= Rechne nach - das Ergebnis ist immer 1!

Transkript

1 Was ist ein Bruch? Bisher kennst du genau eine Art der Zahlen, die sogenannten "Natürlichen Zahlen". Unter den Natürlichen Zahlen versteht man die Zahlen 0, 1,,,... bis Unendlich. Mit diesen Zahlen lassen sich bestimmte Fragen jedoch nicht beantworten. So z.b. die Frage "Drei Leute teilen sich eine Partypizza. Wie viel Pizza hat jeder gegessen?" Die natürlichen Zahlen würden hier nur 0 oder 1 als Möglichkeit lassen und beides wäre falsch. Wie also lautet die richtige Antwort. Im Prinzip haben sich drei Leute eine Pizza geteilt. Die mathematische Rechnung lautet: 1: (gelesen als: "ein Drittel") Zähler Die Darstellung als Bruch sieht dann so aus: 1 Bruchstrich Nenner Der Wert des Bruchs beschreibt in diesem Beispiel die Menge der Pizza, die jeder gegessen hat. Merke: Der Bruchstrich ersetzt das "Geteilt-Zeichen". Der Zähler gibt an, wie viele Ganze geteilt wurden bzw. wie viele Teilstücke gemeint sind. Der Nenner gibt dem Bruch seinen Namen und gibt an, in wie viele Teile geteilt wurde ( 1 wird nicht als "ein Zweitel" gelesen, sondern als "ein Halbes" oder "ein Halb"). Ein Ganzes kann man als beliebigen Bruch schreiben: 1 = = = 19 = 47 = 1 = 16 = Rechne nach - das Ergebnis ist immer 1! Angaben von Bruchteilen von 0cm sind 0cm : = 0cm (der Bruchstrich ersetzt ja das Geteiltzeichen) Weiß man, dass 0cm sind, dann kann man ausrechnen, was ein Ganzes ist. 1 sind dann 0cm : = 10cm. Da ein Ganzes ja drei Drittel sind, entspricht das Ganze also 10cm = 0cm.

2 Gemischte Zahlen und unechte Brüche Als gemischte Zahlen bezeichnet man Zahlen, die sowohl aus einer natürlichen Zahl als auch einem Bruch bestehen. Ein einfaches Beispiel: zuerst trinkst du ein ganzes Glas Orangensaft und dann ein halbes. Mathematisch: = 1 1 (gelesen als "Eineinhalb" oder "Ein Ganzes und ein Halbes") Die Gesamtmenge Orangensaft wird als gemischte Zahl geschrieben. Natürlich kann man auch das Ganze Glas als zwei halbe Gläser beschreiben. Mathematisch: + 1 = Da drei Halbe mehr als ein Ganzes sind, nennt man diesen Bruch unechter Bruch.

3 Erweitern und Kürzen Hinweis: Du solltest zuerst alle grundlegenden Begriffe (Zähler, Nenner, Bruchstrich, Wert des Bruchs,... kennen), bevor du hier weiterarbeiten kannst. Mit dem Vergleich von Brüchen ist es so eine Sache. Natürlich sind 1 weniger als, da 1 ja weniger 4 4 als ist. Wie sieht es aber mit dem Vergleich von 4 und aus? 4 Auch die zeichnerische Darstellung hilft dabei nicht wirklich weiter, da entweder das Ganze unterschiedlich groß gezeichnet werden muss (wie hier passiert) oder eben die Teile unterschiedlich groß sind. Was kann man machen? Wir könnten die Viertel jeweils in Teile unterteilen. Da wir also vier Viertel in jeweils drei Teile unterteilen würden, erhalten wir insgesamt 1 Teile, von denen, also 1:4 =9 4 Teile gefärbt werden müssen. Die Drittel kann man jeweils in vier Teile unterteilen. So werden es auch 1 Teile, von denen dann, also 1: =8 Teile gefärbt werden. = = 8 1 Drittel weniger als drei Viertel. Nun kann man wunderbar vergleichen. Offensichtlich sind zwei Was haben wir mathematisch gemacht? = = Zähler und Nenner werden mit der gleichen Zahl multipliziert. Wir unterteilen damit das Ganze in mehrere, kleinere Teile, wählen dafür aber natürlich auch mehr von den Teilen. Wenn du hier Schwierigkeiten beim Verständnis hast, dann schaue dir den Teil "Multiplizieren von Brüchen" an. Woher wusste man aber, dass man einmal mit und einmal mit 4 multiplizieren musste? 1 ist das kleinste gemeinsame Vielfache von und 4. Da die 1 im Nenner der beiden Brüche steht und sie ihn dann gemeinsam haben, spricht man in diesem Fall auch vom Hauptnenner oder gemeinsamen Nenner. Zwölftel kann man nun miteinander vergleichen, da die Bruchteile ja gleich groß sind. Diesen Vorgang (Multiplikation von Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl) nennt man Erweitern.

