Lösung 1: Die größte Schachtel

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1 Lösung : Die gößte Schachtel Aufgabenstellung: Aus einem DIN-A-Blatt soll eine offene, quadefömige Schachtel hegestellt weden. Welches Füllvolumen ist maximal möglich, ohne dass etwas aus de Schachtel heausagt? Ansatz: Um eine (offene) quadefömige Schachtel hezustellen, müssen aus dem Papiefaltblatt vie gleich goße Quadate de Seitenlänge x heausgeschnitten weden. Die Länge x ist vaiabel. Die Beite des DIN-A-Blattes wid mit b, die Länge mit l bezeichnet. Das olumen de quadefömigen Schachtel betägt y die Beite und z die Länge de Schachtel bezeichnet. x y z, wobei x die Höhe, Nebenbedingungen: Duch das Ausschneiden de Quadate sind Länge und Beite de Schachtel um x küze als Länge und Beite des Papies: y b x z l x

2 Zielfunktion: Die Nebenbedingungen weden in den Lösungsansatz x y z eingesetzt. Fü ein Blatt mit l 9,7 cm und b,0 cm egibt sich als Zielfunktion x x b x l x x,0 x 9,7 x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) GAPHIKFÄHIGE TASCHENECHNE (GT): Möchte man sich das Schaubild de Zielfunktion anzeigen lassen, so sieht man mit de Standadeinstellung nichts vom Schaubild. Gößenabschätzung ist gefagt, denn die y-achse zeigt das olumen an und dieses liegt bei übe tausend Einheiten (wenn man cm als Einheit vewendet). Die Zielfunktion wid in den GT eingegeben. Es kann nicht weite als bis zu halben Beite eingeschnitten weden. Die ideale Höhe (x-wet) muss demnach zwischen 0 und 0,5 cm liegen. Das olumen wid sichelich keine zwei Lite übesteigen und wid somit zwischen 0 und 000 cm liegen (y Wet). Die geschätzten Einstellungen weden im Fenste eingegeben: Egebnis: Das Maximum wid mit dem GT bestimmt: Fü ein Blatt mit l 9,7 cm und b,0 cm egibt sich bei eine Höhe von ca.,0 cm das maximale olumen von (,0 cm) 8 cm.

3 Lösung : Schweißnaht Aufgabenstellung: Fidolin möchte Ananassaft in zylindefömige Dosen vepacken. In jede Dose soll ein Lite Saft. Am schwieigsten gestaltet sich das eschweißen de veschiedenen Blechstücke. Wie lang muss die Schweißnaht mindestens sein? Zusatz: Lässt sich unabhängig vom olumen ein ideales ehältnis zwischen Höhe und adius de Dose angeben? Ansatz: Die Länge L de Schweißnaht setzt sich aus zwei Keisen und eine Stecke zusammen: L + h{ + Deckel Mantel Boden + h Nebenbedingung: Das olumen ist mit einem Lite ( l 000 ml) festgelegt: h. Diese Nebenbedingung kann nach h ode aufgelöst weden. Wi lösen hie nach h auf, um beim späteen Einsetzen in die Zielfunktion, Wuzeln zu vemeiden: h h Zielfunktion: Die Nebenbedingung wid in den Lösungsansatz eingesetzt: L + h L ( ) GAPHIKFÄHIGE TASCHENECHNE (GT): Die Zielfunktion wid in den GT eingegeben. De ideale adius wid zwischen 0 und 0 cm liegen (x-wet), die Länge de Schweißnaht zwischen 0 und 00 cm (y-wet). Die geschätzten Einstellungen weden im Fenste entspechend Eingegeben.

4 Egebnis: Das Minimum wid mit dem GT bestimmt. Die minimale Länge de Schweißnaht von ca. 69,7 cm egibt sich mit dem adius von,70 cm. Zusatz: Es gilt h h Hie kann nicht mit dem GT geabeitet weden, da die Aussage fü alle olumina gezeigt weden muss. Um das Minimum zu bestimmen, wid die Ableitung de Zielfunktion gleich null gesetzt: ( ) ( ) ( ) L L ( ) 0 0 L Fü das ehältnis h gilt mit den Nebenbedingungen (i) h und (ii) :. ) ( ) ( h ii i Es existiet ein ideales ehältnis zwischen Höhe und adius. Es betägt.

