Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung

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1 Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Kapitel 1 Schaltfunktionen und ihre Darstellung Literatur: Oberschelp/Vossen, Kapitel 1 Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 1

2 Motivation Ein Rechner als Ein-/Ausgabe-Maschine Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 2

3 Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Inhaltsverzeichnis 1.1 Zahlendarstellungen 1.2 Boolesche Algebra 1.3 Schaltfunktionen und Boolesche Funktionen 1.4 Schaltnetze 1.5 Ringsummendarstellung und Boolesche Funktionen 1.6 Ordered Binary Decision Diagrams (OBDD s) Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 3

4 1.1 Zahlen und ihre Darstellung Gegeben: Menge der natürlichen Zahlen Ν Um eine Zahl zu speichern oder zu verarbeiten, muss man sie darstellen ( hinschreiben ) können. Wir schreiben eine Zahl z Ν gewöhnlich hin als eine Folge von Zeichen aus einem vereinbarten Alphabet (Zeichenvorrat) Unterschied zwischen Zahl und ihrer Darstellung wird deutlich am Beispiel des römischen Zahlensystems = { I, V, X, D, M, } Da wir uns mit realen Rechnern beschäftigen wollen, betrachten wir nur Zahlen einer festen maximalen Größe Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 4

5 Stellenwertcodierung Wir verwenden üblicherweise das Alphabet = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } Was meinen wir mit der Zeichenfolge 345? Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 5

6 b-adische Zahlensysteme Satz Satz 1.1: 1.1: (b-adische Darstellung natürlicher Zahlen) Sei Sei b Ν b Νmit b>1. b>1. Dann ist ist jede jede natürliche Zahl Zahl zzmit mit 0 z z b n n -1-1(und n Ν) eindeutig als als Wort der der Länge n über über dem dem Alphabet Σ b darstellbar b durch mit mitzz i i Σ b für b für i= i= 0,,n-1. 0,,n-1. z n 1 = i= 0 z b i i Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 6

7 b-adische Zahlensysteme Das Alphabet Σ b bildet sich für b=2 aus Σ 2 = {0,1}, Dualsystem b=8 aus Σ 8 = {0,,7}, Oktalsystem b=10 aus Σ 10 = {0,,9}, Dezimalsystem b=16 aus Σ 16 = {0,,9,A,B,C,D,E,F}, Hexadezimalsystem mit Σ b = {z i Ν 0 z i b-1}. Falls z i 10 dann benutzen wir Buchstaben statt Ziffern (siehe Hexadezimalsystem). Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 7

8 b-adische Zahlensysteme - Beispiel Beispiel 1.1: 1.1: (Dezimalsystem) 17582=(17582) Ergibt sich sich laut laut Satz Satz aus: aus: 17582= mit mitb=10. Beispiel 1.2: 1.2: (Dualsystem) Ergibt sich sich laut laut Satz Satz aus: aus: mit mitb=2. 43=(101011) = Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 8

9 b-adische Zahlensysteme - Beispiel Beispiel 1.3: 1.3: (Oktalsystem) Ergibt sich sich laut laut Satz Satz aus: aus: mit mitb=8. 43=(53) = Beispiel 1.4: 1.4: (Hexadezimalsystem) 43=(2B) Ergibt sich sich laut laut Satz Satz aus: aus: 43= = B mit mitb=16. Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 9

10 Zahlensystem mit der Basis b=2 Eine besondere Rolle spielt das Zahlensystem mit der Basis b=2; das Dualsystem. Σ 2 = {0,1} = B spiegelt das Prinzip der Zweiwertigkeit wider, welches sich in Gegensätzen wie ja nein, wahr falsch oder hoch tief findet. Zudem ist die Realisierung von 0 und 1 technisch einfach wie z.b. es fließt Strom es fließt kein Strom oder Spannung liegt an Spannung liegt nicht an. Wir interpretieren: 0 als Wahrheitswert F (falsch) 1 als Wahrheitswert W (wahr). Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 10

11 Konvertierung zwischen Zahlensystemen Gegeben: eine Zahl in der Darstellung zur Basis b = 10. Gesucht: ihre Darstellung zur Basis b = 2. Divisionsrestmethode: 1. Dividiere die gegebene Zahl durch b, notiere Quotient und Rest 2. Wiederhole Schritt 1 bis Divisionsergebnis 0 ergibt. 3. Gesuchte Darstellung zur Basis b ergibt sich aus dem rückwärtigen Lesen der Reste Beispiel: (49) 10 = (???) 2 Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 11

12 Umrechnen in das Dezimalsystem Gegeben: eine Zahl in der Darstellung zur Basis b. Gesucht: ihre Darstellung zur Basis b = 10. Verwende Satz 1.1. Beispiel: ( ) 2 = (???) 10 Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 12

