,69 66,77

13 Vl Statistische Prozess- ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug ,3 5,90 8,37 30,6 33,35 57,5 6,4 65,4 69,96 73,7 50 7,99 9,7 3,36 34,76 37,69 63,7 67,4 7,4 76,5 79, ,53 37,48 40,48 43,9 46,46 74,40 79,30 83,30 88,38 9, ,8 45,44 58,76 5,74 55,33 85,53 90,0 95,0 00,4 04, 80 5,7 53,54 67,5 60,39 64,8 96,58 0,9 06,6,3 6, ,0 6,75 65,65 69,3 73,9 07,6 3, 8, 4, 8, ,33 70,07 74, 77,93 8,36 8,5 4,3 9,6 35,8 40, Quatile χ m (α) der χ -Verteilug mit m Freiheitsgrade P( < χ m (α)) = α 3

14 Vl Statistische Prozess- ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 5 3. Quatile der t-verteilug m\α 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999 Quatile t m (α) der t-verteilug mit m Freiheitsgrade P( < t m (α)) = α t m (α) = - t m (-α) t m (α) = u α für m 500 4