Rechnergrundlagen SS Vorlesung
|
|
- Beate Dieter
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Rechnergrundlagen SS Vorlesung
2 Inhalt Gleitkomma-Darstellung Normalisierte Darstellung Denormalisierte Darstellung Rechnerarchitekturen Von Neumann-Architektur Harvard-Architektur Rechenwerk (ALU) Rechnergrundlagen 2
3 Gleitkomma-Darstellung Anforderung: Für betragsmäßig große Zahlen soll die Anzahl der Nachkommastellen reduziert werden und bei betragsmäßig kleinen Zahlen soll die Zahl der Vorkommastellen reduziert werden. Bei der Gleitkomma-Darstellung (engl.: floating point representation) wird die Zahl mit Hilfe der Mantisse m und dem Exponenten e zu einer Basis b dargestellt. Rechnergrundlagen 3
4 Beispiel 123 i 10 7 = 0, Mantisse: -123 Exponent: -7 Basis: 10 Alternative Darstellungen ,3 i10 = 1, 23 i10 keine Eindeutigkeit in der Darstellung Rechnergrundlagen 4
5 Übung Wie viele Nachkommastellen hat 1,25 * 10-2? Wie viele Nachkommastellen hat 1,25 * 10 2? 1,25 * 10-2 = 0,0125 1,25 * 10 2 = 125,0 Rechnergrundlagen 5
6 Normalisierte Gleitkommazahlen In der normalisierten Darstellung hat die Mantisse exakt eine Vorkommastelle. ± m, m... m i b, wobei m = 1 e 0 1 p 1 0 Für die Darstellung der Mantisse wird eine feste Zahl von Stellen verabredet. Für den Exponenten wird ein Wertebereich [e min,e max ] verabredet. Rechnergrundlagen 6
7 Übung Annahmen: Wir haben eine normalisierte Darstellung. Die Mantisse hat 2 Nachkommastellen in binärer Darstellung. Der Exponent hat 3 bit inklusiv Vorzeichen. Als Basis wird 10 gewählt. Berechnen Sie für benachbarte Zahlen: - das betragsmäßig kleinste Intervall. - das betragsmäßig größte Intervall. 0,25 * 10-3 = 0, ,25 * 10 3 = 250 Rechnergrundlagen 7
8 Darstellung der Null? Auf Grund der Verabredung für die Mantisse kann m = 0,0 nicht dargestellt werden. Daher wird die Null folgendermaßen dargestellt: 1, 0 i e b min 1 Rechnergrundlagen 8
9 Übung Notieren Sie bitte die normalisierten Gleitkommazahlen, die auf der Basis der bisherigen Ausführungen bei Verwendung von 3 bit (x,xx) für die Mantisse, e min =-1, e max =2 und b=2 dargestellt werden können. Stellen Sie die Liste bitte in Dezimaldarstellung auf. 1,00* ,00*2-1 1,01*2-1 0,5 0,625 1,11*2-1 0,875 1,00*2 0 1,0 1,01*2 0 1,25 1,10*2 0 1,5 1,11*2 0 1,75 1,00* ,01*2 1 1,10*2 1 2,5 1,11*2 1 3,0 3,5 1,00* ,01* ,10* ,11*2 2 7 Problem? Rechnergrundlagen 9
10 Denormalisierte Zahlen 1,00*2 0 1,11*2-1 =? In unserem Zahlensystem lautet das Ergebnis: 1,00 * 2-2 Anweisung: if (X!= Y) then Z = 1/(X-Y) Was passiert für den Fall X=1,00*2 0 und Y=1,11*2-1? Laufzeitfehler, da durch 0 geteilt wird! Für e=e min wird m 0 =0 zugelassen. Die so eingeführten Zahlen werden als denormalisierte oder subnormale Zahlen bezeichnet. Rechnergrundlagen 10
11 Übung (erweitert) Notieren Sie bitte die normalisierten und denormalisierten Gleitkommazahlen, die auf der Basis der bisherigen Ausführungen bei Verwendung von 3 bit (x,xx) für die Mantisse, e min =-1, e max =2 und b=2 dargestellt werden können. Stellen Sie die Liste bitte in Dezimaldarstellung auf. Rechnergrundlagen 11
12 Erweitertes Beispiel 1,00* ,125 0,01*2-1 0,25 0,10*2-1 0,375 0,11*2-1 1,00*2-1 0,5 1,01*2-1 0,625 1,10*2-1 0,75 1,11*2-1 0,875 1,00*2 0 1,0 1,01*2 0 1,25 1,10*2 0 1,5 1,11*2 0 1,75 1,00* ,01*2 1 1,10*2 1 2,5 1,11*2 1 3,0 3,5 1,00* ,01* ,10* ,11*2 2 7 Rechnergrundlagen 12
13 Definition eines Gleitkomma- Zahlensystems Basis (base, radix) b >= 2 Mantissenlänge (precision) p >= 2 kleinster Exponent e min < 0 größter Exponent e max > 0 Normalisierungsindikator denorm, hierbei handelt es sich um einen Wahrheitswert (true bedeutet, dass denormalisierte Zahlen enthalten sind) Rechnergrundlagen 13
14 Beispiele Ein Gleitkomma-Zahlensystem kann durch F(b,p,e min,e max,denorm) definiert werden. Intel x86-prozessoren einfach genau: F(2,24,-126,127,true) Intel x86-prozessoren doppelt genau: F(2,53,-1022,1023,true) Die beiden Beispiele folgen der IEEE Norm 754. Rechnergrundlagen 14
15 IEEE, single precision I F(2,24,-126,127,true) ca. 4,26 * 10 9 normalisierte und ca. 1,7 * 10 7 denormalisierte Gleitkommazahlen können dargestellt werden kleinster Wert ca. 1,18 * größter Wert ca. 3,40 * IEEE 754 Norm für Gleitkommazahlen wurde erst im Jahr 1989 verabschiedet. Sie ist als IEC 559:1989 auch internationale Norm. Rechnergrundlagen 15
16 IEEE, single precision II S E O Z = ( 1) imi2, wobei O = 127 Rechnergrundlagen 16
