DWT 2.3 Ankunftswahrscheinlichkeiten und Übergangszeiten 400/467 Ernst W. Mayr
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- Swen Karl Bieber
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1 2. Ankunftswahrscheinlichkeiten und Übergangszeiten Bei der Analyse von Markov-Ketten treten oftmals Fragestellungen auf, die sich auf zwei bestimmte Zustände i und j beziehen: Wie wahrscheinlich ist es, von i irgendwann nach j zu kommen? Wie viele Schritte benötigt die Kette im Mittel, um von i nach j zu gelangen? DWT 2. Ankunftswahrscheinlichkeiten und Übergangszeiten 400/467
2 Definition 14 Die Zufallsvariable T ij := min{n 0 X n = j, wenn X 0 = i} zählt die Anzahl der Schritte, die von der Markov-Kette für den Weg von i nach j benötigt werden. T ij nennen wir die Übergangszeit (engl. hitting time) vom Zustand i zum Zustand j. Wenn j nie erreicht wird, setzen wir T ij =. Ferner definieren wir h ij := E[T ij ]. Die Wahrscheinlichkeit, vom Zustand i nach beliebig vielen Schritten in den Zustand j zu gelangen, nennen wir Ankunftswahrscheinlichkeit f ij. Formal definieren wir f ij := Pr[T ij < ]. DWT 2. Ankunftswahrscheinlichkeiten und Übergangszeiten 401/467
3 Im Fall i = j gilt T ii = 0 und somit auch h ii = 0, sowie f ii = 1. Anschaulich ist dies klar: Wenn Anfangs- und Zielzustand identisch sind, so ist die Übergangszeit gleich Null. Für viele Zwecke ist es andererseits auch interessant zu messen, wie lange es dauert, bis Zustand i zu einem späteren Zeitpunkt wieder besucht wird. Wir ergänzen Definition 14 für diesen Fall. Definition 15 Die Zufallsvariable T i := min{n 1 X n = i, wenn X 0 = i} zählt die Anzahl Schritte, die von der Markov-Kette benötigt werden, um von i nach i zurückzukehren (Rückkehrzeit, engl. recurrence time. Der Erwartungswert sei h i := E[T i ]. Die Wahrscheinlichkeit mit der T i einen endlichen Wert annimmt, nennt man Rückkehrwahrscheinlichkeit: f i := Pr[T i < ]. DWT 2. Ankunftswahrscheinlichkeiten und Übergangszeiten 402/467
4 1,0 Beispiel 16 0,5 0,5 1, ,5 0,5 Beispiel zur Berechnung von f ij und h ij Wir betrachten die obige Markov-Kette. Einige Besonderheiten fallen sofort auf: Beginnt man im Zustand 0, so kann man niemals einen der übrigen Zustände erreichen. Die Übergangszeiten T 01, T 02 und T 0 sind daher. DWT 40/467
5 1,0 Beispiel 16 0,5 0,5 1, ,5 0,5 Beginnt man im Zustand 1, so entscheidet sich im ersten Schritt, ob die Kette sich zukünftig im linken Teil (Zustand 0) oder im rechten Teil (Zustand 2 und ) aufhält. Für die Übergangszeit T 10 gilt daher { 1 falls X 1 = 0, T 10 = falls X 1 = 2. Wegen Pr[X 1 = 0 X 0 = 1] = 0,5 folgt f 10 = 0,5 und E[T 10 ] =. DWT 40/467
6 1,0 Beispiel 16 0,5 0,5 1, ,5 0,5 Beginnt man im Zustand 2 oder, so wird die Kette auch weiterhin zwischen der Zuständen 2 und hin und her pendeln. Genauer: Die Anzahl der Schritte, in denen die Kette im Zustand bleibt, ist geometrisch verteilt mit Parameter 0,5. Der Zustand wird daher im Mittel nach 1/0,5 = 2 Schritten verlassen. Da Zustand 2 der einzige Nachbar von ist, folgt h 2 = 2 und somit insbesondere auch f 2 = 1. DWT 2. Ankunftswahrscheinlichkeiten und Übergangszeiten 40/467