4 Kürzen Brüche können sehr schnell zu unübersichtlichen Zahlen bei Zähler und Nenner führen. Wir können mit kleinen Zahlen aber besser rechnen als mit großen Zahlen. Werden Brüche vereinfacht, so nennt man das "kürzen". Ein Beispiel hierzu: zusammen, dann ergibt sich die folgende Darstellung: 9 1 Fasst man nun immer drei der Kästchen (also immer ) zu einem 1 4 Wie an der Breite der Kästchen zu sehen ist, hat sich insgesamt keine Änderung ergeben. Der Wert des Bruchs ist unverändert. Nur Zähler und Nenner sind kleiner geworden. Was haben wir mathematisch gemacht? : 9 = 1 4 : :4 8 = 1 Zähler und Nenner werden durch die gleiche Zahl dividiert. Wir unterteilen damit das Ganze in weniger, größere Teile, wählen dafür aber natürlich auch weniger von den Teilen. Woher wusste man aber, dass man einmal durch und einmal durch 4 dividieren musste? Man hat sich in beiden Fällen den größten gemeinsamen Teiler gesucht! Diesen Vorgang (Division von Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl) nennt man Kürzen oder auch Vereinfachen. Kürzt man einen Bruch so weit, bis man keinen gemeinsamen Teiler für Zähler und Nenner mehr finden kann, dann spricht man von einem vollständig gekürzten Bruch. :4

5 Addieren und Subtrahieren von Brüchen Wenn Brüche addiert oder subtrahiert werden sollen, dann müssen wir unterscheiden zwischen der Addition und Subtraktion gleichnamiger Brüche und der von ungleichnamigen Brüchen. Brüche, die den gleichen Nenner haben, heißen gleichnamig. Haben die Brüche nicht den gleichen Nenner, so nennt man sie ungleichnamig. Die Addition und Subtraktion gleichnamiger Brüche funktioniert ganz einfach: a. Schreibe den gemeinsamen Nenner unter den Bruchstrich des Ergebnisses b. Addiere bzw. subtrahiere die Zähler c. Schreibe das Ergebnis in den Zähler des Ergebnisses d. Kürze, wenn möglich das Ergebnis Sind die Brüche nicht gleichnamig, dann gilt: a. Finde einen gemeinsamen Nenner für alle Brüche (normalerweise ist das das kleinste gemeinsame Vielfache aller Nenner) b. Erweitere bzw. kürze alle Brüche so, dass sie den gemeinsamen Nenner haben (alle Brüche werden auf den sogenannten Hauptnenner gebracht) e. Schreibe den gemeinsamen Nenner unter den Bruchstrich des Ergebnisses f. Addiere bzw. subtrahiere die Zähler g. Schreibe das Ergebnis in den Zähler des Ergebnisses c. Kürze, wenn möglich das Ergebnis Zwei Beispiele: Die Brüche sind gleichnamig Der Nenner wird beibehalten, die Zähler werden addiert = 6 9 = Das Ergebnis konnte mit gekürzt werden Die Brüche sind ungleichnamig Der Hauptnenner lautet 1, also muss man mit 4 bzw. erweitern + = = 17 = Der Hauptnenner wird beibehalten, die Zähler werden addiert Das Ergebnis war ein unechter Bruch und wird daher in eine gemischte Zahl umgewandelt

