Fit für die Prüfung Elektrotechnik Effektives Lernen mit Beispielen und ausführlichen Lösungen

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1 Jan Luiken ter Haseborg Christian Schuster Manfred Kasper Fit für die Prüfung Elektrotechnik Effektives Lernen mit Beispielen und ausführlichen Lösungen

2 ter Haseborg, Schuster, Kasper Fit für die Prüfung Elektrotechnik Bleiben Sie auf dem Laufenden Hanser Newsletter informieren Sie regel mäßig über neue Bücher und Termine aus den verschiedenen Bereichen der Technik. Profitieren Sie auch von Gewinnspielen und exklusiven Leseproben. Gleich anmelden unter

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4 Jan Luiken ter Haseborg, Christian Schuster, Manfred Kasper Fit für die Prüfung Elektrotechnik Effektives Lernen mit Beispielen und ausführlichen Lösungen Mit 382 Bildern, 157 Aufgaben und Lösungen "#$%&'$%()*+#,-)./0., "#$%&'(%)*+&,+&'%-

5 Prof. Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h. Jan Luiken ter Haseborg TU Hamburg-Harburg Prof. Dr. sc. techn. Christian Schuster TU Hamburg-Harburg Prof. Dr.-Ing. Manfred Kasper TU Hamburg-Harburg Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. ISBN: E-Book-ISBN: Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle echte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung des Buches, oder Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung mit Ausnahme der in den 53, 54 UG genannten Sonderfälle, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden Carl Hanser Verlag München Internet: Lektorat: Franziska Jacob, M.A. Herstellung: Dipl.-Ing. (FH) Franziska Kaufmann Satz: Satzherstellung Dr. Steffen Naake, Brand-Erbisdorf Coverconcept: Marc Müller-Bremer, München Coverrealisierung: Stephan önigk Druck und Bindung: Pustet, egensburg Printed in Germany

6 »Der Weltuntergang steht bevor, aber nicht so, wie Sie denken. Dieser Krieg jagt nicht alles in die Luft, sondern schaltet alles ab.«tom DeMarco Als auf der Welt das Licht ausging ca. 560 Seiten. Hardcover ca. 19,99 [D]/ 20,60 [A]/ sfr 28,90 ISBN Erscheint im November 2014 Hier klicken zur Leseprobe Sie möchten mehr über Tom DeMarco und seine Bücher erfahren. Einfach reinklicken unter

7 Vorwort Die vorliegende Aufgabensammlung ist ein Auszug aus den Klausuraufgaben zu den Grundlagenvorlesungen der Elektrotechnik an der Technischen Universität Hamburg-Harburg. Die Aufgaben sind thematisch in unterschiedliche Kapitel eingeteilt und jeweils kapitelweise mit einer Einführung versehen. Besonders hervorzuheben sind die sehr ausführlichen Lösungen zu den einzelnen Aufgaben. Die Aufgabensammlung dient der weiteren Vertiefung des Vorlesungsstoffes sowie der Vorbereitung auf Prüfungsklausuren. Durch den beschriebenen Aufbau eignet sich das Buch sehr gut zum Selbststudium sowie für Studierende, die die Grundlagen der Elektrotechnik an anderen Universitäten gehört haben. Ein Großteil der Aufgaben ist ebenfalls für Studierende der Elektrotechnik an Fachhochschulen geeignet. Der Inhalt des vorliegenden Werkes soll nicht die Übungen zur Vorlesung ersetzen, sondern ist als ergänzendes Hilfsmittel für deren erfolgreiche Bearbeitung und die Vertiefung des Vorlesungsstoffes anzusehen. An diesen Aufgaben haben insbesondere die wissenschaftlichen Mitarbeiter Dipl.-Ing. Helge Fielitz und Dipl.-Ing. Arnoldo ojas-coto vom Institut für Messtechnik sowie M. Sc. Alexander Vogt vom Institut für Theoretische Elektrotechnik der Technischen Universität Hamburg-Harburg mitgewirkt. Unser Dank gilt diesen drei und allen anderen wissenschaftlichen Mitarbeitern, die zum Gelingen dieses Buches beigetragen haben, sowie der Sekretärin des Instituts für Theoretische Elektrotechnik, Frau Heike Herder, die unterstützend beim Schreiben von Formeln und Texten tätig war. Hamburg, im August 2014 Jan Luiken ter Haseborg, Christian Schuster, Manfred Kasper

