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1 Rechnergrundlagen SS Vorlesung

2 Inhalt Gleitkomma-Darstellung Normalisierte Darstellung Denormalisierte Darstellung Rechnerarchitekturen Von Neumann-Architektur Harvard-Architektur Rechenwerk (ALU) Rechnergrundlagen 2

3 Gleitkomma-Darstellung Anforderung: Für betragsmäßig große Zahlen soll die Anzahl der Nachkommastellen reduziert werden und bei betragsmäßig kleinen Zahlen soll die Zahl der Vorkommastellen reduziert werden. Bei der Gleitkomma-Darstellung (engl.: floating point representation) wird die Zahl mit Hilfe der Mantisse m und dem Exponenten e zu einer Basis b dargestellt. Rechnergrundlagen 3

4 Beispiel 123 i 10 7 = 0, Mantisse: -123 Exponent: -7 Basis: 10 Alternative Darstellungen ,3 i10 = 1, 23 i10 keine Eindeutigkeit in der Darstellung Rechnergrundlagen 4

5 Übung Wie viele Nachkommastellen hat 1,25 * 10-2? Wie viele Nachkommastellen hat 1,25 * 10 2? 1,25 * 10-2 = 0,0125 1,25 * 10 2 = 125,0 Rechnergrundlagen 5

6 Normalisierte Gleitkommazahlen In der normalisierten Darstellung hat die Mantisse exakt eine Vorkommastelle. ± m, m... m i b, wobei m = 1 e 0 1 p 1 0 Für die Darstellung der Mantisse wird eine feste Zahl von Stellen verabredet. Für den Exponenten wird ein Wertebereich [e min,e max ] verabredet. Rechnergrundlagen 6

7 Übung Annahmen: Wir haben eine normalisierte Darstellung. Die Mantisse hat 2 Nachkommastellen in binärer Darstellung. Der Exponent hat 3 bit inklusiv Vorzeichen. Als Basis wird 10 gewählt. Berechnen Sie für benachbarte Zahlen: - das betragsmäßig kleinste Intervall. - das betragsmäßig größte Intervall. 0,25 * 10-3 = 0, ,25 * 10 3 = 250 Rechnergrundlagen 7

8 Darstellung der Null? Auf Grund der Verabredung für die Mantisse kann m = 0,0 nicht dargestellt werden. Daher wird die Null folgendermaßen dargestellt: 1, 0 i e b min 1 Rechnergrundlagen 8

9 Übung Notieren Sie bitte die normalisierten Gleitkommazahlen, die auf der Basis der bisherigen Ausführungen bei Verwendung von 3 bit (x,xx) für die Mantisse, e min =-1, e max =2 und b=2 dargestellt werden können. Stellen Sie die Liste bitte in Dezimaldarstellung auf. 1,00* ,00*2-1 1,01*2-1 0,5 0,625 1,11*2-1 0,875 1,00*2 0 1,0 1,01*2 0 1,25 1,10*2 0 1,5 1,11*2 0 1,75 1,00* ,01*2 1 1,10*2 1 2,5 1,11*2 1 3,0 3,5 1,00* ,01* ,10* ,11*2 2 7 Problem? Rechnergrundlagen 9

10 Denormalisierte Zahlen 1,00*2 0 1,11*2-1 =? In unserem Zahlensystem lautet das Ergebnis: 1,00 * 2-2 Anweisung: if (X!= Y) then Z = 1/(X-Y) Was passiert für den Fall X=1,00*2 0 und Y=1,11*2-1? Laufzeitfehler, da durch 0 geteilt wird! Für e=e min wird m 0 =0 zugelassen. Die so eingeführten Zahlen werden als denormalisierte oder subnormale Zahlen bezeichnet. Rechnergrundlagen 10

11 Übung (erweitert) Notieren Sie bitte die normalisierten und denormalisierten Gleitkommazahlen, die auf der Basis der bisherigen Ausführungen bei Verwendung von 3 bit (x,xx) für die Mantisse, e min =-1, e max =2 und b=2 dargestellt werden können. Stellen Sie die Liste bitte in Dezimaldarstellung auf. Rechnergrundlagen 11