17 Beispiel: Exponent: 2 5 =32 Offset: = /32= = Überprüfung: 1/4+1/8+1/32+1/64+1/256 Rechnergrundlagen 17
18 IEEE, single precision (Beispiel) Beispiel: Fraktion f = (beachte ) bit 0-22 dargestellter Exponent e = bit Vorzeichen s = 0 bit 31 Damit ist die Darstellung im IEEE 754-Format mit einfacher Genauigkeit (single precision): Rechnergrundlagen 18
19 Rundung In der Mathematik sind die reellen Zahlen unendlich. Jedes Gleitkomma-Zahlensystem hat endlich viele Elemente. Daher müssen Verfahren zur Rundung realisiert werden, nicht nur für Zahlen die kleiner oder größer sind als die Extremwerte. Bei der Durchführung der Rundung resultiert ein Rundungsfehler. Rechnergrundlagen 19
20 Arithmetik Für Addition und Subtraktion müssen die Exponenten beider Operanden angepasst werden. Es werden zusätzliche Bits zur Gewährleistung der Rundungsgenauigkeit eingeführt. Für Multiplikation bzw. Division müssen die Exponenten addiert bzw. subtrahiert werden. Die Mantissen werden multipliziert bzw. dividiert. In allen Fällen wird die Arithmetik auf Festkomma-Operation zurückgeführt. Rechnergrundlagen 20
21 Multiplikation und Division von Gleitkommazahlen Rechnergrundlagen 21
22 Rechnerarchitekturen I Die Architektur eines Rechners bestimmt maßgeblich folgende Aspekte: Rechenleistung Effizienz (Rechenleistung bzgl. Hardwarekosten) Datendurchsatz Gesamtkosten eines lauffähigen Systems Rechnergrundlagen 22
23 Rechnerarchitekturen II Die Wahl der Architektur eines Rechners wird durch folgende Aspekte beeinflusst: Einsatzgebiet anfallende Datenmengen Zugriff auf externe Dienste Umweltbedingungen Qualitätsanforderungen Kosten Rechnergrundlagen 23
24 Von-Neumann-Architektur Prinzipien und Regeln für die Architektur wurden 1946 von John von Neumann aufgestellt. Befehl und Operand werden nacheinander aus dem selben Speicher geladen. Aktuell die die am weitesten verbreitete Architektur. Rechnergrundlagen 24
25 Prinzipien der von-neumann- Architektur Ein Rechner besteht aus Rechenwerk, Leitwerk, Speicher und Schnittstellen. Das Rechensystem ist unabhängig vom Problem. Die Anpassung geschieht durch Austausch der Programme. Befehle und Operanden befinden sich im selben Speicher. Befehle im Speicher werden sequentiell abgearbeitet. Sprünge sind erlaubt. Rechnergrundlagen 25
26 Struktur der von-neumann- Architektur Rechnergrundlagen 26
27 Harvard-Architektur Für Befehle und Operanden stehen getrennte Speicher und Busse zur Verfügung. Damit werden im Vergleich zur von- Neumann-Architektur doppelt so viele Adress- und Datenleitungen benötigt. Rechnergrundlagen 27
28 Struktur Harvard-Architektur Rechnergrundlagen 28
29 Eingabe und Ausgabe Das Eingabewerk dient zur Aufnahme von Daten in den Rechner. Das Ausgabewerk dient zur Ausgabe, der im Rechner ermittelten Daten. Rechnergrundlagen 29
30 Speicher Die im Speicher abgelegten Daten sind in Worten organisiert. Ein Wort ist eine Binärzahl fester Länge. Typische Wortbreiten sind 8, 16, 32 oder 64 Bit. Im Speicher sind alle Worte gleich. D.h. es lässt sich nicht erkennen um welchen Datentyp es sich handelt. Rechnergrundlagen 30
31 Rechenwerk (ALU) (Arithmetic Logic Unit) In der ALU werden alle arithmetischen und logischen Operationen ausgeführt. Die ALU verarbeitet ganze Datenworte in einem Verarbeitungsschritt. Die ALU hat nur logische Gatter. Außer dem Ergebnisregister enthält sie keine Speicher. Die Rechenoperationen lassen sich auf Addition, Komplementbildung und Schieben (Shift) zurückführen. Die logischen Operationen lassen sich auf AND, OR, NOT zurückführen. Mit Hilfe von Flags werden einige für nachfolgende Operationen wichtige Informationen übergeben. Rechnergrundlagen 31
32 Funktionen einer ALU Generierung von Konstanten Logikfunktionen (UND, ODER, NICHT) Addition Komplementbildung Schiebeoperationen Durchreichen von Operanden Flags zur Verfügung stellen Rechnergrundlagen 32
33 Flags Sign-Flag, Vorzeichen (S, N) Carry-Flag, Übertrag (C) Overflow-Flag, Überlauf (O) Zero-Flag, Wert ist 0 (Z) Rechnergrundlagen 33
34 Struktur einer ALU Rechnergrundlagen 34
35 Beispielrechner Adressbreite 24 bit, Rechenoperationen 16 bit Die ALU muss beide Wortbreiten unterstützen Rechnergrundlagen 35
36 Multiplexer Ein Multiplexer legt in Analogie zu einem Drehschalter einen ausgewählten Eingang auf den Ausgang. Mit Hilfe der binären Signale S i wird ein Eingangssignal X n ausgewählt. Rechnergrundlagen 36