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9 Inhalt 1 Elektrische Gleichstromnetzwerke Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe

10 8 Inhalt Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Stationäres elektrisches Strömungsfeld Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Elektrisches Feld Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe

11 Inhalt 9 4 Magnetisches Feld Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Berechnung zeitabhängiger Vorgänge Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe

12 10 Inhalt 6 Komplexe Wechselstromrechnung Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Zeigerdiagramme und Ortskurven Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe

13 Inhalt 11 Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Schwingkreise und Filterschaltungen Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Schaltungen mit Operationsverstärkern Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe

14 12 Inhalt Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Dreiphasensysteme Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe

15 Inhalt 13 Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Transistorschaltungen Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Übertrager Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe

16 14 Inhalt Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgabe Lösung zu Aufgabe Index

17 1 Elektrische Gleichstromnetzwerke Die Berechnung elektrischer Netzwerke ist ein zentrales und grundlegendes Kapitel der Elektrotechnik. In diesem Kapitel werden ausschließlich Gleichstromnetzwerke behandelt. Grundlage sind das Ohmsche Gesetz und die Kirchoffschen egeln. Sind in einem Netzwerk mit z Zweigen die z Zweigspannungen bekannt, lassen sich die z Zweigströme berechnen. Entsprechendes gilt für z bekannte Zweigströme, d. h. in diesem Fall lassen sich die unbekannten z Zweigspannungen ermitteln. Die Knotenregel liefert für ein Netzwerk mit k Knoten genau k 1 linear unabhängige Gleichungen. Die restlichen m = z (k 1) linear unabhängigen Gleichungen lassen sich mithilfe der Maschenregel aufstellen. Ist der vollständige Baum eines Netzwerkes festgelegt, bilden die k 1 Zweige des vollständigen Baums die Baumzweige und die m = z (k 1) Zweige, die nicht zum vollständigen Baum gehören, die Maschenzweige oder auch Verbindungszweige. Der vollständige Baum ist dadurch charakterisiert, dass er keine geschlossenen Maschen enthält und dass alle Knoten direkt oder indirekt miteinander verbunden sind. In diesem Kapitel werden die bekannten Lösungsverfahren Maschenstromverfahren Knotenpotenzialverfahren Ersatzspannungsquelle, Ersatzstromquelle Superpositionsprinzip angewandt. Auf die mathematische Herleitung der linearen Gleichungssysteme im ahmen des Maschenstrom- und des Knotenpotenzialverfahrens wird an dieser Stelle verzichtet. Ausgehend von der Herleitung wird in diesem Kapitel für beide Verfahren eine systematische Vorgehensweise für die Aufstellung der linearen Gleichungssysteme angegeben. Als ein sehr wichtiges Werkzeug zur Berechnung elektrischer Netzwerke werden diese beiden Verfahren in Verbindung mit der Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle angesehen. Die Ersatzspannungsquelle und die Ersatzstromquelle spielen u. a. bei dem Maschenstrom- und dem Knotenpotenzialverfahren eine wichtige olle, wenn Stromquellen in Spannungsquellen und umgekehrt umzuwandeln sind. Mit dem Überlagerungssatz (Superpositionsprinzip) werden lineare elektrische Netzwerke mit mehr als einer Quelle berechnet. Das Kapitel 1 enthält u. a. Aufgaben, bei denen Kombinationen aus den oben erwähnten Lösungsverfahren zur Anwendung kommen. Die Berechnung von elektrischen Netzwerken erfolgt in den Aufgaben 1.1 bis 1.7 mithilfe des Maschenstromverfahrens und in den Aufgaben 1.8 bis 1.14 mithilfe des Knotenpotenzialverfahrens. Die Aufgaben 1.15 und 1.16 wenden jeweils beide Verfahren an. Die Ersatzstromquelle kommt in Aufgabe 1.17 und die Ersatzspannungsquelle in den Aufgaben 1.18

