23 Konvexe Funktionen und Ungleichungen

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1 23 Konvexe Funktionen und Ungleichungen 231 Konvexe Funktionen 232 Kriterien für Konvexität 233 Streng konvexe Funktionen 235 Wendepunkte 237 Ungleichung von Jensen 2310 Höldersche Ungleichung 2311 Minkowskische Ungleichung Die ersten systematischen Untersuchungen der konvexen Funktionen hat der dänische Mathematiker und Ingenieur Jensen ( ) durchgeführt 231 Konvexe Funktionen Sei I ein Intervall Eine Funktion f : I R heißt konvex (konkav), wenn gilt: ( a, b I)(a < t < b f(t) f(a) + f(b) f(a) (t a)) ( ) Offensichtlich ist f konkav genau dann, wenn f konvex ist Es reicht daher im folgenden, die konvexen Funktionen zu untersuchen Die geometrische Bedeutung der Konvexität ergibt sich aus folgendem: Sind a, b I und a < b, so ist der Graph von [a, b] t f(a) + f(b) f(a) (t a) das Geradenstück, welches die Punkte (a, f(a)) und (b, f(b)) verbindet, also die sogenannte Sehne Die Konvexität besagt nun, daß der Graph von f [a, b] (im unstrengen Sinne) unterhalb der Sehne verlaufen muß Dies muß für jede Wahl von a, b I mit a < b der Fall sein C 1 [23] 1

2 Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funktionen, Potenzreihen a b a b 232 Kriterien für Konvexität Sei I ein Intervall und f : I R stetig und in allen Punkten von I differenzierbar Dann sind (i) bis (iii) äquivalent: (i) (ii) f ist konvex Für alle t 0 I gilt: f(t) f(t 0 ) + f (t 0 )(t t 0 ) für alle t I, dh für alle Punkte t 0 I gilt: Der Graph von f verläuft auf I oberhalb seiner Tangente im Punkte t 0 (iii) f ist monoton wachsend auf I Ist f sogar zweimal differenzierbar in allen Punkten von I, dann ist jede der Aussagen (i) bis (iii) äquivalent zu: (iv) f (t) 0 für alle t I Beweis (i) (iii) Sei a < b mit a, b I Zz ist: f (a) f (b) Aus der Definition der Konvexität folgt für t ]a, b[ f(t) f(a) t a f(b) f(a) Mit t a erhält man aus dieser Ungleichung (2) f (a) f(b) f(a) Nun ist f(a) + f(b) f(a) (t a) = f(b) + f(b) f(a) (t b) [23] 2 C 1

3 Mit folgt daher aus der Konvexität von f f(t) f(b) f(b) f(a) (t b), und hieraus folgt wegen t b < 0 (4) Mit t b erhält man aus (4) Mehrfache Differenzierbarkeit und Potenzreihen f(t) f(b) t b f(b) f(a) (5) f (b) f(b) f(a) Aus (2) und (5) folgt dann (iii) (ii) : Sei t 0 I und t I mit obda t t 0 Ist t < t 0 (t > t 0 ), dann ist f (ζ) f (t 0 ) für alle ζ ]t, t 0 [ (f (ζ) f (t 0 ) für alle ζ ]t 0, t[) Nach dem Mittelwertsatz folgt (beachte f ist stetig auf I): f(t) f(t 0 ) t t 0 = f (ζ) f (t 0 ) für ein ζ zwischen t und t 0 ( ) Hieraus folgt durch Multiplikation mit t t 0 dann (ii) (ii) (i) Seien a, b I und a < t < b Wir wenden (ii) auf t 0 := t und t := a bzw t := b an Wegen t I gilt dann (6) f(a) f(t) + f (t)(a t), (7) f(b) f(t) + f (t)(b t) Somit erhalten wir: (8) f(t) f(a) t a f f(b) f(t) (t) b t (6) (7) Aus (8) folgt durch Multiplikation mit (b t)(t a) (9) (b t)(f(t) f(a)) (f(b) f(t))(t a) Addiert man auf beiden Seiten der Ungleichung in (9) nun f(t)(t a) f(a)(t a), so erhält man: (b a)f(t) f(a)(b a) (f(b) f(a))(t a) Hieraus folgt die Konvexitätsbedingung nach Division durch (b a) Die Äquivalenz von (iii) und (iv) folgt, weil nach 194(ii) die differenzierbare Funktion f I genau dann monoton wachsend ist, wenn [f =](f ) über I nicht-negativ ist Fordert man, daß für a < b aus I die Funktion f ]a, b[ streng unterhalb der Sekante liegen soll, so gelangt man zum Begriff der strengen Konvexität 233 Streng konvexe Funktionen Sei I ein Intervall Eine Funktion f : I R heißt streng konvex (streng konkav), wenn ( a, b, t I)(a < t < b f(t) < f(a) + f(b) f(a) (t a)) (>) C 1 [23] 3