37 2:1 Multiplexer S1 X2 X1 Y Im Fall S 1 =0 wird X 1 selektiert und im Fall S 1 =1 wird X 2 selektiert. S Y X X 1 2 Welche Selektion wird durch die Wahrheitstabelle definiert? Rechnergrundlagen 37
38 8:1 Multiplexer S S S Y X X X X X X X X Rechnergrundlagen 38
39 MUX (DIN-Symbol) Rechnergrundlagen 39
40 Vollständige ALU (Beispielrechner) Rechnergrundlagen 40
41 Arithmetik in der Beispiel-ALU Rechnergrundlagen 41
42 Steuerung der Beispiel-ALU Rechnergrundlagen 42
bei Unterlauf wird stattdessen Hälfte des Divisors addiert Ersparnisse einer Addition bzw. Subtraktion
6.2 Non-Restoring Division Restoring Division Divisor wird subtrahiert falls Unterlauf (Ergebnis negativ) Divisor wird wieder addiert im nächsten Durchlauf wird die Hälfte des Divisor subtrahiert (Linksshift
MehrRechnergrundlagen SS Vorlesung
Rechnergrundlagen SS 2007 3. Vorlesung Inhalt Zahlensysteme Binäre Darstellung von Integer-Zahlen Vorzeichen-Betrag Binary Offset 1er-Komplement 2er-Komplement Addition und Subtraktion binär dargestellter
Mehr2.1.2 Gleitkommazahlen
.1. Gleitkommazahlen Überblick: Gleitkommazahlen Gleitkommadarstellung Arithmetische Operationen auf Gleitkommazahlen mit fester Anzahl von Mantissen- und Exponentenbits Insbesondere Rundungsproblematik:
MehrInhaltsangabe 3.1 Zahlensysteme und Darstellung natürlicher Zahlen Darstellung ganzer Zahlen
3 Zahlendarstellung - Zahlensysteme - b-adische Darstellung natürlicher Zahlen - Komplementbildung - Darstellung ganzer und reeller Zahlen Inhaltsangabe 3.1 Zahlensysteme und Darstellung natürlicher Zahlen......
MehrTechnische Grundlagen der Informatik
Technische Grundlagen der Informatik WS 2008/2009 16. Vorlesung Klaus Kasper WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik 1 Inhalt Wiederholung: Gleitkommadarstellung Konstruktion Normalisierte /
MehrGrundzüge der Informatik Tutorium Gruppe 6
Grundzüge der Informatik Tutorium Gruppe 6 Inhalt Einführung Numerik Fest- und Termin 5 07.2.2006 Apfelthaler Kathrin Test-Beispiel e0225369@student.tuwien.ac.at Numerik Festpunkt-Darstellung Berechnung
Mehr6.2 Kodierung von Zahlen
6.2 Kodierung von Zahlen Neue Begriffe é Festkommadarstellungen é Zahlendarstellung durch Betrag und Vorzeichen é Einer-/Zweierkomplement-Darstellung é Gleitkommadarstellung é IEEE-754 Format BB TI I 6.2/1
MehrInformationsmenge. Maßeinheit: 1 Bit. 1 Byte. Umrechnungen: Informationsmenge zur Beantwortung einer Binärfrage kleinstmögliche Informationseinheit
Informationsmenge Maßeinheit: 1 Bit Informationsmenge zur Beantwortung einer Binärfrage kleinstmögliche Informationseinheit 1 Byte Zusammenfassung von 8 Bit, kleinste Speichereinheit im Computer, liefert
MehrWertebereiche, Overflow und Underflow
Wertebereiche, Overflow und Underflow s exponent fraction 1 Bit 8 Bits 23 Bits Kleinste darstellbare nicht negative Zahl annähernd 2,0 * 10 38 Größte darstellbare Zahl annähernd 2,0 * 10 38 Was, wenn die
MehrGrundlagen der Technischen Informatik. 4. Übung
Grundlagen der Technischen Informatik 4. Übung Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit 4. Übungsblatt Themen Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: IEEE Format Zahlenumwandlung
Mehr2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
2.1 Analoge und digitale Darstellung von Werten 79 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Computer- bzw. Prozessorsysteme führen Transformationen durch, die Eingaben X auf Ausgaben Y abbilden, d.h. Y = f
MehrMotivation 31. Mai 2005
Motivation 31. Mai 25 Zuletzt behandelt: Zahlendarstellung und Rechnerarithmetik Festkommazahlen: Vorzeichen/Betrag-Darstellung Einerkomplement, Zweierkomplement Rückführung der Subtraktion auf die Addition
MehrTECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Die Mikroprogrammebene eines Rechners Das Abarbeiten eines Arbeitszyklus eines einzelnen Befehls besteht selbst wieder aus verschiedenen Schritten, z.b. Befehl
MehrInformatik 12 Kapitel 3 - Funktionsweise eines Rechners
Fachschaft Informatik Informatik 12 Kapitel 3 - Funktionsweise eines Rechners Michael Steinhuber König-Karlmann-Gymnasium Altötting 9. Februar 2017 Folie 1/36 Inhaltsverzeichnis I 1 Komponenten eines PCs
MehrNumerik. Festpunkt-Darstellung
Numerik Ablauf: Festpunkt-Darstellung Gleitpunkt-Darstellung Runden Addition/Subtraktion Multiplikation Ausblick und Zusammenfassung Wolfgang Kastner, Institut für Rechnergestützte Automation, TU Wien
