Lineare Algebra I Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß. Klausur: voraussichtlich Mittwoch,

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1 Lineare Algebra I - 2. Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß Klausur: voraussichtlich Mittwoch, :3 Uhr, A3

2 A 2 Mat(n, n; K) Dann ist 7 A : Mat(n, ; K)! Mat(n, ; K) b! A b ein Endomorphismus. Man kann also definieren: det(a) :=det(a ) Da die Matrixdarstellung bzgl. der Standardbasis von (A ) gerade A selber ist erhält man aus Prop. 6.2: det(a) = X 2S n sign( ) a ()... a (n)n

3 Verhalten unter Zeilen- und Spaltentransformationen Proposition 6.9. Faßt man die Determinante als Abbildung auf den Spaltenvektoren der Matrix auf det : Mat(n, ; K) n! K (s,...,s n ) 7! det(s s 2... s n ) so entspricht sie gerade der eindeutigen Determinantenform (e,...,e n )=. auf Mat(n, ; K) für die gilt Daraus folgt insbesondere das Verhalten der Determinante unter elementaren Spaltentransformationen: Die Determinante multipliziert sich mit k unter der Multiplikation einer Spalte der Matrix mit k 2 K. Die Determinante multipliziert sich mit ( ) unter Vertauschung zweier Spalten. Die Determinante ändert sich nicht, unter der Addition eines Vielfachen einer Spalte zu einer anderen Spalte. Mit Proposition 6.8 folgt das gleiche für die entsprechenden Zeilentransformationen.

4 Bemerkung 6.7. Das Verhalten von det unter Zeilen- und Spaltentransformationen kann zur Berechnung der Determinante verwendet werden: A 2 Mat(n, n; K) Bringe A mittels Zeilen-/Spaltentransformation in Zeilenstufenform Das Resultat ist obere Dreiecksmatrix deren Determinante leicht berechnet werden kann Beispiel 6.2. Berechnung einer Determinante durch Überführung in Zeilenstufenform: A = A (Z 3 ) 5 3 = 5 2 A (Z 2 ( 4)) = A (Z 32 ( 3)) = ( 5 ( 3)) = 5 (Beispiel 6.4(3)) Es gibt andere Methoden zur Berechnung von Determinanten

5 Entwicklung nach Zeilen bzw. Spalten Definition Für eine Matrix A 2 Mat(n, n; K) bezeichneta[i, j] die(n ) (n )- Matrix, die aus A durch Streichung der i-ten Zeile und der j-ten Spalte hervorgeht (vgl. Abbildung 9). 2 apple apple Laplace scher Entwicklungssatz: Satz Sei A 2 Mat(n, n; K) danngiltfür alle apple j apple n det(a) = det(a t )=det(a) ) det(a) = nx ( ) i+j a ij det(a[i, j]). i= nx ( ) i+j a ij det(a[i, j]) j= Entwicklung nach der j-ten Spalte Entwicklung nach der i-ten Zeile P

6 @ A Komplementäre Matrix und Cramersche Regel B Definition Definiere die zu einer Matrix A 2 Mat(n, n; K) komplementäre AMatrix A ] 2 Mat(n, n; K) durch a ] ij := ( )i+j det(a[j, i]). (Beachte hier die Reihenfolge A der i und j auf beiden A Seiten der Gleichung!) Satz (Cramersche Regel) Für A 2 Mat(n, n; K) gilt Für invertierbare A: A = A A ] =det(a)i n = A ] A. det(a) A] und die eindeutige Lösung des LGS A x = b, b2 Mat(n, ; K) det(b ) B C ist gegeben durch x det(a). A det(b n ) wobei man B j erhält indem man in A die j-te Spalte durch b ersetzt.

7 Geometrische Bedeutung der Determinanten Das durch s,...,s n 2R Mat(n, ; R) aufgespannte Parallelotop ist die Teilmenge ( nx ) P (s,...,s n )= x i s i apple x j apple für alle apple j apple n Mat(n, ; R) i= Dann gilt: Volumen(P (s,...,s n )) = det(s... s n ) det(s... s n ) 6= ) (s,...,s n ) ist (geordnete) Basis von Mat(n, ; R) Dann bestimmt das Vorzeichen det(s... s n ) det(s... s n ) die Orientierung der Basis (s,...,s n ). Zwei Typen von geordneten Basen, die sich durch Ihre Orientierung unterscheiden. Alle geordneten Basen der gleichen Orientierung lassen sich stetig ineinander deformieren, geordnete Basen mit unterschiedlicher Orientierung dagegen nicht!