2 Lineare Gleichungssysteme

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1 2 Lineare Gleichungssysteme Betrachte ein beliebiges System von m linearen Gleichungen in den n Unbekannten x,,x n : a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 () a m x + a m2 x a mn x n = b m Die darin auftretenden Zahlen a ij, i =,,m, j =,,n nennt man die Koeffizienten des Gleichungssystems () Wir ordnen die Koeffizienten in Form einer sog Matrix an: A = a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn Zeile 2 Zeile m-te Zeile Spalte n-te Spalte Der Index gibt die Zeile an, in der a ij steht (Zeilenindex) Der 2 Index gibt die Spalte an, in der a ij steht (Spaltenindex) Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten nennt man eine mxn Matrix Die Spalten der obigen Matrix sind also v = a a 2 a m, v 2 = a 2 a 22 a m2,,v n = a n a 2n a mn Jede Spalte stellt ein m-gliedriges, geordnetes System dar, ein sogenanntes m Tupel von Zahlen Ein 2 Tupel heißt auch Paar von Zahlen Fasse die rechte Seite des Gleichungssystems () ebenfalls zu einem m Tupel b b = b m zusammen

2 Beispiel : Zum Gleichungssystem x + 2x 2 = 4 2x x 2 = gehört die Matrix A = und das Paar b = Die Spalten von A sind v = und v 2 2 = Regeln für den Umgang mit m Tupeln c = Gleichheit: Genau dann ist c = d, wenn c = d, c 2 = d 2,,c m = d m c d c + d Addition: + = c m d m c m + d m c ac Multiplikation mit einer Zahl: a = c m ac m Es folgt: Sind v und w m Tupel und x, y Zahlen, so gilt c c m und d = x(v + w) = x v + xw und (x + y)v = xv + y v d Sind v,, v n wie oben die Spalten von A, so gilt a x a 2 x 2 a n x 4 x v =, x 2 v 2 =,,x n v n = und a m x a m2 x 2 a mn x n a x + a 2 x a n x n a 2 x + a 22 x a 2n x n x v + x 2 v x n v n = a m x + a m2 x a mn x n 2 d m

3 Daher ist das Gleichungssystem () gleichbedeutend mit der Gleichheit (2) x v + x 2 v x n v n = b von m Tupeln x Wir nennen ein n Tupel x = x n von Zahlen, x,,x n, für welches (2) (und damit auch ()) gilt, eine Lösung des vorliegenden Gleichungssystems ( GLS ) Stehen auf der rechten Seite von () nur Nullen, so heißt das GLS homogen Ersetzt man in () alle Zahlen b,,b m durch Nullen so heißt das so entstandene GLS das zu () gehörige homogene Gleichungssystem Es ist also auch gegeben durch die Gleichung (3) x v + x 2 v x n v n = Für schreiben wir auch kurz (2) Zusammenhang zwischen den Lösungsmengen von (2) und von (3) Man erhält alle Lösungen eines lösbaren Gleichungssystems (2), indem man zu einer speziellen Lösung von (2) alle möglichen Lösungen des zugehörigen Systems (3) addiert y Beweis Sei y = x Sei x = x n y n eine Lösung von (2), dh y v + + y n v n = b eine beliebige Lösung von (2); also gilt ebenfalls x v + + x n v n = b 3

4 Ziehe von der zweiten die erste Gleichung ab und erhalte (x y )v + + (x n y n )v n = b b = x y Also ist das n tupel z = x y = eine Lösung des zugehörigen x n y n homogenen Systems (3) Also ist jede Lösung x des Systems (2) von der Form x = y +z, z Lösung des homogenen Systems (3) Sei umgekehrt z = z eine Lösung des homogenen Systems (3), dh z n z v + + z n v n = Setze x := y + z Dann gilt x v + + x n v n = (y + z )v + + (y n + z n )v n = = [y v + + y n v n ] + [z v + + z n v n ] = b + = b Also ist x = y + z eine Lösung des inhomogenen Systems (2) Bezeichnungen: Sei L die Gesamtheit aller Lösungen von (2) und L die Gesamtheit aller Lösungen von (3) y sei irgend eine ( spezielle ) Lösung von (2) Dann gilt nach (2) L = y + L := {y + z z L } (22) Bemerkung: Seien x und y n tupel von Zahlen Dann gilt: a) Aus x L und y L folgt: x + y L b) Ist x L, so ist auch c x L für alle Zahlen c c) Das n Tupel = gehört zu L Beweis: ( heißt die triviale Lösung von (3)) 4

5 a) Durch Addition folgt aus x v + x 2 v x n v n = und y v + y 2 v y n v n = die Gleichheit (x + y )v + (x + y 2 )v (x n + y n )v n =, dh x + y x + y = L x n + y n b) Durch Multiplikation mit c folgt aus x v + x 2 v x n v n (cx )v + (cx 2 )v (cx n )v n cx c x = L cx n = die Gleichheit = ; also ist R n bezeichne die Menge der n Tupel von (reellen) Zahlen Definition: Eine nicht leere Teilmenge U von R n heißt linearer Teilraum von R n, wenn gilt: (i) x, y U impliziert x + y U (ii) x U impliziert cx U für jedes c R (Insbes ist wegen U nicht leer immer = x U) In (22) haben wir also gesehen: Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems () ist ein linearer Teilraum des R n Beispiel: Das Gleichungssystem (m =, n = 2) x + x 2 = hat als spezielle Lösung Die zugehörige homogene Gleichung ist x + x 2 =, dh x 2 = x 5

6 Sie hat somit die Lösungsmenge x L = { x R} = {λ x λ R} Anschaulich ist L die Gerade mit der Parameterdarstellung x L : = λ, λ R x 2 y ( ) x L L Nach () ist daher L = + L 6

7 Anschaulich ist dies die Gerade mit Parameterdarstellung x L : = + λ, λ R x 2 L ist also die zu L parallele Gerade durch den Punkt (23) Bemerkung: Ein lösbares lineares Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn das zugehörige homogene System nur die triviale Lösung hat Beweis: Nach (2) ist L = y + L, wenn y L Also ist y genau dann die einzige Lösung, wenn L = {} Im Beispiel aus : Das inhomogene System ist nach eindeutig lösbar Also hat das zugehörige homogene System x + 2x 2 = 2x x 2 = nur die triviale Lösung x =, x 2 = Dies sieht man auch direkt Addiere das 2 fache der 2 Gleichung zur ersten Erhalte 5x =, also x = Setze in die Gleichung ein, erhalte 2x 2 =, also x 2 = 7