4 Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funktionen, Potenzreihen Die folgenden Bedingungen für die strenge Konvexität von Funktionen sind hinreichend, aber nicht notwendig 234 Kriterien für strenge Konvexität Sei I ein Intervall und f : I R stetig und in allen Punkten von I differenzierbar (i) (ii) Ist dann f auf I, so ist f streng konvex Ist f auf I sogar zweimal differenzierbar und ist f auf I positiv, so ist f streng konvex (i) Nach 232(iii) (i) ist f konvex Wäre nun f nicht streng konvex, so existieren a, b, t I mit a < t < b und f(t) = f(a) + f(b) f(a) (t a) Nun ist (2) f(a) + f(b) f(a) (t a) = f(b) + f(b) f(a) (t b), und daher folgt: f(t) f(a) t a f(b) f(a) f(t) f(b) = = t b,(2) Nach dem Mittelwertsatz gibt es dann ein t 1 ]a, t[ und ein t 2 ]t, b] mit f (t 1 ) = f(t) f(a) t a = f(b) f(t) b t = f (t 2 ) Dies widerspricht wegen t 1 < t 2 der strengen Monotonie von f (ii) folgt aus (i) mit 194(iv) Wir erhalten nun mit Satz 194 und 234 viele Beispiele für monotone und konvexe bzw konkave Funktionen, indem wir mit Hilfe der Ableitungsregeln die ersten und zweiten Ableitungen dieser Funktionen berechnen (i) Für n N gilt: (x n ) = 184 nx n 1, (x n ) = 184 n(n 1)x n 2 ; (ii) Für b R gilt (x b ) = 1811(ii) bxb 1, (x b ) = 1811(ii) b(b 1)xb 2 ; (iii) (ln(x)) 1 = x R +, (ln(x)) = 1 R 1811(i) 1811(ii) x 2 + ; (iv) (e x ) = 185 e x, (e x ) = 185 e x ; (v) (e x ) = 185,186 e x, (e x ) = 185,186 e x [23] 4 C 1

5 Mehrfache Differenzierbarkeit und Potenzreihen Funktion Monotonie Konvexität/Konkavität x 2, x 4, x 6, x 3, x 5, x 7, x b, 0 < b < 1 x b, b > 1 ln(x) e x e x streng monoton fallend auf ], 0], auf [0, [ auf R auf [0, [ auf [0, [ auf ]0, [ auf R streng monoton fallend auf R streng konvex auf R streng konkav auf ], 0], streng konvex auf [0, [ streng konkav auf [0, [ streng konvex auf [0, [ streng konkav auf ]0, [ streng konvex auf R streng konvex auf R 235 Wendepunkt Sei I ein Intervall, und sei t 0 I Ferner sei f : I R stetig Dann heißt t 0 ein Wendepunkt von f, wenn es ein ε R + gibt, so daß ]t 0 ε, t 0 + ε[ I und (i) oder (ii) gilt: (i) (ii) f ]t 0 ε, t 0 [ ist konvex und f ]t 0, t 0 + ε[ ist konkav; f ]t 0 ε, t 0 [ ist konkav und f ]t 0, t 0 + ε[ ist konvex Fall (i) Fall(ii) konkav konkav konvex konvex t 0 t 0 C 1 [23] 5