5 Lösung : Zelten Aufgabenstellung: Fidolin möchte sich ein Zelt mit quadatische Gundfläche bauen. Seine vie Stangen haben alle die Länge von 6,7 cm. Damit e nachts genug Luft bekommt, soll das Zelt maximales olumen besitzen. Bestimmt duch eine geeignete echnung das maximale Luftvolumen im Zelt. Welche Höhe hat das Zelt? Zusatz: Gibt es (nicht-quadatische) Pyamiden mit gößeem olumen? esucht eue emutung zu beweisen. Ansatz: Das olumen eine quadatischen Pyamide betägt a h. Nebenbedingung: Die Länge s de Zeltstangen betägt 6,7 cm. Fene a gilt: Die halbe Diagonale de Gundfläche ist. Damit gilt fü das eingezeichnete echtwinklige Deieck (Pythagoas): s h a + ( s h ) a s h a Da auch die Höhe gesucht ist, haben wi nach a bzw. a auflöst.

6 Zielfunktion: Die Nebenbedingung wid in den Lösungsansatz eingesetzt. Fü die Stangenlänge wude s 6,7 cm eingesetzt. a h ( h) ( s h ) h ( 6,7 h ) h GAPHIKFÄHIGE TASCHENECHNE (GT): Die Zielfunktion wid in den GT eingegeben. Wi echnen in cm bzw. in cm. Die Pyamide kann nicht höhe als die Stangen sein, also ist de x-wet im Fenste kleine als 6,7. Das maximale olumen wid vemutlich zwei Lite ( l 000 cm ) nicht übesteigen. Die geschätzten Einstellungen weden im Fenste eingegeben. Egebnis: Das Minimum wid mit dem GT bestimmt. Bei eine Höhe von ca 9,6 cm ist das olumen de Pyamide mit ca. 95 cm maximal. Zusatz: Wi zeigen, dass bei festgehaltene Höhe das olumen im Falle eine quadatischen Gundfläche maximal wid.. Schitt: Da alle Stangen dieselbe Länge haben und von einem Mittelpunkt ausgehen (Spitze de Pyamide), liegen ihe Endpunkte auf eine Kugelobefläche. Zusätzlich stehen alle auf eine Ebene und da de Schnitt zwischen Kugel und Ebene einen Keis egibt, befinden sich alle Endpunkte auf einem solchen (vgl. Abbildung).. Schitt: Das olumen eine Pyamide mit vogegebene Höhe ist genau dann maximal, wenn die Gundfläche maximal ist. Links sind vie beliebige Fußpunkte eingezeichnet. Wi betachten das Deieck BAD. Wenn die Punkte B und D festgehalten weden, wid de Flächenhalt dieses Deiecks maximal, wenn de Punkt A maximal von de duch die Punkte B und D definieten Geade entfent ist (maximale Höhe im Deieck).. Schitt: Das gleiche Agument wid fü den Punkt C auf de gegenübeliegenden Seite angewandt (gaues Deieck). Also liegen die Punkte A und C auf einem Duchmesse. Nun hält man die Punkte A und C fest, betachtet die beiden Deiecke CBA und CDA und wiedeholt das Agument fü die Punkte B und D. Folglich ist die Gundfläche de Pyamide ein Quadat.

7 Lösung : Am Beg Aufgabenstellung: Fidolin hat seinen Poviant efolgeich in eine Dose vepackt (vgl. Aufgabe ) und ollt diese von seine Wekstatt, die im Tal liegt, zu seinem Haus auf dem Hügel. De Landschaftsqueschnitt ist vekleinet im Bild eingezeichnet und kann duch die Funktion ( ) f x x x + x + x + beschieben weden. An welche Stelle benötigt Fidolin am meisten Kaft, um die Dose den Beg hinaufzuollen? Ansatz: Die meiste Kaft wid an de steilsten Stelle benötigt. Statt de Funktion f wid also die Ableitung f auf das Maximum in einem Intevall untesucht: f ( x) x x + x + x + f ( x) x x + x + Zielfunktion: Die Zielfunktion ist die Ableitungsfunktion f.