13 Konvertierung zwischen Zahlensystemen Gegeben: eine Zahl in der Darstellung zur Basis b = 10. Gesucht: ihre Darstellung zur Basis b = 2. Methode der fortgesetzten Multiplikation mit Addition: 1. Schreibe die gegebene Zahl als Summe einer maximal möglichen Potenz von b und einer Zahl x. 2. Wende Schritt 1 auf x an bis x = Die gesuchte Darstellung kann man aus den vorkommenden Potenzen von b ablesen. Beispiel: (49) 10 = (???) 2 Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 13

14 Konvertierung zwischen speziellen Basen Sind b und b Zweierpotenzen, gibt es einfachere ( lokale ) Verfahren zur Umrechnung. Erläuterung: Sei (x n, x n-1,, x 4, x 3, x 2, x 1, x 0 ) 2 gegeben. Wie sieht die Darstellung zur Basis 8 = 2 3 aus? Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 14

15 Beispiele lokaler Umrechnung ( ) 2 = (A9F) 16 = (716) 8 = Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 15

16 1.2 Boolesche Algebra Gegeben eine Menge B mit zwei zweistelligen Verknüpfungen, und einer einstelligen Verknüpfung dann ist (B,,, gelten: ) eine Boolesche Algebra, falls die folgenden Gesetze 1) Kommutativitätsgesetz bezüglich und 2) Assoziativgesetz bezüglich und 3) Absorbtionsgesetz (Verschmelzungsgesetz) 4) Distributivgesetz bezüglich und 5) Komplementgesetz 6) Neutrales Element bezüglich und Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 16

17 Gesetze in der Booleschen Algebra 1) Kommutativgesetze: 2) Assoziativgesetze: 3) Verschmelzungsgesetze: 4) Distributivgesetze: x y = y x, x y = y x ( x y) z = x ( y z), ( x y) z = x ( y z) ( x y) x = x, ( x y) x = x x ( y z) = ( x y) ( x z), x ( y z) = ( x y) ( x z) Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 17

18 Gesetze in der Booleschen Algebra 5) Komplementgesetze: 6) Neutrales Element bzgl. Vereinigung: Neutrales Element bzgl. Schnitt: x ( y y) = x x ( y y) = x x 0 = x x 1 = 1 x 0 = 0 x 1 = x Aus den Gesetzen der Booleschen Algebra folgt folgendes: de Morgansche Regeln: x y = x y x y = x y Identität: x = x x = x x = x Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 18

19 Boolesche Algebra mit B = { 0, 1 } Satz 1.4: Erklärt man auf B = { 0, 1 } drei Verknüpfungen,, (B,,, ) eine Boolesche Algebra: wie folgt, so ist Beweis durch Nachrechnen der Gesetze. Beispiel: Verschmelzungsgesetz x y : = Max( x, y) x y : = Min( x, y) x : = 1 x ( x y) x = x, Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 19

20 Gängigere Schreibweisen Boolesche Addition, Multiplikation und Negation Max Min 1-x x y x+y x y x Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 20

21 1.3 Schaltfunktionen und Boolesche Funktionen Aus der Sicht eines Benutzers erscheint ein Rechner vereinfacht als Black Box, die zu einem bestimmten Input (I) einen eindeutigen Output (O) liefert ( deterministisch ): I O (Wie nehmen an, Input und Output sind im Binärsystem dargestellt.) Dabei hängt die Art, wie der Output vom Input bestimmt wird, offensichtlich vom Aufbau des Rechners ab. Dieses Verhalten der Black Box wird durch Definition 1.1 präzisiert. Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 21

22 Die Schaltfunktion Definition 1.1: 1.1: n m Seien n, n, m Ν, Ν, n, n, m Dann heißt eine eine Funktion F : Β B Schaltfunktion. Input für den Rechner (Black Box) ist also ein n-bit-tupel, Output ist ein m-bit-tupel. Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 22

23 Die Schaltfunktion - Beispiel Beispiel 1.5: 1.5: Addition von von zwei zwei 16-stelligen Dualzahlen: Der Der Input ist ist hier hier ein ein Bitvektor der der Länge b 1 b 1 b 16 b b 17 b dessen erste 16 16Bits als als erster, die die zweiten 16 16Bits als als zweiter Summand aufgefasst werden. Der Der Output ist ist demnach ein ein Bitvektor der der Länge (wegen des des möglichen Übertrags), welcher die die Summe der der beiden Dualzahlen entspricht. Die Die entsprechende Schaltfunktion lautet somit A : Β B. Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 23