6 Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funktionen, Potenzreihen 236 Notwendige bzw hinreichende Bedingungen für einen Wendepunkt Sei I ein Intervall und f : I R stetig Es sei f in allen Punkten von I zweimal differenzierbar (i) Besitzt f in t 0 I einen Wendepunkt, so ist f (t 0 ) = 0 (ii) Ist f (t 0 ) = 0 und f in t 0 dreimal differenzierbar mit f (t 0 ) 0, so besitzt f in t 0 einen Wendepunkt Beweis (i) Liegt die Situation von 235(i) vor, so ist f (t) 0 für t ]t 0 ε, t 0 [ und f (t) 0 für t ]t 0, t 0 + ε[ nach 232 Nun ist f ]t 0 ε, t 0 ] (bzw f [t 0, t 0 + ε[) stetig und in den Punkten von ]t 0 ε, t 0 ] =]t 0 ε, t 0 [ (bzw [t 0, t 0 +ε[ ) differenzierbar mit nicht-negativer (nicht-positiver) Ableitung Daher ist f ]t 0 ε, t 0 ] monoton wachsend (f [t 0, t 0 +ε[ monoton fallend) Somit besitzt f in t 0 ein lokales Maximum Daher ist f (t 0 ) = 0 (siehe 1815) Liegt die Situation von 235(ii) vor, so liegt für f die Situation von 235(i) vor, dh es gilt ( f) (t 0 ) = 0, also f (t 0 ) = 0 (ii) Ist f (t 0 ) = 0 und (f ) (t 0 ) > 0, so gilt f (t) < 0 für t ]t 0 ε, t 0 [ und f (t) > 0 für t ]t 0, t 0 + ε[ mit einem geeigneten ε R + (Wende 1813(i) auf f I an) Also liegt die Situation von 235(ii) vor (benutze 232(iv) oder 234(ii)) Der Fall f (t 0 ) < 0 folgt entsprechend mit 1813(ii) Wichtige Ungleichungen der Analysis folgen aus der 237 Ungleichung von Jensen Sei I ein Intervall und f : I R konvex Sind λ 1,, λ n R + mit λ λ n = 1 sowie n 2, so gilt für beliebige t 1,, t n I : (i) λ 1 t λ n t n I (ii) f(λ 1 t λ n t n ) λ 1 f(t 1 ) + + λ n f(t n ) (iii) Ist f streng konvex, so gilt die Gleichheit nur für t 1 = = t n Beweis Wir führen den Beweis von (i) (iii) simultan, und zwar mit vollständiger Induktion (A) Sei n = 2 Ist dann t 1 = t 2, so sind wegen λ 1 + λ 2 = 1 die Aussagen (i) (iii) erfüllt Sei nun t 1 t 2 Dann nehmen wir t 1 < t 2 an; im Falle t 1 > t 2 numeriere man um Dann ist t := λ 1 t 1 + (1 λ 1 )t 2 ]t 1, t 2 [ I nach 25 Wegen λ 2 = 1 λ 1 folgt also (i) [23] 6 C 1

7 Aus folgt Mehrfache Differenzierbarkeit und Potenzreihen (2) t t 1 = (1 λ 1 )(t 2 t 1 ) = λ 2 (t 2 t 1 ) Da f konvex ist gilt (mit < bei strenger Konvexität): f(λ 1 t 1 + λ 2 t 2 ) = f(t) (<) = λ 1 f(t 1 ) + λ 2 f(t 2 ) Also gelten (ii) und (iii) für n = 2 f(t 1 ) + f(t 2) f(t 1 ) t 2 t 1 (t t 1 ) = (2) f(t 1 ) + λ 2 (f(t 2 ) f(t 1 )) (S) Seien nun n 2 und für den Schluß von n auf n + 1 nicht alle t i gleich Setze λ := λ λ n und t 1 := λ 1 λ t λn λ t n Wegen λ i λ R + und n λ i λ = 1 ist nach Induktionsvoraussetzung: (4) t 1 I; (5) f(t 1 ) n λ i λ f(t i) mit <, falls f streng konvex und nicht alle t 1,, t n gleich sind Nun ist wegen (4) und t n+1 I nach Induktionsanfang (6) λ 1 t λ n t n + λ n+1 t n+1 = (λ λ n )t 1 + λ n+1t n+1 I Also gilt (i) für n + 1 Wiederum nach Induktionsanfang (für (ii)) gilt: f(λ 1 t λ n+1 t n+1 ) = f((λ λ n )t 1 + λ n+1t n+1 ) (6) (λ λ n )f(t 1 ) + λ n+1f(t n+1 ) n+1 λ if(t i ) (5) Daher ist (ii) für n + 1 bewiesen Sei nun f streng konvex Sind nicht alle t 1 bis t n gleich, so steht in der letzten Ungleichung wegen (5) ein < Also erhalten wir in diesem Falle (iii) Ist f streng konvex und sind t 1,, t n alle gleich, aber t n+1 t 1, so ist t n+1 t 1 (= t 1), und daher steht nach Induktionsanfang (für (iii)) in der vorletzten Gleichung ein < Also erhalten wir auch in diesem Fall (iii) 238 Ungleichung zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel Seien λ 1,, λ n R + mit λ λ n = 1 Dann gilt für beliebige t 1,, t n R + t λ 1 1 tλn n λ 1 t λ n t n Also insbesondere n t1 t n t 1++t n n Das Gleichheitszeichen gilt jedoch nur für t 1 = = t n C 1 [23] 7

