Koordinatensysteme der Erde

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1 Koordinatensysteme der Erde Es gibt verschiedene Arten, die Position eines Punktes auf der Oberfläche einer Kugel (manchmal auch Sphäre genannt) darzustellen, jede hat ihre Vor-und Nachteile und ist für bestimmte Zwecke geeigneter, für andere wiederum umständlich. Im folgenden Text werden drei mögliche Koordinatensysteme dargestellt. Geografische Koordinaten Lese dazu den Infotext Was sind eigentlich geografische Koordinaten? Geozentrische Koordinaten (Kartesische Koordinaten) Bei geozentrischen Koordinaten handelt es sich um ein globales, dreidimensionales rechtwinkeliges System mit dem Ursprung im Erdschwerpunkt. Ein Punkt hat in diesem System immer drei Koordinaten x, y und z. Geozentrische Koordinaten kommen besonders in der Satellitentechnik, Navigation und Geophysik zum Einsatz. Die geozentrischen Koordinaten lassen sich einfach durch Umformungen der Kugelkoordinaten oder Überlegungen zu den geografischen Koordinaten herleiten, doch dazu später mehr. Kugelkoordinaten Nun lässt sich aber ein Punkt auf der Erdoberfläche noch auf eine dritte Art und Weise bestimmen. Die Kugelkoordinaten sind - einfach ausgedrückt - eine Mischung zwischen kartesischen und geografischen Koordinaten. Die Punkte auf der Erdoberfläche in Kugelkoordinaten haben drei Angaben (r, ϑ, ϕ). r ist der Abstand vom Ursprung zu dem Punkt P auf der Erdoberfläche. ϕ ist der Winkel zwischen der positiven x-achse und der Projektion von dem Vektor in die x-y-ebene, gezählt von 0 bis 2π gegen den Uhrzeigersinn (siehe Bild rechts). ϑ (Polarwinkel) ist der Winkel zwischen dem Vektor und der positiven z-achse, gezählt von 0 bis π.

2 φ φ φ λ = λ = φ λ λ λ λ = λ φ)

3 Transformation geografischer Koordinaten in Kugelkoordinaten Da sowohl Angaben in geografischen Koordinaten als auch solche in Kugelkoordinaten natürlich von einer idealisierten Form der Erde ausgehen (perfekte Sphäre) ist die Umrechnung nicht besonders schwierig. Man muss sich nur verdeutlichen, was die Bedeutung der einzelnen Koordinaten ist. Um die verschiedenen ϕ-koordinaten des geografischen Koordinatensystems und der Kugelkoordinaten klar zu trennen, werden die Indices K für Kugelkoordinaten und G für geografische Koordinaten eingeführt. Die ϕ-koordinate der Kugelkoordinaten entspricht der λ-koordinate der geografischen Koordinaten - mit dem Unterschied, dass λ nur von 0 bis π variiert und die Anhängsel "E" und "W" anzeigen, ob vom Nullmeridian ausgehend nach Osten oder nach Westen gemessen wird. Die ϑ-koordinate der Kugelkoordinaten wird ausgehend vom Nordpol nach Süden gemessen und variiert zwischen 0 und π. Die ϕ-koordinate der geografischen Koordinaten aber (nicht verwechseln mit der Kugel-ϕ- Koordinate) wird vom Äquator aus entweder nach Norden oder nach Süden gemessen, variiert somit nur zwischen 0 und π/2 und erhält zur Unterscheidung die Anhängsel "N" und "S". Nach diesen Überlegungen lassen sich folgende Transformationsformeln ableiten: So lange nach Osten gemessen wird, gilt ϕ K =λ. Für eine Messung Richtung Westen gilt ϕ K = 2π λ. Für eine Messung in Richtung Norden gilt ϑ = π/2 - ϕ G. So lange nach Süden gemessen wird, gilt analog dazu ϑ = π/2 + ϕ G. Nach Anwendung dieser Formeln fehlt nur noch die r-koordinate. Der Radius der Erde ist nicht überall gleich. Für unsere Rechnungen setzen wir fest r = 6371 km. Vollziehen Sie das Beispiel unten nach. Beispiel: Hier wird diese Umrechnung anhand des Beispiels Wien gezeigt. Wien hat die geografischen Koordinaten 48 12ɂ31.5 N 16 22ɂ21.3 E. Das Bedeutet, dass Wien 48 12ɂ31.5 nördlich vom Äquator (der x-y-ebene) und 16 22ɂ21.3 östlich des Nullmeridians, der durch Greenwich verläuft, liegt. Zuerst wandeln wir die geografischen Koordinaten in Gradmaß: ,5 = 48, ,3 = 16,37258 Nun können wir einfach in die Formeln einsetzen und wir erhalten = 90 48,20875 = 41, ,8 = 16,4 Die vollständigen Kugelkoordinaten Wiens lauten daher: ( = 6371, = 41,8, = 16,4 )