Mehr, 2014W Übungstermin: Fr.,
VU Technische Grundlagen der Informatik Übung 1: Zahlendarstellungen, Numerik 183.579, 2014W Übungstermin: Fr., 17.10.2014 Allgemeine Hinweise: Versuchen Sie beim Lösen der Beispiele keine elektronischen
MehrMultiplikation. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 79
Multiplikation Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 79 Multiplikation nach der Schulmethode Gegeben seien die Binärzahlen A und B. Was ist a * b? Beispiel: Multiplikand A: 1 1 0 1 0 Multiplikator
Mehr, 2015S Übungstermin: Mi.,
VU Grundlagen digitaler Systeme Übung 1: Zahlendarstellungen, Numerik 183.580, 2015S Übungstermin: Mi., 18.03.2015 Allgemeine Hinweise: Versuchen Sie beim Lösen der Beispiele keine elektronischen Hilfsmittel
MehrZahlen im Computer (Klasse 7 Aufbaukurs Informatik)
Zahlen im Computer (Klasse 7 Aufbaukurs Informatik) Die Bildauswahl erfolgte in Anlehnung an das Alter der Kinder Prof. J. Walter Bitte römische Zahlen im Geschichtsunterricht! Messsystem mit Mikrocontroller
MehrDie Zahl ist: (z 2, z 1, z 0 ) (z ) : 7 = 0 Rest z 2
Übungen zur Vorlesung Technische Informatik I, SS Hauck / Guenkova-Luy / Prager / Chen Übungsblatt 4 Rechnerarithmetik Aufgabe : a) Bestimmen Sie die Darstellung der Zahl 3 zur Basis 7. 3 = 7 (Sehen Sie
MehrGrundlagen der Technischen Informatik. 4. Übung
Grundlagen der Technischen Informatik 4. Übung Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit 4. Übungsblatt Themen Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: IEEE Format Zahlenumwandlung
MehrDuE-Tutorien 16 und 17
Tutorien zur Vorlesung Digitaltechnik und Entwurfsverfahren Tutorienwoche 2 am 12.11.2010 1 Christian A. Mandery: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Grossforschungszentrum in der
MehrHaDePrak WS 05/ Versuch
HaDePrak WS 05/06 10. Versuch 1 Das IEEE-Format Das Ziel dieser letzten Übung ist es, ein Fließkommapaket für die DLXzu implementieren. Der Einfachheit halber vernachlässigen wir hier im Praktikum jeglichen
MehrGleitkommaarithmetik. Erhöhen der Genauigkeit. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 124
Gleitkommaarithmetik Erhöhen der Genauigkeit Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 124 Guard Bit, Round Bit und Sticky Bit Bei der Darstellung der Addition und Multiplikation haben wir
MehrLösung 2. Übungsblatt
Fakultät Informatik, Technische Informatik, Professur für Mikrorechner Lösung 2. Übungsblatt Bildung von Gleitkommazahlen nach IEEE 754 und arithmetische Operationen mit Binärzahlen ANSI/IEEE 754-1985
MehrDie Mikroprogrammebene eines Rechners
Die Mikroprogrammebene eines Rechners Das Abarbeiten eines Arbeitszyklus eines einzelnen Befehls besteht selbst wieder aus verschiedenen Schritten, z.b. Befehl holen Befehl dekodieren Operanden holen etc.
MehrGrundlagen der Rechnerarchitektur. Binäre Logik und Arithmetik
Grundlagen der Rechnerarchitektur Binäre Logik und Arithmetik Übersicht Logische Operationen Addition, Subtraktion und negative Zahlen Logische Bausteine Darstellung von Algorithmen Multiplikation Division
MehrComputerarithmetik ( )
Anhang A Computerarithmetik ( ) A.1 Zahlendarstellung im Rechner und Computerarithmetik Prinzipiell ist die Menge der im Computer darstellbaren Zahlen endlich. Wie groß diese Menge ist, hängt von der Rechnerarchitektur
MehrGrundlagen der Technischen Informatik. 4. Übung
Grundlagen der Technischen Informatik 4. Übung Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit 4. Übungsblatt Themen Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: Aufgabe 5: Aufgabe 6: +/-/*
MehrEinführung in die Programmiertechnik
Einführung in die Programmiertechnik Darstellung von Zahlen Natürliche Zahlen: Darstellungsvarianten Darstellung als Text Üblich, wenn keine Berechnung stattfinden soll z.b. Die Regionalbahn 28023 fährt
MehrRO-Tutorien 3 / 6 / 12
RO-Tutorien 3 / 6 / 12 Tutorien zur Vorlesung Rechnerorganisation Christian A. Mandery WOCHE 3 AM 13./14.05.2013 KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
MehrGrundlagen der Technischen Informatik Wintersemester 12/13 J. Kaiser, IVS-EOS
Gleit komma zahlen Gleitkommazahlen in vielen technischen und wissenschaftlichen Anwendungen wird eine große Dynamik benötigt: sowohl sehr kleine als auch sehr große Zahlen sollen einheitlich dargestellt
Mehr4. Zahlendarstellungen