8 GAPHIKFÄHIGE TASCHENECHNE (GT): Das Maximum de Ableitung soll zwischen dem Tal und dem echten Hügel gefunden weden. Man suche also ein geeignetes Fenste und lasse sowohl die Funktion f als auch die Ableitung anzeigen. In de Abbildung ist die Ableitungsfunktion fett angezeigt: Egebnis: Das Maximum wid mit dem GT bestimmt. An de Stelle x 0,66 ist die Steigung auf Fidolins Weg am gößten (m,). Altenative Umgang mit dem GT: Man muss die Ableitung nicht von Hand beechnen. Altenativ kann de GT gafisch ableiten: Folgende Bescheibung bezieht sich auf den TI 8 Plus: Mittels de Tastenkombination MATH 8 lässt sich die Funktion ndeiv( auswählen. Die Funktion Y ehält man mit AS Pfeiltaste nach echts.

9 Lösung 5: Geschlossene Schachtel Aufgabenstellung: Bei seinem Umzug möchte Fidolin seine wetvollsten Dinge in eine geschlossenen Schachtel aufbewahen. Die quadefömige Kiste soll aus einem DIN-A-Blatt wie in de Abbildung gezeigt hegestellt weden. Welches olumen ist maximal möglich, ohne dass die Schachtel ausgebeult wid? Ansatz: Um eine geschlossene quadefömige Schachtel hezustellen, weden sechs gleich goße Quadate de Seitenlänge x heausgeschnitten. Die Länge x ist vaiabel. Die Beite des DIN-A-Blattes wid mit b, die Länge mit l bezeichnet. b l Das olumen eine quadefömigen Schachtel betägt x y z, wobei x die Höhe, y die Länge und z die Beite de (gefalteten) Schachtel bezeichnet. Nebenbedingungen: Fü die gefaltete Schachtel gilt: y b x l x z

10 Zielfunktion: Die Nebenbedingungen weden in den Lösungsansatz x y z eingesetzt. Fü ein Blatt mit l 9,7 cm und b,0 cm egibt sich als Zielfunktion l x 9,7 x ( x) x ( b x) x (,0 x) GAPHIKFÄHIGE TASCHENECHNE (GT): Gibt man die Zielfunktion in den GT ein und möchte sich mit de Standadeinstellung den Gaphen anzeigen lassen, so sieht man nichts vom Schaubild. Gößenabschätzung ist gefagt. Die Zielfunktion wid in den GT eingegeben. Wi echnen in cm bzw. in cm. Die ideale Höhe (x-wet) wid zwischen 0 cm und 0 cm geschätzt, das olumen wid sichelich nicht meh als l (000 cm ) betagen (y-wet). Die geschätzten Einstellungen weden im Fenste eingegeben: Egebnis: Das Maximum wid mit dem GT bestimmt: Fü ein Blatt mit l 9,7 cm und b,0 cm egibt sich bei eine Höhe von ca., cm das maximale olumen von (, cm) 70 cm. Daten zu Hestellung de Kiste folgen aus den Nebenbedingungen: x, cm y b x,0 cm 6,8 cm, cm l x 9,7 cm, cm z 9, 75 cm ((cm nicht kusiv setzen))

11 Lösung 6: Wassebecken Aufgabenstellung: In seine neuen Wohnung möchte Fidolin egenwasse mit Hilfe eines Tichtes sammeln. Diese soll die Fom eines Kegels haben und aus einem DIN-A-Blatt entstehen. Gesucht ist de Kegelmantel, de eine maximale Wassemenge speichen kann. Stellt einen solchen Kegelmantel he. Welche Gößen baucht ih zum Bau? Ansatz: Fü das Kegelvolumen gilt: G h h Sowohl als auch h ist zum Bau des Kegels ungeschickt. Gesucht ist also de Winkel des Keisausschnittes (vgl. Abbildung links). Nebenbedingungen: Fü h gilt: h (Pythagoas).