8 Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funktionen, Potenzreihen Beweis Es ist ln(x) streng konvex auf R + Also gilt nach der Ungleichung von Jensen ln(λ 1 t λ n t n ) λ 1 ln(t 1 ) λ n ln(t n ) mit <, falls nicht alle t 1,, t n gleich sind Somit ist ln(t λ 1 1 tλn n ) = n λ i ln(t i ) ln( n λ i t i ) mit <, falls nicht alle t 1,, t n gleich sind Anwendung der streng monotonen Exponentialfunktion auf diese Ungleichung ergibt die Behauptung für den allgemeinen Fall Der Spezialfall ergibt sich mit λ 1 = = λ n = 1/n 239 Die p-normen im R n Sei p 1 Setze dann für u := (u 1,, u n ) R n Dann gilt: u p := p n u i p (i) u p 0 und u p = 0 u = 0; (ii) αu p = α u p für jedes α R p n u i p ist hierbei definiert durch ( n u i p ) 1/p 2310 Höldersche Ungleichung Sei p > 1 und q durch 1/p + 1/q = 1 (dh q = p p 1 ) gegeben Dann gilt für beliebige u := (u 1,, u n ), v := (v 1,, v n ) R n n u i v i u p v q Beweis Es genügt, den Fall u 0 und v 0 zu behandeln Nach 239(i) sind dann u p 0 und v p 0 Nach Ungleichung 238 folgt mit λ 1 := 1/p, λ 2 := 1/q und t 1 := u i p u p, t 2 := v i q (der Fall t 1 = 0 oder t 2 = 0 ist trivial): p v q q u i v i u p v q p 1 u i p u p + 1 p q v i q v q q Durch Summation ergibt sich dann 1 n 1 1 n u p v q u i v i p u p u i p + 1 p q 1 v q q n v i q = p q = 1, also durch Multiplikation mit u p v q die behauptete Ungleichung [23] 8 C 1

9 Mehrfache Differenzierbarkeit und Potenzreihen 2311 Die Minkowskische Ungleichung Sei p 1, dann gilt für u, v R n u + v p u p + v p Beweis Für p = 1 folgt die Behauptung unmittelbar aus der Dreiecksungleichung für reelle Zahlen Seien also p > 1 und u + v p > 0 Mit w i := u i + v i p 1, w := (w 1,, w n ) und (2) q := p/(p 1), also 1/p + 1/q = 1 gilt u + v p p = n u i + v i p = n (u i + v i )w i n u i w i + n v i w i u p w q + v p w q 2310 Da w q i = u i + v i (p 1)q = u i + v i p ist, gilt w q = ( n w i q ) 1/q = ( n u i + v i p ) 1/q (4) = ( u + v p p) 1/q = u + v p 1 Also ist p u + v p p ( u p + v p ) w q = ( u p + v p )( u + v p p 1 ) (4) Division durch 0 < u + v p p 1 liefert die Behauptung C 1 [23] 9