121 4. Zahlendarstellungen Wertebereich der Typen int, float und double Gemischte Ausdrücke und Konversionen; Löcher im Wertebereich; Fliesskommazahlensysteme; IEEE Standard; Grenzen der Fliesskommaarithmetik;
MehrKapitel 5: Darstellung von Daten im Rechner
Kapitel 5: Darstellung von Daten im Rechner Kapitel 5 Darstellung von Daten im Rechner und Rechnerarithmetik Literatur: Oberschelp/Vossen, Kapitel 5 Kapitel 5: Darstellung von Daten im Rechner Seite Kapitel
MehrMathematische Werkzeuge für Computergrafik 2016/17. Gleitkommzahlen
Mathematische Werkzeuge für Computergrafik 2016/17 Gleitkommzahlen 1 Grundlagen 1 Da im Computer nur endliche Ressourcen zur Verfügung stehen, können reelle Zahlen in vielen Fällen nicht exakt dargestellt
MehrBB/CS- SS00 Rechner im Überblick 1/1. Ein Stellenwertsystem (Zahlensystem) ist ein Tripel S = (b, Z, δ) mit den folgenden Eigenschaften:
Neue Begriffe Festkommadarstellungen Zahlendarstellung durch Betrag und Vorzeichen Einer-/Zweierkomplement-Darstellung Gleitkommadarstellung IEEE-754 Format BB/CS- SS00 Rechner im Überblick 1/1! Definition
MehrInformatik I Modul 5: Rechnerarithmetik (2)
Herbstsemester 2, Institut für Informatik IFI, UZH, Schweiz Informatik I Modul 5: Rechnerarithmetik (2) 2 Burkhard Stiller M5 Modul 5: Rechnerarithmetik (2) Grundrechenarten Arithmetisch-logische Einheit
MehrTutorium Rechnerorganisation
Woche 3 Tutorien 3 und 4 zur Vorlesung Rechnerorganisation 1 Christian A. Mandery: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Grossforschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu
MehrBinäre Division. Binäre Division (Forts.)
Binäre Division Umkehrung der Multiplikation: Berechnung von q = a/b durch wiederholte bedingte Subtraktionen und Schiebeoperationen in jedem Schritt wird Divisor b testweise vom Dividenden a subtrahiert:
MehrAlgorithmen & Programmierung. Reelle Zahlen in C (1) Darstellung reeller Zahlen
Algorithmen & Programmierung Reelle Zahlen in C (1) Darstellung reeller Zahlen Reelle Zahlen in C Datentyp für reelle Zahlen Eine Möglichkeit, Berechnungen mit reellen Zahlen in C durchzuführen, ist die
Mehr3 Rechnen und Schaltnetze
3 Rechnen und Schaltnetze Arithmetik, Logik, Register Taschenrechner rste Prozessoren (z.b. Intel 4004) waren für reine Rechenaufgaben ausgelegt 4 4-Bit Register 4-Bit Datenbus 4 Kbyte Speicher 60000 Befehle/s
MehrN Bit binäre Zahlen (signed)
N Bit binäre Zahlen (signed) n Bit Darstellung ist ein Fenster auf die ersten n Stellen der Binär Zahl 0000000000000000000000000000000000000000000000000110 = 6 1111111111111111111111111111111111111111111111111101
Mehrfloat: Fließkommazahl nach IEEE 754 Standard mit 32 bit
Primitive Datentypen Fließkommazahlen float: Fließkommazahl nach IEEE 754 Standard mit 32 bit Vorzeichen Exponent 8 bit Mantisse 23 bit double: Fließkommazahl nach IEEE 754 Standard mit 64 bit Vorzeichen
Mehr1. Vorzeichen und Betrag (engl. Sign-/Magnitude) 2. Stellenkomplement 3. Basiskomplement
3 Darstellungsformen für Zahlen Informatik II SS 24 Dipl.-Inform. Michael Ebner. Vorzeichen und Betrag (engl. Sign-/Magnitude) 2. Stellenkomplement 3. Basiskomplement Warum 3 Darstellungsformen? Ziel:
MehrWH: Arithmetik: Floating Point
WH: Arithmetik: Floating Point Elmar Langetepe University of Bonn Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 1 Real RAM Robuste Implementierungen Floating Point Arithmetik Bonn 06 2 Real
Mehrin vielen technischen und wissenschaftlichen Anwendungen erforderlich: hohe Präzision große Dynamik möglich durch Verwendung von Gleitkommazahlen
Inhalt Motivation 2 Integer- und Festkomma-Arithmetik Zahlendarstellungen Algorithmen für Integer-Operationen Integer-Rechenwerke Rechnen bei eingeschränkter Präzision 3 Gleitkomma-Arithmetik Zahlendarstellungen
MehrControl Beispiel. Control wird als kombinatorische Schaltung realisiert. Hierzu die Wahrheitstabelle: Control
Control Beispiel Store R1 4 Bit Register R1 SUB 4 Bit Register R2 Store R2 R2 Bit 0 Control wird als kombinatorische Schaltung realisiert. Hierzu die Wahrheitstabelle: Eingabe R2 Bit 0 Zero 0 0 Ausgabe
MehrInhalt. Zahlendarstellungen
Inhalt 1 Motivation 2 Integer- und Festkomma-Arithmetik Zahlendarstellungen Algorithmen für Integer-Operationen Integer-Rechenwerke Rechnen bei eingeschränkter Präzision 3 Gleitkomma-Arithmetik Zahlendarstellungen
Mehr5 Zahlenformate und deren Grenzen
1 5 Zahlenformate und deren Grenzen 5.1 Erinnerung B-adische Zahlendarstellung Stellenwertsystem: Jede Ziffer hat ihren Wert, und die Stelle der Ziffer in der Zahl modifiziert den Wert. 745 = 7 100 + 4
