56. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Olympiadeklasse 8 Lösungen

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1 56. Mthemtik-Olympide. Stufe (Regionlrunde) Olympideklsse 8 Lösungen c 016 Aufgbenusschuss des Mthemtik-Olympiden e.v. Alle Rechte vorbehlten Lösung 10 Punkte Nehmen wir zunächst n, dss die Autos in entgegengesetzten Richtungen fhren. Sie fhren zum Zeitpunkt 0 neinnder vorbei. Es sei x die Mßzhl des in Metern gemessenen Weges, die ds rote Auto zurücklegt, bis die Autos erstmls wieder neinnder vorbeifhren. Nch Aufgbenstellung werden hierfür 10 Sekunden benötigt. In dieser Zeit legt ds blue Auto 1 x Meter zurück, d die hn 1 Meter lng ist. In 50 Sekunden legt dher ds rote Auto 5 x Meter, ds blue Auto (5 (1 x) =) 60 5 x Meter zurück. ndererseits bei gleicher Fhrtrichtung ds blue Auto ds rote nch 50 Sekunden überholt, fährt ds blue Auto in 50 Sekunden 1 Meter mehr ls ds rote, d die hn 1 Meter lng ist und ds blue Auto beim ersten Überholen genu eine Runde mehr ls ds rote Auto gefhren ist. Wir erhlten demnch die Gleichung 60 5 x = 5 x+1. Auflösen nch x ergibt 10 x = 48, x = 4,8 und schließlich 1 x = 7,. Folglich gilt: s rote Auto fährt in 10 Sekunden 4,8 Meter, ds blue 7, Meter. s rote Auto ht eine Geschwindigkeit von 0,48 Metern pro Sekunde, ds blue eine von 0,7 Metern pro Sekunde. Lösungsvrinte: Wir bezeichnen mit v b die Geschwindigkeit des bluen Autos und mit v r die Geschwindigkeit des roten Autos. Wir betrchten zuerst die Sitution, dss die beiden Autos gerde nebeneinnder sind, ber in entgegengesetzten Richtungen fhren. nn sind v b 10 s und v r 10 s die von den beiden Autos in den 10 Sekunden bis zur ersten Wiederbegegnung zurückgelegten Wege. die hn 1 Meter lng ist, muss v b 10 s+v r 10 s = 1 m gelten. Hierus folgt v b +v r = 1, m/s. (1) Wir betrchten nun die Sitution, dss die beiden Autos gerde nebeneinnder sind, ber in gleicher Richtung fhren. nn muss ds blue Auto genu eine Runde mehr ls ds rote Auto bis zur ersten Wiederbegegnung fhren. die hn 1 Meter lng ist, ds blue Auto hierfür 50 Sekunden brucht und seine Überholgeschwindigkeit v b v r ist, gilt v b v r = 1 m = 0,4 m/s. () 50 s Aus (1) und () folgt durch Addition v b = 1, m/s + 0,4 m/s = 1,44 m/s und dher v b = 0,7 m/s. Hierus und us (1) folgt v r = 0,48 m/s. Folglich gilt: s rote Auto ht eine Geschwindigkeit von 0,48 Metern pro Sekunde, ds blue Auto eine Geschwindigkeit von 0,7 Metern pro Sekunde. 1