18 16 1 Elektrische Gleichstromnetzwerke und 1.19 zur Anwendung. Die Aufgaben 1.20 und 1.22 behandeln den Überlagerungssatz, während in Aufgabe 1.21 Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle den Schwerpunkt bilden. Systematisches Vorgehen für die Berechnung elektrischer Netzwerke mit dem Maschenstromverfahren 1. Bestimmen der Anzahl m der unabhängigen Maschengleichungen: Es gilt: m = z (k 1), wobei z die Anzahl der Zweige und k die Anzahl der Knoten darstellt. 2. Umrechnen aller Stromquellen in äquivalente Spannungsquellen 3. Für jede Masche ist ein Maschenstrom anzunehmen. Die Pfeilrichtung der Maschenströme erfolgt möglichst entgegen dem Uhrzeigersinn. Jeder Zweig muss in mindestens einer Masche enthalten sein; Zusammenhang zwischen fiktiven Maschenströmen und wahren Strömen herstellen. 4. Für jede Masche: Aufstellung der Maschenregel: U = 0 und eintragen in folgendes echenschema: Tabelle 1.1 Aufstellung des Gleichungssystems I M1 I M2 I M3... I Mm Masche m U 1 Masche m U 2 Masche m U Masche m m1 m2 m3... mm U m Die Abkürzungen bedeuten: I Mx Maschenstrom in der Masche x U x Summe aller Quellenspannungen, positiv, wenn ichtung des Maschenstromes entgegengesetzt zu den Spannungspfeilen der Quellenspannungen ist, sonst negativ xx Summe aller Widerstände in der Masche m, stets positiv xy Widerstand, der von den Maschenströmen I x und I y gemeinsam durchflossen wird. Positiv, wenn Pfeile der Maschenströme im Koppelzweig gleichgerichtet sind, sonst negativ. 5. Kontrolle des Schemas: Die Koeffizienten des echenschemas müssen symmetrisch zur Hauptdiagonalen sein. 6. Lösung des linearen Gleichungssystems, z. B. mithilfe der Cramerschen egel Systematisches Vorgehen für die Berechnung elektrischer Netzwerke mit dem Knotenpotenzialverfahren 1. Umrechnen aller Spannungsquellen in äquivalente Stromquellen 2. Die Knoten werden durchnummeriert (von 1 bis n) und ein Knoten als Bezugsknoten gewählt (Ziffer 0). 3. Für jeden Knoten: Aufstellung der Knotenregel: I = 0 und eintragen in folgendes echenschema:

19 1 Elektrische Gleichstromnetzwerke 17 Tabelle 1.2 Aufstellung des Gleichungssystems U 10 U 20 U U n0 Knoten 1 G 11 G 12 G G 1n I 1 Knoten 2 G 21 G 22 G G 2n I 2 Knoten 3 G 31 G 32 G G 3n I Knoten n G n1 G n2 G n3... G nn I n Die Abkürzungen bedeuten: U x0 Knotenspannungen zwischen dem Knoten x und dem Bezugsknoten 0 I x Summe aller Quellenströme, die in den Knoten fließen, negativ, wenn Strom vom Knoten wegfließt, sonst positiv G xx Summe aller Leitwerte, die einseitig mit Knoten x verbunden sind (Knotenleitwert, in Hauptdiagonale) G xy Leitwert zwischen Knoten x und Knoten y (Koppelleitwert, es ist G xy = G yx ) 4. Kontrolle des Schemas: Die Koeffizienten des echenschemas müssen symmetrisch zur Hauptdiagonalen sein. 5. Lösung des linearen Gleichungssystems, z. B. mithilfe der Cramerschen egel Cramersche egel zur Lösung linearer Gleichungssysteme Mithilfe der Cramerschen egel lassen sich Gleichungssysteme mit n linearen Gleichungen und n Veränderlichen lösen. a a 1n a n1... a nn [A] [x] = [y] x 1... = y 1... x n y n x i = det(a i) det(a), wobei det(a) die Koeffizientendeterminante der Koeffizientenmatrix [A] und det(a i ) die Determinante der Matrix [A i ] darstellen. Die Determinante der Matrix [A i ] ergibt sich, wenn die i-te Spalte der Matrix [A] durch die rechte Seite des Gleichungssystems ersetzt wird. Zum Beispiel für eine dreireihige Koeffizientenmatrix und den Unbekannten x 1, x 2 und x 3 ergibt sich für die Unbekannte x 2 : x 2 = det(a 2) det(a) a 11 y 1 a 13 A 2 = a 21 y 2 a 23 A = a 31 y 3 a 33 a 11 a 12 a 13 det(a) = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 (a 22 a 33 a 23 a 32 ) a 12 (a 21 a 33 a 23 a 31 )+a 13 (a 21 a 32 a 22 a 31 )

20 18 1 Elektrische Gleichstromnetzwerke det(a 2 ) = a 11 y 1 a 13 a 21 y 2 a 23 a 31 y 3 a 33 = a 11 (y 2 a 33 a 23 y 3 ) y 1 (a 21 a 33 a 23 a 31 ) + a 13 (a 21 y 3 y 2 a 31 ) Maschenstromverfahren Aufgabe 1.1 Das folgende lineare Netzwerk ist gegeben: 2 I U U U U 06 I c x U 02 4 I b I a 5 Bild Lineares Netzwerk a) Formen Sie die Stromquelle I 01 in die äquivalente Spannungsquelle U 01 um und fassen Sie Widerstände zusammen, um das Netzwerk zu vereinfachen. b) Stellen Sie mithilfe des Maschenstromverfahrens das Gleichungssystem für die unabhängigen Ströme I a, I b und I c auf (Matrixform). c) Der Widerstand x besteht aus einem Heizdraht. Dieser hat einen Durchmesser von d = 0,5 mm, eine Länge von l = 50 cm und besteht aus Konstantan mit einem spezifischen Widerstand von 9 = 0, U m. Bestimmen Sie die Leistung an dem Heizdraht, wenn der Strom I a = 500 ma beträgt. Gegeben ist die Lösungsmatrix eines anderen Netzwerkes I d 10 V 0 6 I e = 15 V 2 7 I f 20 V Lösungsmatrix eines Netzwerks d) Bestimmen Sie den Strom I d aus der oben genannten Matrix. Der Lösungsweg soll hierbei erkennbar sein. Geben Sie auch den Zahlenwert für = 100 U an. Lösung zu Aufgabe 1.1 Hinweis: Lineare Netzwerke bestehen ausschließlich aus linearen Elementen. Ein lineares Element zeichnet sich dadurch aus, dass der Strom der Spannung in linearer Weise folgt. I = k U, wobei k ein Proportionalitätsfaktor ist.