MehrNumerische Verfahren und Grundlagen der Analysis
Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Rasa Steuding Hochschule RheinMain Wiesbaden Wintersemester 2011/12 R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 1 / 19 Fehlerbetrachtung R. Steuding
MehrII. Grundlagen der Programmierung
II. Grundlagen der Programmierung II.1. Zahlenssteme und elementare Logik 1.1. Zahlenssteme 1.1.1. Ganze Zahlen Ganze Zahlen werden im Dezimalsstem als Folge von Ziffern 0, 1,..., 9 dargestellt, z.b. 123
Mehr1.5 Einführung und Zahlensysteme/Darstellung gebrochener Zahlen
1.5 Einführung und Zahlensysteme/Darstellung gebrochener Zahlen 1.5.1 Situation Manchmal möchte man in Programmen mit Kommazahlen rechnen. In der Mathematik Im der Wirtschaft, im kaufmännischen Bereich
MehrRechnergrundlagen SS Vorlesung
Rechnergrundlagen SS 27 4. Vorlesung Inhalt Binäre Darstellung von Integer-Zahlen Vorzeichen-Betrag 2er-Komplement BCD Addition und Subtraktion binär dargestellter Zahlen Carry und Overflow Little Endian
MehrAlgorithmen zur Division
Algorithmen zur Division Umkehrung der Multiplikation: Berechnung von q = a / b durch wiederholte bedingte Subtraktionen und Schiebeoperationen in jedem Schritt wird Divisor b testweise vom aktuellen Rest
MehrDarstellung von negativen binären Zahlen
Darstellung von negativen binären Zahlen Beobachtung für eine beliebige Binärzahl B, z.b. B=110010: B + NOT(B) ---------------------------------------------- = B + NOT(B) 1 + (Carry) ----------------------------------------------
MehrArithmetik. Zahlendarstellung, Addition und Subtraktion Multiplikation, Division, Fest- und Gleitkommazahlen
Computer and Communication Systems (Lehrstuhl für Technische Informatik) Arithmetik Zahlendarstellung, Addition und Subtraktion Multiplikation, Division, Fest- und Gleitkommazahlen [TI] Winter 2013/2014
MehrZwischenklausur Informatik, WS 2016/17. Lösungen zu den Aufgaben
Zwischenklausur Informatik, WS 206/7 4.2.206 Lösungen zu den Aufgaben. Gegeben sind folgende Dualzahlen in Zweierkomplementdarstellung. Geben Sie den jeweils zugehörigen Dezimalwert an! a) entspricht der
Mehr4. Zahlendarstellungen
Bin are Zahlendarstellungen Binäre Darstellung ("Bits" aus {0, 1) 4. Zahlendarstellungen bn bn 1... b1 b0 entspricht der Zahl bn 2n + + b1 2 + b0 Wertebereich der Typen int, float und double Gemischte
MehrComputergrundlagen Zahlensysteme
Computergrundlagen Zahlensysteme Institut für Computerphysik Universität Stuttgart Wintersemester 2012/13 Wie rechnet ein Computer? Ein Mikroprozessor ist ein Netz von Transistoren, Widerständen und Kondensatoren
MehrGTI ÜBUNG 4 BINÄR-, HEX- UND GLEITKOMMAZAHLEN-ARITHMETIK
1 GTI ÜBUNG 4 BINÄR-, HEX- UND GLEITKOMMAZAHLEN-ARITHMETIK Aufgabe 1 Bin- und Hex Arithmetik 2 Führen Sie die folgenden Berechnungen im angegebenen Zahlensystem aus, ohne die Zahlen ins Dezimalsystem umzuwandeln:
MehrÜbungen zur Vorlesung Technische Informatik I, SS 2001 Strey / Guenkova-Luy / Prager Übungsblatt 4 Zahlendarstellung/Rechenarithmetik/Rechenwerke
Übungen zur Vorlesung Technische Informatik I, SS 2001 Strey / Guenkova-Luy / Prager Übungsblatt 4 Zahlendarstellung/Rechenarithmetik/Rechenwerke Aufgabe 1: a) Bestimmen Sie die Darstellung der Zahl 113
MehrVorzeichenbehaftete Festkommazahlen
106 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Vorzeichenbehaftete Festkommazahlen Es gibt verschiedene Möglichkeiten, binäre vorzeichenbehaftete Festkommazahlen darzustellen: Vorzeichen und Betrag EinerKomplement
MehrComputer Arithmetik. Computer Arithmetik Allgemein
Vortrag von René Grohmann und Mirwais Turjalei, 22.11.2000 Computer Arithmetik Computer Arithmetik Allgemein Die ALU: Die Alu ist die Einheit im Computer, die dazu bestimmt ist arithmetische und logische
MehrProgrammieren. Kapitel 3: Wie funktioniert ein moderner Computer? Wintersemester 2008/2009. Prof. Dr. Christian Werner
Institut für Telematik Universität zu Lübeck Programmieren Kapitel 3: Wie funktioniert ein moderner Computer? Wintersemester 8/9 Prof. Dr. Christian Werner 3- Überblick Typische Merkmale moderner Computer
MehrKap 4. 4 Die Mikroprogrammebene eines Rechners
4 Die Mikroprogrammebene eines Rechners Das Abarbeiten eines Arbeitszyklus eines einzelnen Befehls besteht selbst wieder aus verschiedenen Schritten (Befehl holen, Befehl dekodieren, Operanden holen etc.).