2 5608 Lösung 10 Punkte Teil ) Wir geben den Stühlen reihum die Nummern 1,, 3, 4, 5 und 6. lle sechs Personen n dem Tisch Pltz nehmen, muss Fru Weber einen der sechs Stühle wählen. Sitzordnungen, die durch rehung useinnder hervorgehen, ls gleich betrchtet werden, können wir dvon usgehen, dss Fru Weber uf dem Stuhl mit der Nummer 1 sitzt. Herr Weber knn nun links oder rechts von ihr sitzen. Sitzordnungen, die durch Spiegelung useinnder hervorgehen, ls gleich betrchtet werden, können wir dvon usgehen, dss Herr Weber uf dem Stuhl mit der Nummer sitzt. Weitere rehungen oder Spiegelungen müssen nicht betrchtet werden, d sie die Position von Fru Weber oder Herrn Weber ändern würden. s Ehepr Schulz knn nun nur entweder uf den Stühlen mit den Nummern 3 und 4 oder uf den Stühlen mit den Nummern 5 und 6 sitzen. für gibt es genu Möglichkeiten zur Auswhl. s Ehepr Schulz knn nun noch entscheiden, ob die Ehefru links oder rechts neben dem Ehemnn sitzt, ws wieder genu Möglichkeiten ergibt. s Ehepr Meier sitzt uf den von den nderen beiden Ehepren nicht genutzten Plätzen, wobei uch sie nur noch entscheiden müssen, ob die Ehefru links oder rechts neben dem Ehemnn sitzt, ws wieder genu Möglichkeiten ergibt. Insgesmt gibt es lso genu ( =) 8 mögliche Sitzordnungen, wenn die Sitzordnungen, die durch rehen oder Spiegeln useinnder hervorgehen, ls gleich gelten. Teil b) lle sechs Personen n dem Tisch Pltz nehmen, muss Fru Weber einen der sechs Stühle wählen. Sie ht dfür genu 6 Möglichkeiten zur Auswhl. Herr Weber neben ihr sitzen soll, ht er genu Möglichkeiten zur Auswhl. Für Herrn und Fru Weber gibt es lso (6 =) 1 Möglichkeiten, Pltz zu nehmen. Hben Fru und Herr Weber sich für zwei bestimmte Stühle entschieden, dnn hben die Ehepre Schulz und Weber wie in Teil ) noch jeweils genu ( =) 8 Möglichkeiten der Pltzierung. Insgesmt gibt es lso genu (1 8 =) 96 mögliche Sitzordnungen, wenn uch die Sitzordnungen, die durch rehen oder Spiegeln useinnder hervorgehen, ls verschieden gelten Lösung 10 Punkte Teil ) ie igonle A teilt ds Viereck A in die beiden reiecke A und A, siehe Abbildung L eide reiecke hben die Grundseite A mit der Länge A = 1 cm gemeinsm. ie im reieck A zur Grundseite A zugehörende Höhe ist nch der Abbildung in der Aufgbenstellung 8 cm lng und die im reieck A zur Grundseite A gehörende Höhe ist nch der Abbildung in der Aufgbenstellung 3 cm lng. Hierus folgt für den Flächeninhlt A A des Vierecks A A A = A A + A A A = 1 1 cm 3 cm+ 1 1 cm 8 cm = 66 cm. er Flächeninhlt des Vierecks A ist 66 cm. L 56083

3 Teil b) Es seidie Länge der Seite. Nch Vorussetzung gilt dnn A =. die Seiten A und nch Aufgbenstellung ufeinnder senkrecht stehen und die Längen und hben, gilt A A = 1 A = 1 für den Flächeninhlt A A des reiecks A, lso A A =. (1) Es sei E der Mittelpunkt der Strecke A, siehe Abbildung L56083 b. ds reieck A L b A nch Aufgbenstellung gleichschenkligrechtwinklig mit der sis A ist, gelten A = 90 und nch Innenwinkel- und siswinkelstz E = A = 45. Weiter ist dher die Strecke E die Höhe zur Seite A des reiecks A, weswegen E = 90 und nch dem Innenwinkelstz E = 45 folgen. Nch der Umkehrung des siswinkelstzes und wegen E = E = 45 folgt E = E = 1 A = 1 =. Für den Flächeninhlt A A des reiecks A folgt hierus A A = 1 A E = 1 =. () Aus (1) und () folgt A A = A A. eshlb ht Rolf Recht und Timo und Sven hben nicht Recht. Lösungsvrinte zu Teil b) Nch der Aufgbenstellung gelten: (1) A = 90. () A =. (3) A = 90, A =. Es sei M der Mittelpunkt der Strecke A. Es sei die Länge der Seite. Wegen () gelten dnn A = und M =. (4) Es sei E der ildpunkt des Punktes bei L c Spiegelung n der Gerden A, siehe Abbildung L c. Wegen dieser Spiegelung sind die reiecke A und AE kongruent zueinnder. Hierus folgt A A = A AE. Wegen der Kongruenz der reiecke A und AE und us (3) folgt, dss ds Viereck AE vier gleich lnge Seiten ht, lso ein Rhombus ist, und in den Eckpunkten und E rechte Innenwinkel ht. Folglich ist AE ein Qudrt, weswegen seine igonlen gleich lng sind, einnder hlbieren und ufeinnder senkrecht stehen. Wegen (1), () und (4) folgen hierus A EM = M = = (6) 45 M E 45 E (5) 3

