Allgemeine Relativitätstheorie

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1 Proseminar 22: Theoretische Physik und Astroteilchenphysik Allgemeine Relativitätstheorie Einführung in die Grundlagen Johannes Martin 21. November 2010 Hinweis: In diesem Dokument wird die Einstein'sche Summenkonvention benutzt: Über doppelt auftretende Indizes wird summiert, die Summen laufen dabei von 0 bis n 1, wobei n der Dimension des Raumes (i.d.r. 4) entspricht. 1 Spezielle Relativitätstheorie In diesem Abschnitt soll kurz das Wesentliche der Speziellen Relativitätstheorie wiedergegeben werden. In der Speziellen Relativitätstheorie wird postuliert, dass sich kein Teilchen schneller als mit Lichtgeschwindigkeit c bewegen kann, und dass diese Geschwindigkeit von allen Beobachtern in einem Inertialsystem gleich gemessen wird. Daraus resultieren die bekannten Eigenschaften, wie Zeitdilatation und Längenkontraktion. Ein Punkt (ct, x 1, x 2, x 3 ) in der vierdimensionalen Raumzeit bezeichnen wir als ein Ereignis. Ein Pfad oder eine Kurve, die ein Teilchen in der Raumzeit beschreibt, heiÿt Weltlinie. Da sich kein Teilchen schneller als mit c bewegen kann, können wir jedem Ereignis (oder auch jedem Punkt einer Weltlinie) einen Lichtkegel zuordnen, das ist ein Doppelkegel, dessen Oberäche durch die möglichen Weltlinien von sich mit c bewegenden Teilchen gegeben ist. Reale Teilchen können sich dann nur innerhalb dieses Kegels bewegen. Vektoren (mit Startpunkt am Ereignis) innerhalb eines solchen Kegels heiÿen zeitartig, solche auf der Kegeloberäche lichtartig (oder null), und solche auÿerhalb des Doppelkegels heiÿen raumartig, siehe Abb. 1. Können alle Punkte eines Weges oder einer Fläche mit zeitartigen Vektoren verbunden werden, so heiÿt Abbildung 1: Lichtkegel in der Raumzeit, hier mit je einer Raum- und Zeitkomponente. Die Weltlinie eines Teilchens kann sich nur innerhalb der Lichtkegel benden. der Weg bzw. die Fläche selbst zeitartig, und analog für die anderen Denitionen. Eine wichtige Gröÿe ist das Raumzeit-intervall s und davon abgeleitet die Eigenzeit τ, welches in der Allgemeinen Relativitätstheorie i.d.r. wie folgt geschrieben wird: 1

2 ( s) 2 = (c t) 2 + ( x) 2 + ( y) 2 + ( z) 2 (1) ( τ) 2 = ( s) 2 (2) Dies beschreibt eine Invariante, d.h. der Ausdruck bleibt auch nach Koordinatentransformation (bei denen die Postulate erfüllt sind) invariant. Die Eigenzeit ist anschaulich die Zeit, die ein Beobachter misst, der sich auf einem geraden Weg zwischen Ereignissen bewegt. Dies kann mithilfe einer 4x4-Matrix η, der sogenannten Minkowski-Metrik 1 wie folgt geschrieben werden: η := (3) ( s) 2 = η µν ( x µ )( x ν ) (4) ds 2 = η µν dx µ dx ν (5) Wobei wir bereits die Einstein'sche Summenkonvention benutzt haben. Für nichtgerade Pfade gilt dann: s = η µν dx µ (t) dt dx ν (t) dt (6) dt Alle möglichen Koordinatentransformationen (also solche, die das Raumzeitintervall invariant lassen) sind Lorentztransformationen Λ, für die gilt: η = Λ T ηλ (Vgl. mit der Bedingung an Drehmatrizen im R 3 : 1 = R T 1R). Wie zuvor denieren wir die Geschwindigkeit als: U µ = dxµ dτ Und aufgrund der Wahl von η gilt η µν U µ U ν = c 2. (7) 2 Einstein'sches Äquivalenzprinzip In der Newton'schen Mechanik gilt: F = m träge a, Fgrav = G m schwerm r 2 e r (8) Und man stellt fest, dass m träge m schwer. Dies ist überraschend: Schlieÿlich beschreiben m träge und m schwer zwei grundverschiedene Eigenschaften: Die eine gibt an, wie sehr sich ein Körper gegen Beschleunigung