6 Multiplizieren von Brüchen Wird ein Bruch mit einer Zahl multipliziert, so wird nur der Zähler des Bruchs mit dieser Zahl multipliziert. Dargestellt sind 1 6 = 1 6 = 6 = 1 Zur Erinnerung - der Zähler gibt an, wie viele gleiche Bruchteile gezählt werden. Im Beispiel sind das dreimal ein Sechstel. Also sind es insgesamt drei Sechstel oder (gekürzt) ein Halbes. Schwieriger wird das nun, wenn ein Bruch mit einem Bruch multipliziert wird. Dann muss man schon etwas mehr hinter die Kulissen der Bruchrechnung sehen. Wagen wir einen Blick... =? Um zu verstehen, wie hier zu rechnen ist, muss man sich zuerst erinnern, wofür der 4 Bruchstrich steht - für ein Geteiltzeichen. Die Rechnung lautet also: : :4=? Es kommen nur Punktrechnungen vor. Wir dürfen also einfach von links nach rechts rechnen. : = soweit - so gut = = 6 bis dahin ist es einfach 6 : 4 =? Jetzt sollten wir kurz überlegen. Machen wir es an einem praktischen Beispiel fest. Sechs Drittel Pizzen sollen auf vier Leute aufgeteilt werden. Wie viel Pizza bekommt dann jeder? Nun, das bedeutet, dass die Drittel jeweils noch einmal in Viertel unterteilt werden. Viertel von Drittel sind Zwölftel. Also lautet die Rechnung: Komplett ist das dann: 4 = 4 = 6 1 = 1 6 : 4 = 6 1 = 1 Merke: Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl multipliziert, indem man seinen Zähler mit dieser Zahl multipliziert. Ein Bruch wird mit einem Bruch multipliziert, indem man jeweils die Zähler und Nenner miteinander multipliziert.

7 Dividieren von Brüchen Um das Dividieren vom Brüchen zu verstehen, sollte man sich zuerst wieder auf die Division durch eine ganze Zahl beschränken. Ein Beispiel: : 4 =? Grafisch dargestellt: : 4 =? Anschaulich bedeutet das, dass man z.b. zwei Drittel einer Pizza auf vier Leute aufteilt. Von den vorhandenen zwei Dritteln bekommt dann also jeder ein Viertel. Die Drittel werden also in jeweils vier Teile unterteilt. Als Ergebnis erhält man so Zwölftel. Rechnerisch bedeutet das: : 4 = Teilt man zwei Drittel durch vier, so erhält man zwei Zwölftel. 4 = 1 Merke: Ein Bruch wird durch eine ganze Zahl geteilt, indem man den Zähler behält und den Nenner mit dieser Zahl multipliziert. Und was ist mit dem Teilen eines Bruches durch einen Bruch? Wir versuchen es mit der Pizza... Ein halber Mensch isst ein Viertel einer Pizza. Wie viel Pizza isst dann ein ganzer Mensch? Die Lösung ist eigentlich klar. Jede Hälfte des Menschen isst eine Viertel Pizza. Dann isst der ganze Mensch eine halbe Pizza

8 Rechnerisch bedeutet das: 1 : 1 = 1 (eine Viertel Pizza auf einen halben Menschen aufgeteilt ergibt 4 eine halbe Pizza). Wie lässt sich das Ergebnis erklären? Versucht man Bruchteile (z.b. die Viertel Pizza) auf Bruchteile aufzuteilen, dann stellt sich dadurch die Frage, wie viele Bruchteile auf ein Ganzes aufgeteilt werden würden. Die Rechnung sieht daher so aus: 1 4 : 1 = = 4 = 1 Um also durch einen Bruch zu teilen, müssen bei dem Divisor (der Teiler) Zähler und Nenner vertauscht werden. Diesen Vorgang nennt man "den Kehrwert bilden". Hat man von dem Bruch, durch den geteilt wird den Kehrwert gebildet, dann wird nicht mehr dividiert, sondern multipliziert. Merke: Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.