12 De Umfang de Kegelgundfläche betägt. Diese ist gleichzeitig die Bogenlänge des Keisausschnitts mit dem Winkel (vgl. Abbildungen). Damit gilt: Zielfunktion: lässt sich in Abhängigkeit von ausdücken: h G ist duch die halbe Beite eines DIN-A-Blattes mit 0,5 cm vogegeben. Damit lautet die Zielfunktion: ( ) 0, GAPHIKFÄHIGE TASCHENECHNE (GT): Die Zielfunktion wid in den GT eingegeben. Man achte daauf, dass das Gadmaß fü Winkel eingestellt ist. Die möglichen Winkel liegen zwischen 0 und 60 (x-wet), das olumen wid einen Lite ( l 000 cm ) nicht übesteigen (y-wet): Egebnis: Damit egibt sich mit dem GT: 9 9,. Fü 0,5 cm egibt sich ein olumen von ca. 67 cm.

13 Lösung 7: Gläse und Fässe Aufgabenstellung: Fidolin möchte ein Glas (0, l) als Wassetonne fü seinen Gaten vewenden. Es soll übeall gleich dick sein und dabei möglichst wenig wiegen. Welche Höhe und welche adius sind fü Fidolins Glas ideal? Zusatz: Bei Tinkgläsen und Wassefässen ist de adius in de egel kleine als die Höhe. Gibt es stets unabhängig von de Göße ein bestimmtes optimales ehältnis zwischen adius und Höhe, so dass de Mateialaufwand bei de Hestellung minimal wid? Ansatz: Bei vogegebenem olumen (0, l) soll die Obefläche minimiet weden. Die Obefläche setzt sich aus de Gundfläche und dem Mantel zusammen: O + h Nebenbedingung: Das olumen ist vogegeben. Die Obefläche hängt von und h ab, wi lösen nach h auf: h h. Zielfunktion: Die Nebenbedingung wid eingesetzt: O + h O + + Damit lautet die Zielfunktion fü 0, l 00 cm : O( ) + +

14 GAPHIKFÄHIGE TASCHENECHNE (GT): Die Zielfunktion wid in den GT eingegeben. Zu Anzeige des Schaubildes muss das Egebnis gob abgeschätzt weden: De adius (x Wet) wid 0 cm nicht übesteigen. Die Obefläche ist schwee abzuschätzen. Man stelle sich am besten ein typisches Tinkglas vo und übeschlage die Wete fü Höhe und adius. Es geht daum, die Gößenodnung des Egebnisses abzuschätzen, damit man mit dem GT abeiten kann. Es daf also goßzügig geschätzt weden. (Z.B. mit h 0 cm, cm ehält man ca. 50 cm. Wi nehmen das Doppelte fü die Anzeige, um siche nicht zu tief zu liegen.) Egebnis: Mit dem GT wid das Minimum bestimmt. Die minimale Obefläche (ca. 50, cm ) egibt sich fü den adius min von ca.,99 cm. Mit dem Ansatz lässt sich die Höhe bestimmen: O min 50,,99 O min + min hmin hmin,99 min,00 Die Höhe betägt ca.,00 cm bei einem adius von,99 cm. Ein solches Glas einnet ehe an einen Aschenbeche. Die typische Fom von Tinkgläsen entspicht nicht de Minimieung des Mateials. Teeschalen sind hie besse. Zusatz: Wi wollen den Zusammenhang zwischen den Gößen genaue fassen und setzen die Ableitung de Zielfunktion Null: Aus de Nebenbedingung lässt sich die Höhe hmin beechnen: min h min min. min min Die minimale Obefläche ist unabhängig vom olumen und egibt sich, wenn die Höhe gleich dem adius ist. Das optimale ehältnis, um Mateial zu spaen, ist somit. O O ( ) O ( ) + + ( ) 0 min min min min