7 Lemma 17 Für die erwarteten Übergangs-/Rückkehrzeiten gilt h ij = 1 + k j p ik h kj für alle i, j S, i j, h j = 1 + k j p jk h kj, sofern die Erwartungswerte h ij und h kj existieren. Für die Ankunfts-/Rückkehrwahrscheinlichkeiten gilt analog f ij = p ij + k j p ik f kj für alle i, j S, i j; f j = p jj + k j p jk f kj. DWT 2. Ankunftswahrscheinlichkeiten und Übergangszeiten 404/467
8 Beweis: Sei i j. Wir bedingen auf das Ergebnis des ersten Schritts der Markov-Kette und erhalten aufgrund der Gedächtnislosigkeit Pr[T ij < X 1 = k] = Pr[T kj < ] für k j sowie Pr[T ij < X 1 = j] = 1. f ij = Pr[T ij < ] = k S Pr[T kj < X 1 = k] p ik = p ij + k j Pr[T kj < ] p ik = p ij + k j p ik f kj. Die Ableitung für f j (also i = j) ist analog. DWT 405/467
9 Beweis: Sei wiederum i j. Wegen der Gedächtnislosigkeit folgt E[T ij X 1 = k] = 1 + E[T kj ] für k j. Ferner gilt E[T ij X 1 = j] = 1. Bedingen wir wieder auf das Ergebnis des ersten Schritts, so folgt (siehe Satz 6): h ij = E[T ij ] = k S E[T ij X 1 = k] p ik = p ij + k j (1 + E[T kj ]) p ik = 1 + k j h kj p ik. Wiederum ist die Herleitung für h j analog. DWT 2. Ankunftswahrscheinlichkeiten und Übergangszeiten 405/467
10 1,0 Beispiel 18 0,5 0,5 1, ,5 0,5 Für die Berechnung der Übergangszeiten für die Zustände 2 und erhalten wir die Gleichungen und h 2 = 1 + h 2, h = h 2 h 2 = 1, h 2 = h 2 = 2. Durch Lösen dieses Gleichungssystems erhalten wir die Werte h 2 =, h = 1,5, h 2 = 1 und h 2 = 2, die man leicht verifiziert. Die Ankunftswahrscheinlichkeiten lassen sich analog herleiten. Man erhält f 2 = f = f 2 = f 2 = 1. DWT 2. Ankunftswahrscheinlichkeiten und Übergangszeiten 406/467
11 2.4 Das Gambler s Ruin Problem Anna und Bodo spielen Poker, bis einer von ihnen bankrott ist. A verfügt über Kapital a, und B setzt eine Geldmenge in Höhe von m a aufs Spiel. Insgesamt sind also m Geldeinheiten am Spiel beteiligt. In jeder Pokerrunde setzen A und B jeweils eine Geldeinheit. A gewinnt jedes Spiel mit Wahrscheinlichkeit p. B trägt folglich mit Wahrscheinlichkeit q := 1 p den Sieg davon. Wir nehmen an, dass diese Wahrscheinlichkeiten vom bisherigen Spielverlauf und insbesondere vom Kapitalstand der Spieler unabhängig sind. DWT 2.4 Das Gambler s Ruin Problem 407/467
12 Wir modellieren das Spiel durch die Markov-Kette ½ Ô Ô Ô Ô ½ 0 Õ 1 2 Ñ ½ Ñ Õ Õ Õ A interessiert sich für die Wahrscheinlichkeit, mit der sie B in den Ruin treibt, also für die Wahrscheinlichkeit f a,m (wir schreiben hier der Deutlichkeit halber f i,j statt f ij ). Wir erhalten: f i,m = p f i+1,m + q f i 1,m für 1 i < m 1, (10) f m 1,m = p + q f m 2,m, f 0,m = 0. DWT 2.4 Das Gambler s Ruin Problem 408/467
13 Wir wollen nun f i,m allgemein als Funktion von m berechnen. Dazu beobachten wir zunächst, dass wir (10) wegen f m,m = 1 umschreiben können zu f i+1,m = (1/p) f i,m (q/p) f i 1,m für 1 i < m. (11) Wir ergänzen (11) um die Anfangswerte f 0,m = 0 und f 1,m = ξ. (Für den Moment fassen wir ξ als Variable auf. Nach Lösung der Rekursion werden wir ξ so wählen, dass die Bedingung f m,m = 1 erfüllt ist.) DWT 2.4 Das Gambler s Ruin Problem 409/467
14 Als Lösung dieser linearen homogenen Rekursionsgleichung 2. Ordnung (11) ergibt sich für p 1/2: ( f i,m = p ξ ( ) ) 1 p i 2p 1 1. p Setzen wir nun i = m, so folgt aus f m,m = 1, dass ξ = ( p 1 2p 1 ( 1 p p ) m ) gelten muss. DWT 2.4 Das Gambler s Ruin Problem 410/467