widersetzt (wie schwierig es ist, ihn in Bewegung zu versetzen), der andere bestimmt die Stärke einer bestimmten Kraft. Das diese proportional und damit äquivalent sind, ist nicht selbstverständlich. Das schwache Äquivalenzprinzip setzt nun diese beiden Massen gleich m träge = m schwer. Darus folgt nach Newton: a = φ (9) D.h. die träge Masse kürzt sich aus der Bewegungsgleichung heraus, und alle Körper bewegen sich auf den gleichen (bevorzugten) Kurven. Da nun die einer beschleunigten Bewegung zugeordnete Masse und die gravitative Wechselwirkung zugeordnete Masse gleich sind, kann man nun durch Bahnkurven von Massen nicht unterscheiden, ob man sich in einem Schwerefeld oder in einem gleichförmig beschleunigten Bezugssystem bendet. Das ist das schwache Äquivalenzprinzip. 2 1 Häug, besonders in der Speziellen Relativitätstheorie, wird eine andere Vorzeichenkonvention gewählt (alle Einträge mit 1 multipliziert). 2 Man beachte, dass dies mit anderen Kräften nicht möglich ist: In einem elektromagnetischem Feld würden sich unterschiedlich geladene Teilchen auf unterschiedlichen Bahnen bewegen, so dass man ein solches Feld von einer gleichförmigen Beschleunigung unterscheiden kann. 2

3 Einstein erweiterte dieses Prinzip zum Einstein'schen Äquivalenzprinzip: Aufgrund der Äquivalenz von Energie und Masse (E = mc 2 ) macht es Sinn, dies auf alle denkbaren Experimente zu erweitern: Es ist grundsätzlich unmöglich, durch lokale Experimente ein Schwerefeld zu messen (da es nicht von einer gleichförmigen Beschleunigung unterschieden werden kann). 3 Da sich alle Partikel unter Einuÿ der Gravitation gleich verhalten, macht es Sinn, dies mehr als im Hintergrund arbeitendes Phänomen, oder als Eigenschaft der Raumzeit selbst zu modellieren. Wir sprechen also nicht mehr von der Gravitation als Kraft, sondern als Krümmung des Raumes. Daher denieren wir nun unbeschleunigt als frei fallend. Insbesondere sind nun also auch Teilchen, die unter Einuss der Gravitation stehen unbeschleunigt. Inwiefern Raumkrümmung äquivalent ist zu einer wirkenden Kraft, kann man sich veranschaulichen, indem wir Teilchen auf dem Äquator einer Kugel betrachten, die sich beide nach Norden bewegen, d.h. parallel zueinander. Diese Teilchen werden sich am Nordpol treen. Beobachter auf der Kugeloberäche, die die Krümmung der Kugel nicht sehen können, müssen daher eine Kraft postulieren, um zu verstehen, warum sich die Teilchen treen (siehe Abb. 2) Eine direkte Folgerung daraus ist, dass wir nicht mehr wie bisher durch orthogonale, den Raum durch- Abbildung 2: Äquivalenz der Beschreibung von Gravitationskraft und Krümmung. Teilchen, die sich am Äquator in gleiche Richtung bewegen können sich treen (links). Ein Beobachter, der die Krümmung der Kugel nicht wahrnimmt, sieht nur, wie sich diese Teilchen aufeinanderbewegen, und muss daher eine attraktive Kraft postulieren (rechts). Abbildung 3: Scheitern eines globalen Inertialsystems. Für das frei fallende Koordinatensystems scheint der ebenfalls frei fallende Massepunkt m beschleunigt zu werden. Bild nach Sean Carroll: Spacetime and Geometry kreuzende Stäbe ein Inertialsystem konstruieren können. Denn setzen wir dieses an einen frei fallenden Punkt im Raum, so wird in einer gewissen Entfernung davon ein ebenfalls frei fallender Massepunkt scheinbar relativ zu unserem Inertialsystem beschleunigt (siehe Abb. 3). Solche für die Rechnung angenehmen Inertialsysteme können also nur in einer (innitesimal kleinen) Umgebung eines Punktes p existieren, und wir nennen ein solches System ein Lokales Inertialsystem. Solche sind sehr praktisch und erleichtern viele Rechnungen. 