24 Die Schaltfunktion - Beispiel Beispiel 1.6: 1.6: Multiplikation von von zwei zwei 16-stelligen Dualzahlen: Analog zu zu Beispiel lautet die die entsprechende Schaltfunktion: M : Β B, mit mit b... b b... b a c... c Faktor 2. Faktor Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 24

25 Die Schaltfunktion - Beispiel Beispiel 1.7: 1.7: Sortieren von von dreißig 16-stelligen Dualzahlen: Input ist ist ein ein Vektor aus aus Bits, welcher dreißig (unsortierte) Dualzahlen der der Länge 16 16darstellt. Output ist ist ein ein Bitvektor der der Länge 480, 480, welcher jedoch die die gleichen Dualzahlen, aufsteigend oder oder absteigend sortiert, darstellt. Die Die Schaltfunktion lautet: S : Β B. Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 25

26 Die Schaltfunktion - Beispiel Beispiel 1.8: 1.8: Primzahltest: Unsere Black Box Box soll soll nach Eingabe einer 480-stelligen Dualzahl eine eine 1 ausgeben, falls falls die die dieser Dualzahl entsprechende Zahl Zahl x eine eine Primzahl ist, ist, und und 0 sonst. Die Die Schaltfunktion lautet somit: mit mit p 480 : Β B p = { 1 falls x Primzahl 0 sonst ( x). p führt führt also also einen Primzahltest durch für für jede jede natürliche Zahl Zahl x mit mit x 2 1 3, Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 26

27 Die Schaltfunktion - Beispiel Beispiel 1.9.(1): G=(P,K) P={1,,5} K={k 1,,k A } P =5 K =10 Ungerichteter Graph G mit 5 Knoten und allen möglichen 10 Kanten. (Wobei A für Hexadezimal 10 steht.) Graph G Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 27

28 Die Schaltfunktion - Beispiel Beispiel 1.9.(2): Sei Sei G = (P,K) mit mit P = {1,,5} = Menge der der Knoten und undk = Menge der der Kanten. 5 Ein Ein solcher Graph kann bis bis zu zu ( 2 ) = 10 Kanten haben, d.h. d.h. es es gibt gibt verschiedene ungerichtete Graphen mit mit 5 Knoten. Wir Wir können jeden dieser Graphen durch einen Bitvektor (x (x 1,x 1,x 2,,x 2,,x A ) A ) codieren mit mit x i = { 1 falls ki K 0 sonst wobei die die Kanten k i K i Kdie Knoten gemäß Beispiel 1.9.(1) verbinden. Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 28

29 Die Schaltfunktion - Beispiel Beispiel 1.9.(3): Beispiel zum zum Codieren des des Graphen: Der Der markierte Graph G lässt lässt sich sich somit durch G = (1,1,1,0,0,1,0,1,0,0) codieren. Graph G Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 29

30 Die Schaltfunktion - Beispiel Definition: Ein Euler Kreis in einem Graphen G ist ein Weg durch den Graphen, für den gilt: Der Anfangsknoten ist gleich dem Endknoten. Jede Kante kommt in dem Weg genau ein Mal vor. Beispiele: Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 30

31 Die Schaltfunktion - Beispiel Beispiel 1.9.(4): Will Will man man nun nun mit mit Hilfe Hilfe eines Rechners entscheiden, ob ob ein ein gegebener Graph mit mit 5 Knoten einen Euler Kreis besitzt oder oder nicht, so so lautet die die entsprechende Funktion: e :: B B B 1 falls der durch ( x 1,..., x A ) codierte Graph mit einen Euler-Kreis besitzt mite( x1,..., xa) : =. 0 sonst Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 31

32 Die Schaltfunktion - Beispiel Definition: Ein Hamilton-Kreis in einem Graphen ist ein Weg durch den Graphen, für den gilt: Der Anfangsknoten ist gleich dem Endknoten. Jeder Knoten kommt auf dem Weg genau ein Mal vor. Beispiele: Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 32

33 Die Schaltfunktion - Beispiel Beispiel 1.10: Existenz eines Hamilton Kreises in in einem Graphen mit mit Knoten: 250 Ein Ein solcher Graph kann maximal ( 2 ) = Kanten enthalten. Wie Wie in in Beispiel lässt sich sich dieser Graph als als Bitvektor der der Länge codieren. Somit lautet die die Schaltfunktion: h :: B B B 1 falls der durch x codierte Graph mit einen Hamilton-Kreis besitzt mith( x) : =. 0 sonst Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 33

34 Schaltfunktionen und Boolesche Funktionen Definition 1.2: 1.2: Eine Eine Schaltfunktion f f :B :B n n B Bheißt (n-stellige) Boolesche Funktion mit mit n Ν,n Mächtigkeit Boolescher Funktionen: Jede Schaltfunktion ist durch eine Menge Boolescher Funktionen darstellbar. Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 34