MehrLösungsvorschlag 6. Übung Technische Grundlagen der Informatik II Sommersemester Aufgabe 6.1: Multiplikation von positiven Dualzahlen
Fachgebiet Rechnerarchitektur Fachbereich Informatik Lösungsvorschlag 6. Übung Technische Grundlagen der Informatik II Sommersemester 2009 Aufgabe 6.1: Multiplikation von positiven Dualzahlen Berechnen
Mehrin vielen technischen und wissenschaftlichen Anwendungen erforderlich: hohe Präzision große Dynamik möglich durch Verwendung von Gleitkommazahlen
Gleitkommazahlen in vielen technischen und wissenschaftlichen Anwendungen erforderlich: hohe Präzision große Dynamik möglich durch Verwendung von Gleitkommazahlen allgemeine Gleitkommazahl zur Basis r
MehrTeil 2: Rechnerorganisation
Teil 2: Rechnerorganisation Inhalt: Zahlendarstellungen Rechnerarithmetik Mikroprogrammierung schrittweiser Entwurf eines hypothetischen Prozessors mit Daten-, Adreß- und Kontrollpfad Speicherorganisation
MehrTeil 2: Rechnerorganisation
Teil 2: Rechnerorganisation Inhalt: Zahlendarstellungen Rechnerarithmetik Mikroprogrammierung schrittweiser Entwurf eines hypothetischen Prozessors mit Daten-, Adreß- und Kontrollpfad Speicherorganisation
MehrGrundlagen der Technischen Informatik. 3. Übung
Grundlagen der Technischen Informatik 3. Übung Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit 3. Übungsblatt Themen Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: Aufgabe 5: Zahlendarstellungen
MehrRechnernetze und Organisation
Arithmetic Logic Unit ALU Professor Dr. Johannes Horst Wolkerstorfer Cerjak, 9.2.25 RNO VO4_alu Übersicht Motivation ALU Addition Subtraktion De Morgan Shift Multiplikation Gleitkommazahlen Professor Dr.
Mehr3. Datentypen, Ausdrücke und Operatoren
3. Datentypen, Ausdrücke und Operatoren Programm muß i.a. Daten zwischenspeichern Speicherplatz muß bereitgestellt werden, der ansprechbar, reserviert ist Ablegen & Wiederfinden in höheren Programmiersprachen
MehrZwischenklausur Informatik, WS 2014/15
Zwischenklausur Informatik, WS /5.. Zugelassene Hilfsmittel: außer Stift und Papier keine Hinweis: Geben Sie bei allen Berechnungen den vollständigen Rechenweg mit an! Alle Aufgaben/Fragen sind unmittelbar
MehrDatenpfad einer einfachen MIPS CPU
Datenpfad einer einfachen MIPS CPU Die Branch Instruktion beq Grundlagen der Rechnerarchitektur Prozessor 13 Betrachten nun Branch Instruktion beq Erinnerung, Branch Instruktionen beq ist vom I Typ Format:
MehrInformationssysteme Gleitkommazahlen nach dem IEEE-Standard 754. Berechnung von Gleitkommazahlen aus Dezimalzahlen. HSLU T&A Informatik HS10
Informationssysteme Gleitkommazahlen nach dem IEEE-Standard 754 Berechnung von Gleitkommazahlen aus Dezimalzahlen Die wissenschaftliche Darstellung einer Zahl ist wie folgt definiert: n = f * 10 e. f ist
MehrVorlesung Programmieren
Vorlesung Programmieren Zahlendarstellung Prof. Dr. Stefan Fischer Institut für Telematik, Universität zu Lübeck http://www.itm.uni-luebeck.de/people/pfisterer Agenda Zahlendarstellung Oder: wie rechnen
MehrLösungsvorschlag zu 1. Übung
Prof. Frederik Armknecht Sascha Müller Daniel Mäurer Grundlagen der Informatik 3 Wintersemester 09/10 Lösungsvorschlag zu 1. Übung 1 Präsenzübungen 1.1 Schnelltest a) Welche der Aussagen treffen auf jeden
MehrBinäre Gleitkommazahlen
Binäre Gleitkommazahlen Was ist die wissenschaftliche, normalisierte Darstellung der binären Gleitkommazahl zur dezimalen Gleitkommazahl 0,625? Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 72
MehrKapitel 5: Daten und Operationen
Kapitel 5: Daten und Operationen Felix Freiling Lehrstuhl für Praktische Informatik 1 Universität Mannheim Vorlesung Praktische Informatik I im Herbstsemester 2007 Folien nach einer Vorlage von H.-Peter
MehrTechnische Informatik I SS 2005
Übungen zur Vorlesung Technische Informatik I SS 2005 Hauck, Schmied, De Melis, Guenkova-Luy Übungsblatt 4 Zahlendarstellung und Rechenarithmetik 1 Zahlenumwandlung Zahlendarstellung Binär wird zur Zahlenumwandlung
Mehr3 Numerisches Rechnen
E Luik: Numerisches Rechnen 65 3 Numerisches Rechnen 31 Zahlen und ihre Darstellung Grundlage der Analysis bilden die reellen Zahlen Wir sind heute daran gewöhnt, eine reelle Zahl im Dezimalsystem als
MehrEinführung in die Informatik I
Einführung in die Informatik I Das Rechnen in Zahlensystemen zur Basis b=2, 8, 10 und 16 Prof. Dr. Nikolaus Wulff Zahlensysteme Neben dem üblichen dezimalen Zahlensystem zur Basis 10 sind in der Informatik
Mehr2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
21 Analoge und digitale Darstellung von Werten 79 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Computer- bzw Prozessorsysteme führen Transformationen durch, die Eingaben X auf Ausgaben Y abbilden, dh Y = f (X
MehrKlausur: Informatik I am 06. Februar 2009 Gruppe: D Dirk Seeber, h_da, Fb Informatik. Nachname: Vorname: Matr.-Nr.: Punkte:
Seite 1 von 10 Hiermit bestätige ich, dass ich die Übungsleistungen als Voraussetzung für diese Klausur in folgender Übung erfüllt habe. Jahr: Übungsleiter: Unterschrift: 1. Aufgabe ( / 12 Pkt.) Was liefert
MehrGrundlagen der Rechnerarchitektur
Grundlagen der Rechnerarchitektur Prozessor Übersicht Datenpfad Control Pipelining Data Hazards Control Hazards Multiple Issue Grundlagen der Rechnerarchitektur Prozessor 2 Datenpfad einer einfachen MIPS
MehrDezimalkomma (decimal point) rechts von Stelle mit Wertigkeit 100 nachfolgende Stellen haben Wertigkeit 10-1, 10-2, etc.