4 Da die Gravitation nun also einfach unsere Wahrnehmung der gekrümmten Raumzeit ist, gilt es nun, die Krümmung selbst zu beschreiben. Dies geschieht mithilfe von dierenzierbaren Mannigfaltigkeiten, wie die Massen (und, wie wir sehen werden, Energien) den Raum krümmen, gibt die Einsteingleichung an. 3 Tatsächlich dierenziert man diese Formulierung noch: So bezieht sich das Einstein'sche Äquivalenzprinzip selbst nur auf nichtgravitative Gesetze, wohingegen das sogenannte Starke Äquivalenzprinzip auf alle physikalischen Gesetze ausgedehnt ist 4 Bereits aus diesem Äquivalenzprinzip kann man physikalische Eekte ableiten, etwa die gravitative Rotverschiebung. Siehe z.b. Ausarbeitung von Tim Plath, oder Sean Carrol: Spacetime and Geometry, S

4 3 Mannigfaltigkeiten Haftungsausschluss: Die hier gegebene Einführung in Mannigfaltigkeiten geschieht nicht in der in der Mathematik gestellten Sorgfalt. Der Abschnitt soll keine mathematisch umfassende Beschreibung dieses Themas sein, sondern lediglich den verwendeten Formalismus plausibel erscheinen lassen. Mannigfaltigkeiten sind das Mittel der Wahl, um unsere gekrümmte Raumzeit zu beschreiben. Die Denition einer Mannigfaltigkeit ist auf den ersten Blick wenig hilfreich: Eine C p -Mannigfaltigkeit ist eine Menge M mit einem maximalen C p -Atlas. Anschaulich gesprochen sind n-dimensionale Mannigfaltigkeiten 5 einfach Mengen, die lokal (d.h. in einer innitesimalen Umgebung um jeden Punkt) aussehen, wie der R n. Also ist oenbar der R n selbst eine Mannigfaltigkeit, da natürlich jede Umgebung dort aussieht wie der R n (damit meinen wir: Sich ähnlich verhält im Bezug auf Dierentiation usw., eine genauere Beschreibung verwendet den Begri eines Dieomorphismus, wir verweisen hier auf entsprechende Lehrbücher der Mathematik). Ein weiteres Beispiel ist der Torus T 2 : Wir erhalten diesen, indem wir ein Gebiet im R 2 nehmen und gegenüberliegende Seiten miteinander identizieren (Abb. 4): Wie beschreibt man nun die informelle Anschauung, dass die Mannigfaltigkeit lokal aussieht wie der Abbildung 4: Konstruktion des Torus aus einem Gebiet im R 2. Durch Identizieren gegenüberliegender Seiten (zweimaligem Aufrollen) entsteht ein Torus, so dass dieser oenbar dieomorph zu R 2 ist. Bild nach Sean Carrol: Spacetime and Geometry, S. 55. R n? Dazu suchen wir bijektive 6 Abbildungen von der Mannigfaltigkeit in den R n, d.h. für Teilmengen U M suchen wir φ : U φ(u) R n, wobei der Wertebereich φ(u) oen sein muss. Wir nennen dann (U, φ) eine Karte (auch: Koordinatensystem). Letzterer Begri wird klar, wenn wir uns die Umkehrabbildung φ 1 : R n M betrachten: Durch n Koordinaten ist ein eindeutiger Punkt auf der Mannigfaltigkeit gegeben. Ein Atlas ist dann nur eine Kollektion (Sammlung) solcher Karten, so dass die Denitionsmengen aller Karten die Mannigfaltigkeit überdecken, und dass die Karten glatt zusammengenäht sind. Anschaulich gesprochen geht es dabei nur darum, dass der Übergang von einer Karten zur nächsten (dort, wo sie überlappen) sinnvoll deniert ist. 7 Ein maximaler Atlas ist dann nur ein Atlas, der alle möglichen Karten (die diese Bedingungen erfüllen) enthält. Neben den Torus ist noch die S 2 -Oberäche ein bekanntes Beispiel. Für diese wird als Karte oft die stereographische Projektion verwendet: Stellen wir uns vor, dass die Kugel auf dem R 2 steht (also sozusagen