12 Erweitertes Beispiel 1,00* ,125 0,01*2-1 0,25 0,10*2-1 0,375 0,11*2-1 1,00*2-1 0,5 1,01*2-1 0,625 1,10*2-1 0,75 1,11*2-1 0,875 1,00*2 0 1,0 1,01*2 0 1,25 1,10*2 0 1,5 1,11*2 0 1,75 1,00* ,01*2 1 1,10*2 1 2,5 1,11*2 1 3,0 3,5 1,00* ,01* ,10* ,11*2 2 7 Rechnergrundlagen 12

13 Definition eines Gleitkomma- Zahlensystems Basis (base, radix) b >= 2 Mantissenlänge (precision) p >= 2 kleinster Exponent e min < 0 größter Exponent e max > 0 Normalisierungsindikator denorm, hierbei handelt es sich um einen Wahrheitswert (true bedeutet, dass denormalisierte Zahlen enthalten sind) Rechnergrundlagen 13

14 Beispiele Ein Gleitkomma-Zahlensystem kann durch F(b,p,e min,e max,denorm) definiert werden. Intel x86-prozessoren einfach genau: F(2,24,-126,127,true) Intel x86-prozessoren doppelt genau: F(2,53,-1022,1023,true) Die beiden Beispiele folgen der IEEE Norm 754. Rechnergrundlagen 14

15 IEEE, single precision I F(2,24,-126,127,true) ca. 4,26 * 10 9 normalisierte und ca. 1,7 * 10 7 denormalisierte Gleitkommazahlen können dargestellt werden kleinster Wert ca. 1,18 * größter Wert ca. 3,40 * IEEE 754 Norm für Gleitkommazahlen wurde erst im Jahr 1989 verabschiedet. Sie ist als IEC 559:1989 auch internationale Norm. Rechnergrundlagen 15

16 IEEE, single precision II S E O Z = ( 1) imi2, wobei O = 127 Rechnergrundlagen 16

17 Beispiel: Exponent: 2 5 =32 Offset: = /32= = Überprüfung: 1/4+1/8+1/32+1/64+1/256 Rechnergrundlagen 17

18 IEEE, single precision (Beispiel) Beispiel: Fraktion f = (beachte ) bit 0-22 dargestellter Exponent e = bit Vorzeichen s = 0 bit 31 Damit ist die Darstellung im IEEE 754-Format mit einfacher Genauigkeit (single precision): Rechnergrundlagen 18

19 Rundung In der Mathematik sind die reellen Zahlen unendlich. Jedes Gleitkomma-Zahlensystem hat endlich viele Elemente. Daher müssen Verfahren zur Rundung realisiert werden, nicht nur für Zahlen die kleiner oder größer sind als die Extremwerte. Bei der Durchführung der Rundung resultiert ein Rundungsfehler. Rechnergrundlagen 19

20 Arithmetik Für Addition und Subtraktion müssen die Exponenten beider Operanden angepasst werden. Es werden zusätzliche Bits zur Gewährleistung der Rundungsgenauigkeit eingeführt. Für Multiplikation bzw. Division müssen die Exponenten addiert bzw. subtrahiert werden. Die Mantissen werden multipliziert bzw. dividiert. In allen Fällen wird die Arithmetik auf Festkomma-Operation zurückgeführt. Rechnergrundlagen 20

21 Multiplikation und Division von Gleitkommazahlen Rechnergrundlagen 21

22 Rechnerarchitekturen I Die Architektur eines Rechners bestimmt maßgeblich folgende Aspekte: Rechenleistung Effizienz (Rechenleistung bzgl. Hardwarekosten) Datendurchsatz Gesamtkosten eines lauffähigen Systems Rechnergrundlagen 22

23 Rechnerarchitekturen II Die Wahl der Architektur eines Rechners wird durch folgende Aspekte beeinflusst: Einsatzgebiet anfallende Datenmengen Zugriff auf externe Dienste Umweltbedingungen Qualitätsanforderungen Kosten Rechnergrundlagen 23