4 und EM = M = 90. (7) her hben die reiecke A und AE die gleiche Grundlinie und gleich lnge Höhen und EM. Hierus folgt A A = A AE. (8) Aus (5) und (8) folgt A A = A A. Folglich ht Rolf Recht und Timo und Sven hben nicht Recht Lösung 10 Punkte I. Es seien und b positive gnze Zhlen mit 5 +6 b+56 = b. (1) Aus der Gleichung (1) folgt = b ( 6). Hierus folgt 5 ( 6) = b ( 6) und dher 5 ( 6)+86 = b ( 6). () eine positive Zhl ist, ist die linke Seite der Gleichung () größer ls 5 ( 6)+86 = 56. b uch positiv ist, muss dher > 6 gelten. und b gnze Zhlen sind, ist die rechte Seite der Gleichung () durch 6 teilbr. uch 5 ( 6) durch 6 teilbr ist, muss uch 86 durch 6 teilbr sein. Folglich knn 6 nur ein positiver Teiler von 86 sein. 86 die Primfktorenzerlegung 86 = 43 besitzt, muss dher 6 {1,,43,86}, lso {7,8,49,9}, gelten. urch Einsetzen dieser Werte für in die Gleichung () und Auflösen nch b folgt: Wenn ein Pr (,b) positiver gnzer Zhlen der Gleichung (1) genügt, dnn knn es nur eines der Pre sein. (7,91), (8,48), (49,7), (9,6) (3) II. Offenbr sind die in (3) gennnten Zhlenpre Pre gnzer positiver Zhlen. Wie mn durch Einsetzen leicht sieht, genügen sie uch lle der Gleichung (1). Aus I. und II. folgt, dss die in (3) gennnten Pre lle Pre (,b) positiver gnzer Zhlen sind, für die die Gleichung (1) gilt. Hinweis uf eine Lösungsvrinte: Aus der Gleichung (1) knn mn uch = b ( 6), d und b positiv sind, hierus 6 > 0 und b = = 5 ( 6+6)+56 6 = folgern. und b gnze Zhlen sind und 6 > 0 gilt, muss 6 einer der positiven Teiler 1,, 43 und 86 von 86 sein. 4

5 Punktverteilungsvorschläge ie nchstehenden Angben zur Punktverteilung sowohl für die gesmten Aufgben ls uch für die Teillösungen sind Empfehlungen für die Ausrichter des Wettbewerbs und sollen einer einheitlichen ewertung dienen. ies vereinfcht für die Schülerinnen und Schüler ein Nchvollziehen der ewertung und ermöglicht für die Orgnistoren Vergleiche zum Zweck der Entscheidung über die Teilnhme n der nächsten Runde. ei der Vielflt der Lösungsvrinten ist es nicht möglich, Vorgben für jede Vrinte zu mchen; ds Korrekturtem möge us den Vorschlägen bleiten, welche Vergbe dem in der Schülerlösung gewählten Anstz ngemessen ist. bei können uch Lösungsnsätze, die ngesichts der Aufgbenstellung sinnvoll erscheinen, ber noch nicht erkennen lssen, ob sie wirklich zu einer Lösung führen, einige Punkte erhlten. Abweichungen von den Vorschlägen müssen von den Ausrichtern des Wettbewerbs usreichend beknnt gemcht werden. Es wird ber empfohlen, zumindest den prozentulen Anteil der Punkte für Teillösungen beizubehlten. Aufgbe Insgesmt: 10 Punkte Terme für die zurückgelegten Wege beider Autos bei gleicher bzw. bei entgegengesetzter Richtung... 4 Punkte Aufstellen und Lösen einer entsprechenden Gleichung... 4 Punkte Angbe der Geschwindigkeit für jedes Auto... Punkte Aufgbe 5608 Insgesmt: 10 Punkte Teil ) Prinzipiell geeigneter Lösungsnstz... 1 Punkt egründete Herleitung... 4 Punkte Korrektes Ergebnis... 1 Punkt Teil b) egründete Herleitung... 3 Punkte Korrektes Ergebnis Punkt Aufgbe Insgesmt: 10 Punkte Teil ) Zeichnung mit Teilflächen... 1 Punkt erechnung des Flächeninhlts des Vierecks A... 3 Punkte Teil b) Zeichnung mit Teilflächen... 1 Punkt erechnung und Vergleich der Flächeninhlte... 5 Punkte Aufgbe Insgesmt: 10 Punkte I. Aufstellen der Einzelbedingungen für und b Punkte Korrekte Herleitung der Prbildungen... 3 Punkte II. Probe... Punkte Ergebnis... 1 Punkt 5