21 Lösung zu Aufgabe a) Erstellung der äquivalenten Spannungsquelle: 3 ist parallel zur Stromquelle I 01, daher kann die äquivalente Spannungsquelle als U 01 = 3 I 01 geschrieben werden. Vereinfachung des Netzwerkes: Die Parallelschaltung aus den beiden Widerständen 2 wird zu 2 2 = vereinfacht. Die eihenschaltung aus und wird zu 2 vereinfacht. U = 3I I 01 3 U 05 U 03 U 04 I c U 06 5 x 4 U 02 I b I a 2 Bild Vereinfachung des Netzwerks b) I a I b I c Quellen Masche I 5 + x 4 0 U 02 + U 03 U 04 Masche II U 05 U 04 Masche III U 06 U 05 U 01 Die angegebene Matrix ist eine von mehreren möglichen Lösungen. Die ichtung der Maschenumläufe kann beliebig gewählt werden. c) Berechnung des Widerstandes des Drahtes: x = 9 Berechnung der Leistung: P x = Ia 2 x = 0,32 W l p r 2 = 1,27 U d) det(a) = ( ) U 3 = U 3 det ( A d ) = ( ) V U 2 = V U 2 I d = det ( ) A d = 0,0202 A det(a)

22 20 1 Elektrische Gleichstromnetzwerke Aufgabe 1.2 Das folgende lineare Netzwerk ist gegeben: U 02 I 01 I a x I b U 03 I c Bild Lineares Netzwerk a) Formen Sie die Stromquelle I 01 in die äquivalente Spannungsquelle U 01 um und vereinfachen Sie das Netzwerk. b) Stellen Sie mithilfe des Maschenstromverfahrens das Gleichungssystem für die unabhängigen Ströme I a, I b und I c auf (Matrixform). Es seien nachfolgende Werte gegeben: = 100 U, x = 100 U, I 01 = 50 ma, U 02 = 10 V, U 03 = 5 V c) Bestimmen Sie den Strom I a zunächst algebraisch. Geben Sie danach ebenfalls seinen Zahlenwert an. Die Größe des Widerstands x sei temperaturabhängig. Sein Temperaturkoeffizient a betrage bei 20 C a 20 = 3, K 1. Somit ist sein Widerstand bei 20 C x,20 = 100 U. d) Der Widerstand x erwärmt sich von aumtemperatur (20 C) auf 200 C. Geben Sie nun den neuen Strom I a (T = 200 C) an. Lösung zu Aufgabe 1.2 a) Vereinfachung des Netzwerkes: Umformen von I 01 in U 01, Zusammenfassen der Widerstände zu 3. I 01 I a x U 02 U I 01 = 01 3 I b U 03 3 I c Bild Vereinfachung des Netzwerks

23 Aufgabe b) I a I b I c Quellen Masche a x + + U 02 Masche b U 01 Masche c U 03 c) det(a) = 16 2 x det (A a ) = 2 (4U 01 16U U 03 ) I a = det (A a) det(a) I a = 30 ma = 4U 01 16U U x + 24 d) Es wird davon ausgegangen, dass sich der Widerstandswert linear mit der Temperatur ändert. x ( T = 200 C ) = x,20 + a 20 (T 20 C ) x ( T = 200 C ) = x,20 (1 + a 20 (T 20 C )) = 169,3 U I a wird analog Aufgabenteil c) berechnet: I a ( T = 200 C ) = 23 ma Aufgabe 1.3 Das folgende lineare Netzwerk ist gegeben: 3 I 3 I 1 U q2 I q1 4 2 U 4 U q3 2 I 2 I 4 Bild Lineares Netzwerk a) Formen Sie die Stromquelle I q1 in eine äquivalente Spannungsquelle U q1 um. b) Die eingezeichneten Ströme I 1, I 2 und I 3 sind unabhängig. Geben Sie für diesen Fall den vollständigen Baum für das umgeformte Netzwerk an. c) Stellen Sie mithilfe des Maschenstromverfahrens ein lineares Gleichungssystem für diese unabhängigen Ströme auf (Matrixform). Es seien nachfolgende Werte gegeben: = 100 U, I q1 = 100 ma, U q2 = 10 V, U q3 = 30 V d) Berechnen Sie die Ströme I 1 und I 2. e) Berechnen Sie die Spannung U 4.