die durch z = 0 (oder z = 1) gegebene Ebene). Dann können wir vom Nordpol der Kugel aus eine Gerade durch einen Punkt auf der Kugel legen, und der Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene deniert dann zwei eindeutige Punkte x, y. Damit haben wir eine Karte φ : S 2 \{Nordpol} R 2 gefunden. Analog geht dies natürlich auch für alle anderen Punkte. Damit haben wir dann gezeigt, dass S 2 tatsächlich eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit ist. 3.1 Vektoren und Tensoren auf Mannigfaltigkeiten Bevor wir nun weiter in die mathematische Beschreibung der Allgemeinen Relativitätstheorie vordringen können, müssen wir zunächst die Begrie Vektor und Tensor auf Mannigfaltigkeiten klären. Dabei 5 Wir beziehen uns hier ausdrücklich nur auf die von uns verwendeten Mannigfaltigkeiten, und nicht auf die abstrakteren, die bspw. durch bestimmte Operationen gegeben sind. 6 Es genügt, injektive Abbildungen zu betrachten, da bei geeigneter Wahl des Wertebereichs φ : U φ(u) die Abbildung automatisch surjektiv ist. 7 Die Denition von glatt zusammengenäht ist etwas unhandlich, aber nicht schwierig. Betrachten wir zwei Karten φ 1, φ 2 mit U 1 U 2. Deniere zunächst ψ := φ 2 φ 1 1 : φ 1 (U 1 U 2 ) φ 2 (U 1 U 2 ). Dann sind diese Karten glatt zusammengenäht, falls die Abbildung ψ C p -glatt ist und der Wertebereich oen ist. Für eine genauere Erläuterung verweisen wir auf Sean Carroll: Spacetime and Geometry, S. 59f. oder eine Zusammenfassung auf 4

5 Abbildung 5: Stereographische Projektion der S 2 -Sphäre. Eine Gerade durch den Nordpol und den betrachteten Punkt schneidet die z = const-ebene bei einem bestimmten Wertepaar x, y. Abbildung aus der engl. Wikipedia. werden sich einige Unterschiede zur bekannten Denition herausstellen. Abbildung 6: Tangentialraum an einem Punkt x bei Einbettung in einen höherdimensionalen Raum. Da wir die Raumzeit nicht in einen höherdimensionalem Raum einbetten wollen, kann eine solche Anschauung nicht beibehalten werden. Bild aus der Wikipedia: Jedem Punkt p der Mannigfaltigkeit ordnen wir ihren Tangentialraum T p zu. Dieser enthält in der klassischen Anschauung all diejenigen Vektoren, die als Tangentialvektoren an Kurven durch die Stelle p darstellbar sind (siehe Abb. 6). Jedoch basiert diese Darstellung auf einer Einbettung der Mannigfaltigkeit in einen höherdimensionalen Raum (insbesondere sind all diese Vektoren noch Linearkombination dieser Basisvektoren). Da wir einen solchen nicht zur Verfügung haben, müssen wir auf einen Trick zurückgreifen. Dabei erinnern wir uns, dass die Tangentialvektoren durch Ableiten entstehen. Es liegt daher nahe, die Vektoren selbst als Linearkombination von Richtungsableitungen darzustellen. Sie sind dann Operatoren auf Funktionen, die auf der Mannigfaltigkeit deniert sind. Wir können dann, mit der Vereinbarung / x µ µ schreiben: V = }{{} V µ µ (10) µ tekomponente Womit wir bereits µ als Basiselement gewählt haben. Bei einem Wechsel des Koordinatensystems transformierten Basisvektoren und Vektoren wie folgt: µ = xµ µ V µ = xµ x µ x µ V µ (11) Betrachten wir nun den Dualraum T p zu T p, das ist der Raum der linearen Abbildungen ω mit ω : T p R. Diese sind gegeben durch die Gradienten df skalarer Funktionen f. Angewandt auf einen Vektor V erhalten wir die Richtungsableitung von f in der Richtung von V : dfv = df(v µ µ ) = µ V µ f(φ 1 (x 1, x 2,, x n )) x µ (12) 5