4 Transformation: Geografische Kugelkoordinaten und kartesische Koordinaten Mathematiker und Geographen operieren mit verschiedenen Koordinaten. Ein Navigationssystem bearbeitet die Koordinaten im kartesischen System. Deswegen ist es notwendig die geografischen Kugelkoordinaten (r,λ,φ) und die kartesische Koordinaten (x,y,z) ineinander zu überführen, um weitergehende Untersuchungen, etwa Abstandsberechnungen, tätigen zu können. Zwei ausgezeichnete Punkte lassen sich ohne Transformation direkt in ihren kartesischen Koordinaten angeben: Der Nordpol NP( ) und der Südpol SP( ). Für alle anderen Orte der Erdoberfläche ist eine Koordinatentransformation durchzuführen. Die notwendigen Bezeichnungen zwischen den Koordinaten lassen sich aus der folgenden Abbildung ablesen: Transformation von geografischen Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten: Zunächst sollen die Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten umgewandelt werden. Durch die Einführung der Hilfsgröße r (Betrag der Projektion des Radiusvektors auf die x-y-ebene) lassen sich die notwendigen Beziehungen aus der Grafik gewinnen. Es gilt: (1a) cos = = cos (1b) sin = = sin (1c) sin = = sin Wegen der Beziehung cos = = cos erhält man durch Einsetzen die gesuchte Koordinatentransformation in Richtung: Kugelkoordinaten kartesische Koordinaten: cos cos (2) = cos sin sin

5 Transformation von kartesischen Koordinaten in geografische Kugelkoordinaten: Die Umkehrung der oben geschilderten Transformation, also die Umwandlung in der Richtung kartesische Koordinaten Kugelkoordinaten ergibt leider keine algebraisch eindeutigen Lösungen für alle nun gesuchten Kugelkoordinaten: Hier muss man die Kugelgleichung + + = beachten, wobei x, y und z die kartesischen Koordinaten sind und r der Kugelradius. Diese Gleichung kann man wie folgt erklären: jede Kugel bzw. Kugeloberfläche besteht aus der Menge aller Punkte (x,y,z), welche der gleichen Abstand vom Mittelpunkt haben. Aus der obigen Gleichung folgt: = + +. Der Radius ist demnach eindeutig anzugeben, die negative Lösung = + + hätte keinen geographischen Sinn und wird nicht weiter thematisiert. Für die Koordinaten λ und ϕ kann man aus obiger Abbildung folgende Beziehungen ablesen: (3a) sin = = (3b) sin = = (3c) cos = =, Die beiden letzten Gleichungen können zwar algebraisch zusammengefasst werden zu (3d) tan =, doch geht durch diese Zusammenfassung die Eindeutigkeit der Lösung für λ bei der Koordinatentransformation verloren. Um den Längengrad zu bestimmen, müssen beide Gleichungen (3b) und (3c) gleichzeitig erfüllt sein. Zusammengefasst gilt also für die Transformation von kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten: = + + = sin + + λ mit sin = cos =.