15 Insgesamt erhalten wir somit das Ergebnis: f j,m = 1 1 ( ) j 1 p p ( 1 p p ) m. Für p = 1/2 verläuft die Rechnung ähnlich. DWT 2.4 Das Gambler s Ruin Problem 411/467
16 Beispiel 19 Wir wollen berechnen, wie lange A und B im Mittel spielen können, bis einer von ihnen bankrott geht. h a,m eignet sich dazu i.a. nicht (warum?). Wir betrachten stattdessen: und setzen T i := Anzahl der Schritte von Zustand i nach Zustand 0 oder m d i := E[T i ]. Offensichtlich gilt d 0 = d m = 0 und für 1 i < m d i = qd i 1 + pd i DWT 2.4 Das Gambler s Ruin Problem 412/467
17 Beispiel (Forts.) Wir betrachten nun nur den Fall p = q = 1/2 und erhalten d i = i (m i) für alle i = 0,..., m. Wegen d i mi m 2 folgt also, dass das Spiel unabhängig vom Startzustand im Mittel nach höchstens m 2 Schritten beendet ist. DWT 2.4 Das Gambler s Ruin Problem 41/467
18 2.5 Stationäre Verteilung Reale dynamische Systeme laufen oft über eine lange Zeit. Für solche Systeme ist es sinnvoll, das Verhalten für t zu berechnen. Wir betrachten wieder die Markov-Kette aus unserem Beispiel. Wir hatten gezeigt, dass für die Übergangsmatrix P gilt: P = B D B 1 = ( ) ( ) ( ). DWT 2.5 Stationäre Verteilung 414/467
19 Daraus folgt P t = B D t B 1 = ( ) (( t 10) t ) ( ), und für t erhalten wir ( ) ( lim P t = t ) ( ) ( 1 = ). DWT 2.5 Stationäre Verteilung 415/467
20 Für eine beliebige Startverteilung q 0 = (a, 1 a) folgt lim q t = lim q 0 P t = (a, 1 a) t t = ( 1 1 ( 1 a + 1 (1 a), 2 a + 2 (1 a) 2 2 ) ) = ( 1, 2 ). DWT 2.5 Stationäre Verteilung 416/467
21 Das System konvergiert also unabhängig vom Startzustand in eine feste Verteilung. Der zugehörige Zustandsvektor π = ( 1, 2 ) hat eine interessante Eigenschaft: π P = ( 1, 2 ( ) 0,8 0,2 ) = ( 1 0,1 0,9, 2 ) = π. π ist also ein Eigenvektor der Matrix P zum Eigenwert 1 bezüglich Multiplikation von links. Dies bedeutet: Wenn die Kette einmal den Zustandsvektor π angenommen hat, so bleibt dieser bei allen weiteren Übergängen erhalten. DWT 2.5 Stationäre Verteilung 417/467
22 Definition 140 P sei die Übergangsmatrix einer Markov-Kette. Einen Zustandsvektor π mit π = π P nennen wir stationäre Verteilung der Markov-Kette. Besitzen alle Markov-Ketten die Eigenschaft, dass sie unabhängig vom Startzustand in eine bestimmte stationäre Verteilung konvergieren? Nein! DWT 2.5 Stationäre Verteilung 418/467
23 ½ Ô ½ Õ Eine Markov-Kette mit absorbierenden Zuständen Die Abbildung zeigt die Kette aus dem gamblers ruin problem für m = 2. Man sieht sofort, dass hier sowohl π 1 = (1, 0, 0) als auch π 2 = (0, 0, 1) stationäre Verteilungen sind. Die beiden Zustände 0 und 2 haben jeweils keine ausgehenden Kanten. Solche Zustände heißen absorbierend. DWT 2.5 Stationäre Verteilung 419/467
24 Definition 141 Wir bezeichnen einen Zustand i als absorbierend, wenn aus ihm keine Übergänge herausführen, d.h. p ij = 0 für alle j i und folglich p ii = 1. Ein Zustand i heißt transient, wenn f i < 1, d.h. mit positiver Wahrscheinlichkeit 1 f i > 0 kehrt der Prozess nach einem Besuch in i nie mehr dorthin zurück. Ein Zustand i mit f i = 1 heißt rekurrent. DWT 2.5 Stationäre Verteilung 420/467
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