6 Als Basis wählen wir die Gradienten der Koordinatenfunktionen dx µ. Daraus folgt dann das Transformationsverhalten: dx µ = xµ x µ dxµ ω µ = xµ ω µ (13) x µ Umgekehrt ist es natürlich möglich, Vektoren V als lineare Abbildung einer 1-Form ω nach R aufzufassen, mit genau der selben Wirkung wie in (12). Tensoren sind multilineare Abbildungen, die mehrere 1-Formen und Vektoren in die reellen Zahlen abbilden. Genauer gesagt ist ein (k, l)-tensor eine Abbildung T : Tp Tp T p T p R }{{}}{{} k Mal l Mal die linear in jedem ihrer Argumente ist. Beispielsweise sind 1-Formen also (0, 1)-Tensoren (denn sie bilden 1 Vektor auf R ab). Wie oben beschrieben kann man aber genausogut Vektoren als lineare Abbildungen von 1-Formen nach R auassen, daher sind Vektoren (1, 0)-Formen. Die Hintereinanderausführung von Tensoren gelingt mit dem Tensorprodukt. So ist das Tensorprodukt des (k 1, l 1 )-Tensors T mit dem (k 2, l 2 )-Tensor S ein (k 1 + k 2, l 1 + l 2 )-Tensor gegeben durch: T S(df 1,, df k1, V 1,, V l1, df k1+1,, df k1+k 2, V l1+1,, V l1+l 2 ) = T (df 1,, df k1, V 1,, V l1 ) S(df k1+1,, df k1+k 2, V l1+1,, V l1+l 2 ) Damit können wir nun eine Basis für den Vektorraum der (k, l)-tensoren konstruieren, da ja Vektoren (1, 0)-Tensoren und 1-Formen (0, 1)-Tensoren bilden. Basiselemente sind dann gegeben durch: µ1 µk dx µ1 dx µ l Für jeden Faktor gibt es in n Dimensionen genau n Möglichkeiten. In der vierdimensionalen Raumzeit ist der (k, l)-tensorraum daher 4 k+l -dimensional. Da Tensoren linear in jedem Argument sind, sind Tensoren eindeutig durch ihr Wirken auf die Basisvektoren bestimmt. Wir schreiben dann für die zugehörige Komponente T µ1 µ k ν1 ν l = T (dx µ1,, dx µ k, ν1,, νl ) (14) Nicht von der unterschiedlichen Reihenfolge irritieren lassen: Als Argument kommen zunächst 1-Formen, aber als Basiselemente zunächst Vektoren (die als Tensor aufgefasst ja 1-Formen abbilden). Bei Tensoren ist die Reihenfolge der Indizes wichtig. Ein oberer Index deutet darauf hin, dass an die zugehörige Stelle in den Argumenten eine 1-Form gehört, ein unterer Index auf einen Vektor. Daher kommt es auf die Reihenfolge an. Die Indizes müssen auch nicht sortiert sein, bspw. ist: T µ1 ν 1 µ 2 = T (dx µ1, ν1, dx µ2 ) Tensoren besitzen ein besonderes Transformationsverhalten, welches aus ihrer Linearität folgt. Für jeden oberen Index erhalten wir einen Ausdruck x µ i / x µ i, für jeden unteren ein x νi / x ν i : T µ 1 µ k ν 1 ν l = xµ 1 x µ1 xµ k x µ xν1 xν l T µ1 µ k ν1 ν k x ν 1 x ν l (15) 1 Häug werden Tensoren sogar als Ansammlung von Zahlen mit diesem Transformationsverhalten deniert. 3.2 Metrik Die Metrik g µν ist ein spezieller, symmetrischer (0, 2)-Tensor (d.h. g µν = g νµ ). Sie dient dazu, Längen und Skalarprodukt auf unseren gekrümmten Räumen zu denieren, wie wir bereits in der achen Raumzeit gesehen haben, in der die Minkowski-Metrik (3) verwendet wird. Zunächst denieren wir die inverse Metrik, die wir mit hochgestellten Indizes erhalten: g µσ g σν = δ µ ν (16) D.h. wenn g µν als Matrix geschrieben wird, ist g µν das Inverse dieser Matrix. Mit der Metrik wird das Raumzeitintervall zu: ds 2 = g µν dx µ dx ν (17) 6