24 Von-Neumann-Architektur Prinzipien und Regeln für die Architektur wurden 1946 von John von Neumann aufgestellt. Befehl und Operand werden nacheinander aus dem selben Speicher geladen. Aktuell die die am weitesten verbreitete Architektur. Rechnergrundlagen 24

25 Prinzipien der von-neumann- Architektur Ein Rechner besteht aus Rechenwerk, Leitwerk, Speicher und Schnittstellen. Das Rechensystem ist unabhängig vom Problem. Die Anpassung geschieht durch Austausch der Programme. Befehle und Operanden befinden sich im selben Speicher. Befehle im Speicher werden sequentiell abgearbeitet. Sprünge sind erlaubt. Rechnergrundlagen 25

26 Struktur der von-neumann- Architektur Rechnergrundlagen 26

27 Harvard-Architektur Für Befehle und Operanden stehen getrennte Speicher und Busse zur Verfügung. Damit werden im Vergleich zur von- Neumann-Architektur doppelt so viele Adress- und Datenleitungen benötigt. Rechnergrundlagen 27

28 Struktur Harvard-Architektur Rechnergrundlagen 28

29 Eingabe und Ausgabe Das Eingabewerk dient zur Aufnahme von Daten in den Rechner. Das Ausgabewerk dient zur Ausgabe, der im Rechner ermittelten Daten. Rechnergrundlagen 29

30 Speicher Die im Speicher abgelegten Daten sind in Worten organisiert. Ein Wort ist eine Binärzahl fester Länge. Typische Wortbreiten sind 8, 16, 32 oder 64 Bit. Im Speicher sind alle Worte gleich. D.h. es lässt sich nicht erkennen um welchen Datentyp es sich handelt. Rechnergrundlagen 30

31 Rechenwerk (ALU) (Arithmetic Logic Unit) In der ALU werden alle arithmetischen und logischen Operationen ausgeführt. Die ALU verarbeitet ganze Datenworte in einem Verarbeitungsschritt. Die ALU hat nur logische Gatter. Außer dem Ergebnisregister enthält sie keine Speicher. Die Rechenoperationen lassen sich auf Addition, Komplementbildung und Schieben (Shift) zurückführen. Die logischen Operationen lassen sich auf AND, OR, NOT zurückführen. Mit Hilfe von Flags werden einige für nachfolgende Operationen wichtige Informationen übergeben. Rechnergrundlagen 31

32 Funktionen einer ALU Generierung von Konstanten Logikfunktionen (UND, ODER, NICHT) Addition Komplementbildung Schiebeoperationen Durchreichen von Operanden Flags zur Verfügung stellen Rechnergrundlagen 32

33 Flags Sign-Flag, Vorzeichen (S, N) Carry-Flag, Übertrag (C) Overflow-Flag, Überlauf (O) Zero-Flag, Wert ist 0 (Z) Rechnergrundlagen 33

34 Struktur einer ALU Rechnergrundlagen 34

35 Beispielrechner Adressbreite 24 bit, Rechenoperationen 16 bit Die ALU muss beide Wortbreiten unterstützen Rechnergrundlagen 35

36 Multiplexer Ein Multiplexer legt in Analogie zu einem Drehschalter einen ausgewählten Eingang auf den Ausgang. Mit Hilfe der binären Signale S i wird ein Eingangssignal X n ausgewählt. Rechnergrundlagen 36

37 2:1 Multiplexer S1 X2 X1 Y Im Fall S 1 =0 wird X 1 selektiert und im Fall S 1 =1 wird X 2 selektiert. S Y X X 1 2 Welche Selektion wird durch die Wahrheitstabelle definiert? Rechnergrundlagen 37

38 8:1 Multiplexer S S S Y X X X X X X X X Rechnergrundlagen 38

39 MUX (DIN-Symbol) Rechnergrundlagen 39

40 Vollständige ALU (Beispielrechner) Rechnergrundlagen 40

41 Arithmetik in der Beispiel-ALU Rechnergrundlagen 41

42 Steuerung der Beispiel-ALU Rechnergrundlagen 42

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