Fixpunktdarstellung Fixed-point numbers Bsp. Dezimaldarstellung Dezimalkomma (decimal point) rechts von Stelle mit Wertigkeit 100 nachfolgende Stellen haben Wertigkeit 10-1, 10-2, etc. Binärdarstellung
MehrKap.2 Befehlsschnittstelle. Prozessoren, externe Sicht
Kap.2 Befehlsschnittstelle Prozessoren, externe Sicht 2 Befehlsschnittstelle 2.1 elementare Datentypen, Operationen 2.2 logische Speicherorganisation 2.3 Maschinenbefehlssatz 2.4 Klassifikation von Befehlssätzen
MehrComputer-orientierte Mathematik
Computer-orientierte Mathematik 3. Vorlesung - Christof Schuette 11.11.16 Memo: Rationale und reelle Zahlen Rationale Zahlen: Rationale Zahlen als Brüche ganzer Zahlen. q-adische Brüche, periodische q-adische
MehrGrundlagen der Technischen Informatik. 3. Übung. Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit
Grundlagen der Technischen Informatik 3. Übung Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit 3. Übungsblatt Themen Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: Aufgabe 5: Zahlendarstellungen
MehrZum Nachdenken. Wenn die Zahl (123) hat, was könnte dann (123,45) 10
TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Zum Nachdenken Wenn die Zahl (123) 10 den Wert 1. 10 2 +2. 10 1 +3. 10 0 hat, was könnte dann (123,45) 10 bedeuten? Wenn Sie beliebige reelle Zahlenwerte
Mehr2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
2.1 Analoge und digitale Darstellung von Werten 79 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Computer- bzw. Prozessorsysteme führen Transformationen durch, die Eingaben X auf Ausgaben Y abbilden, d.h. Y = f
MehrInformatik I Modul 2: Rechnerarithmetik (1)
Fall Term 2010, Department of Informatics, IFI, UZH, Switzerland Informatik I Modul 2: Rechnerarithmetik (1) 2010 Burkhard Stiller M2 1 Modul 2: Rechnerarithmetik (1) Zahlensysteme Zahlendarstellung 2010
MehrModul 2: Rechnerarithmetik (1) Informatik I. Modul 2: Rechnerarithmetik (1) Rechnerarithmetik. Formale Grundlagen. Zahlensysteme (1) Zahlensysteme (2)
Fall Term 1, Department of Informatics, IFI, UZH, Switzerland Modul : Rechnerarithmetik (1) Informatik I Modul : Rechnerarithmetik (1) Zahlensysteme Zahlendarstellung 1 Burkhard Stiller M 1 1 Burkhard
MehrInhalt: Binärsystem 7.Klasse - 1 -
Binärsystem 7.Klasse - 1 - Inhalt: Binärarithmetik... 2 Negative Zahlen... 2 Exzess-Darstellung 2 2er-Komplement-Darstellung ( two s complement number ) 2 Der Wertebereich vorzeichenbehafteter Zahlen:
Mehr2.4 Codierung von Festkommazahlen c) Wie lässt sich im Zweier-Komplement ein Überlauf feststellen? neg. pos.
24 Codierung von Festkommazahlen 115 Aufgaben a) Codieren Sie für n 8 und r 0 die folgenden Zahlen binär im Zweier Komplement EC +10 : 00001010 11110101 Dezimal Binär 10 1111 0110 + 0 ch 1111011 0 20 00000000
MehrRechnergrundlagen SS Vorlesung
Rechnergrundlagen SS 27 5. Vorlesung Inhalt Interpretation hexadezimal dargestellter Integer-Zahlen Little Endian / Big Endian Umrechnung in eine binäre Darstellung Ausführung von Additionen Optimierte
MehrRundungsfehler-Problematik bei Gleitpunktzahlen
Rundungsfehler-Problematik bei Gleitpunktzahlen 1 Rechnerzahlen 2 Die Rundung 3 Fehlerverstärkung bei der Addition Rundungsfehler-Problematik 1 1. Rechnerzahlen allgemeine Zahlendarstellung zur Basis b
MehrArithmetik. Einführung in die Technische Informatik Falko Dressler, Stefan Podlipnig Universität Innsbruck
Arithmetik Einführung in die Technische Informatik Falko Dressler, Stefan Podlipnig Universität Innsbruck Übersicht Zahlendarstellung Addition und Subtraktion Multiplikation Division Fest- und Gleitkommazahlen
Mehr