24 22 1 Elektrische Gleichstromnetzwerke Lösung zu Aufgabe 1.3 a) U q2 3 I 3 I U 4 U q3 U q1 2 I 2 Bild Umwandlung der Stromquelle in eine äquivalente Spannungsquelle b) Der vollständige Baum verbindet alle Knoten eines Netzwerkes, ohne dass eine geschlossene Masche gebildet wird. Er besteht aus (k 1) Baumzweigen, wobei k die Anzahl der Knoten ist. Bild Vollständiger Baum c) I 1 I 2 = I 3 + U q3 U q2 U q3 U q1 d) I 1 = 11,36 ma I 2 = 32,95 ma e) I 4 = I 2 I 1 = 44,28 ma U 4 = I 4 4 = 17,712 V Aufgabe I a 4 U 02 I 01 U 2 2 I b I 03 Bild Lineares Netzwerk = 10 U, I 01 = 100 ma, U 02 = 5 V, I 03 = 50 ma a) Wandeln Sie alle in der gegebenen Schaltung enthaltenen Stromquellen in äquivalente Spannungsquellen um.

25 Lösung zu Aufgabe b) Stellen Sie einen vollständigen Baum auf, in dem die angegebenen Ströme I a, I b und I 03 die unabhängigen Ströme darstellen. c) Stellen Sie das lineare Gleichungssystem auf, stellen Sie mithilfe des Maschenstromverfahrens eine Gleichung für den Strom I b auf und berechnen Sie den Zahlenwert. d) Berechnen Sie den Zahlenwert der angegebenen Spannung U. Lösung zu Aufgabe 1.4 a) 2 I a 4 U 01 2 U 02 U 2 I b U 03 Bild Umwandlung der Stromquelle in eine äquivalente Spannungsquelle U 01 = I 01 2 Bei Stromquellen ohne parallelen Widerstand (in dieser Aufgabe I 03 ) wird von einem virtuellen parallelen Widerstand ausgegangen. Der Widerstandswert dieses Widerstandes strebt gegen. U 03 = I 03 mit b) Bild Vollständiger Baum c) I M1 U 01 U 02 I M2 = I M3 U 01 U 02 U 03 Bei der Berechnung muss der in Aufgabenteil a) eingesetzte virtuelle Widerstand berücksichtigt werden. I b = lim I det D M2 = lim 2 det D det(d) =

26 24 1 Elektrische Gleichstromnetzwerke = ( = ) ) 2 ( = = U 01 U 02 0 det(d 2 ) = 2 U 01 0 U 02 U = ( U 01 U 02 ) ( U 01) ( U 02 U 03 ) ) ) = (U 01 + U 02 ) ( U 01 ( (U 02 + U 03 ) ( 8 2 ) = U U 01 6 U U 02 2 U det(d 2 ) det(d) = U U 01 6 U U 02 2 U = = det(d lim 2 ) det(d) = U U 01 6 U U 02 2 U U U 01 6 U U 02 2 U U U 01 6 U U 02 2 U = U U 02 2 I I b = U U 02 2 I 03 8 = 44 = 13,64 ma U = I 03 = 50 ma 10 U = 0,5 V 12 V + 5 V 50 ma 8 10 U U

27 Aufgabe Aufgabe I 1 2 I 01 U I 3 I 2 I 03 8 Bild Lineares Netzwerk a) Ersetzen Sie in der Schaltung die Stromquellen I 1, I 3 durch äquivalente Spannungsquellen U 1 und U 3 und vereinfachen Sie die Schaltung. b) Geben Sie für die vereinfachte Schaltung den vollständigen Baum an, für den die eingezeichneten Ströme I 1, I 2, I 3 unabhängig sind. c) Stellen Sie mithilfe des Maschenstromverfahrens ein lineares Gleichungssystem für die unabhängigen Ströme auf. d) Berechnen Sie aus dem linearen Gleichungssystem den eingezeichneten Strom I 2. e) Welche Leistung P wird von dem Widerstand 4 in Wärme umgesetzt, wenn = 10 U, I 01 = 1 A, U 02 = 20 V und I 03 = 0,5 A sind? Lösung zu Aufgabe 1.5 a) Quellenumwandlung und Vereinfachen der Schaltung: Parallel zu I 1 wird ein virtueller Widerstand 1 eingesetzt. Die beiden, parallelen Widerstände 8 werden zu einem mit 4 zusammengefasst U I 01 = U 02 5 U03 = 4 I03 4 Bild Umwandlung der Stromquellen in äquivalente Spannungsquellen

28 26 1 Elektrische Gleichstromnetzwerke Bild Vollständiger Baum b) Vollständiger Baum: c) Aufstellen des Gleichungssystems: I M1 U I M2 = U I M3 U 03 d) Berechnen von I 2 : I 2 = I M2 I 2 = det det U U 02 5 U = det ( 2) det () det ( 2 ) = 70 2 U U U U U U U U 01 = 25 2 U U U (10 U 02 U 03 ) det () = = I 2 = 252 U U U (10 U 02 U 03 ) = 25 2 U U U (10 U 02 U 03 ) = 25 2 U U I (10 U 02 U 03 ) lim I 2 = 25 I 01 + (10U 02 4 I 03 ) 69 I 2 = 0,62 A e) Leistungsberechnung: P = U I U = I P = I 2 P = 4 I 2 2 = 4 10 U (0,62 A)2 = 15,5 W

29 Aufgabe Aufgabe 1.6 Gegeben sei folgendes lineares Netzwerk: I 02 I U 01 I 03 I 3 I 1 3 e) Bild Lineares Netzwerk a) Ersetzen Sie in der Schaltung die Stromquellen I 2, I 3 durch äquivalente Spannungsquellen U 2, U 3 und vereinfachen Sie die Schaltung. b) Geben Sie für die vereinfachte Schaltung den vollständigen Baum an, für den die eingezeichneten Ströme I 1, I 2, I 3 unabhängig sind. c) Stellen Sie mithilfe des Maschenstromverfahrens ein lineares Gleichungssystem für die unabhängigen Ströme auf. d) Berechnen Sie aus dem linearen Gleichungssystem den eingezeichneten Strom I 1. e) Welche Leistung P wird von dem Widerstand 3 im rechten unteren Zweig in Wärme umgesetzt, wenn = 10 U, U 01 = 10 V, I 2 = 2 A, I 3 = 0,1 A sind? Hinweis: Falls Sie den Aufgabenteil a) bis d) nicht lösen können, rechnen Sie für den Aufgabenteil e) mit folgender Gleichung weiter: I 1 = 54U I 2 22I Lösung zu Aufgabe 1.6 a) Quellenumwandlung und Vereinfachen der Schaltung: U I 02 = I 2 4 U I 03 = 03 U I 3 I 1 ( 2 2) + 3 Bild Umwandlung der Stromquellen in äquivalente Spannungsquellen und Vereinfachung der Schaltung in Bild 1.6.1

30 28 1 Elektrische Gleichstromnetzwerke b) Vollständiger Baum: I 2 I 3 I 1 Bild Vollständiger Baum c) Aufstellen des linearen Gleichungssystems: 8 4 I M1 U I M2 = U 02 4 I M3 U 03 d) Berechnen von I 1 : I M1 = det(a 1) det(a), I 1 = I M1 U 01 4 det(a 1 ) = det U 02 7 U 03 4 ( = U ) U 02 ( ) + ( ) = U U U det(a) = det ( = ) ( ) + ( ) = I M1 = U U U = U U U I 1 = I M1 e) Leistungsberechnung: P = U I, U = 3 I 1, I = I 1 P = 3 I 2 1 = 3 I 2 M1 I 1 = 27U I 02 11I = V A 10 U 11 0,1 A 10 U U = 59 V U = 0,043 A P = 3 10 U (0,02 A) 2 = 0,056 W = 27U U 02 11U = 270 V V 11 V 1370 U