7 Mithilfe der Metrik können Indizes von Tensoren erhöht oder erniedrigt werden: g µh λt µ1 µ k ν1 ν l = T µ1 µ h 1 λ µ h+1 µ k ν1 ν l (18) g ν hλ T µ1 µ k ν1 ν l = T µ1 µ k ν1 ν h 1 λν h+1 ν l (19) Damit kann schlieÿlich das Skalarprodukt deniert werden 8, für das gilt: g µν U µ V ν = U ν V ν (20) Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist < 0, falls es sich um einen zeitartigen Vektor handelt, = 0 bei einem lichtartigen, und > 0 bei einem raumartigen Vektor. Die Komponenten der Metrik hängen in der Regel vom Punkt der Mannigfaltigkeit ab, an der wir sie betrachten, bspw.: ds 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 (θ)dφ 2 (21) Dabei handelt es sich um die Metrik, die in Kugelkoordinaten verwendet wird. Diese beschreibt aber auch den ungekrümmten Raum R 3! Die Metrik allein in dieser Form scheint noch nicht ausreichend zu sein, um sofortige Aussagen darüber zu treen, ob der Raum gekrümmt ist oder nicht. Es ist aber wenigstens möglich, an einem Punkt durch geeignete Wahl von Koordinaten, die Metrik in ihre Diagonalform zu bringen. In der ART sieht sie dann aus wie die Minkowski-Metrik. Mehr noch, selbst die partiellen Ableitungen verschwinden: g µν (p) = η µν σ g µν = 0 (22) Solche Koordinaten heiÿen lokale Inertialkoordinaten. 9 Solche Koordinaten sind praktisch, da es einfach ist, in diesen zu rechnen. Kann das Ergebnis dann noch als Tensor geschrieben werden, so gilt es in allen Koordinatensystemen, da der Ausdruck dann wie die Tensoren korrekt transformieren. Für ein Beispiel verweisen wir auf Sean Carroll: Spacetime and Geometry, S Kovariante Ableitung und Geodätengleichung Die partielle Ableitung eines Tensors ist im Allgemeinen kein Tensor, da sie nicht wie ein Tensor transformiert: Die partielle Ableitung der Jacobi-Matrix (d.h. der beim Transformieren auftretenden Terme) ist im Allgemeinen nicht null, und verschwinden daher nicht. Um dies zu korrigieren, verwendet man n (n n)-matrizen (Γ σ ) µ ν. Für jeden oberen Index erhält man ein Plus Korrekturterm, für jeden unteren ein Minus Korrekturterm. Partiell abgeleitet wird immer nur einmal: σ T µ1 µ k ν1 ν l = σ T µ1 µ k ν1 ν l (23) + Γ µ1 σλ T λµ2 µ k ν1 ν l + Γ µ2 σλ T µ1λµ3 µ k ν1 ν l + Γ λ σν 1 T µ1µ2 µ k λν2 ν l Γ λ σν 2 T µ1µ2 µ k ν1λν 3 ν l Die kovariante Ableitung macht aus einem (k, l)-tensor einen (k, l + 1)-Tensor. Denkbar sind viele solcher Symbole Γ, die diese Anforderungen erfüllen (n 3 unabhängige Komponenten). Fordert man zusätzlich, dass das Symbol symmetrish in den unteren Indizes ist, und dass σ g µν (metrische Kompatabilität) gelten soll, so erhält man die Christoelsymbole: Γ σ µν = 1 2 gσρ ( µ g νρ + ν g ρµ ρ g µν ) (24) Diese ist z.b. kompatibel mit der Metrik, d.h. σ g µν = 0. Die kovariante Ableitung erfüllt noch eine ganze Reihe anderer Eigenschaften, insbesondere ist sie linear und erfüllt die Leibnitz-Regel (Produktregel). Jetzt können wir das Minimal coupling principle 10 angeben. Wir erhalten aus einem Ausdruck, der in der achen Raumzeit (oder lokalen Inertialkoordinaten) gilt, einen allgemeingültigen, indem wir in dem Ausdruck: 8 Dabei erfüllt dieses Skalarprodukt nicht alle in der Mathematik geforderten Eigenschaften, z.b. ist es nicht positivdenit. 9 Wie man diese ndet, soll nicht Thema dieser Ausarbeitung sein, trotzdem soll es kurz angedeutet werden: Durch Betrachten von Geodäten x(λ) durch p, die an dieser Stelle V als Tangentenvektor besitzen, kann man durch Auswerten dieser Geodäten an einer späteren Stelle jedem Vektor einen eindeutigen Punkt q = x(λ + λ) der Mannigfaltigkeit zuordnen. Mithilfe einer solchen Konstruktion ndet man solche Koordinaten. Siehe dazu bspw. Sean Carroll: Spacetime and Geometry, S Auch häug comma goes to semicolon-regel, die sich auf hier nicht verwendete Notationen bezieht 7

8 Die Minkowskimetrik η durch die allgemeine Metrik g ersetzen Partielle Ableitungen µ durch die kovariante µ ersetzen sicherstellen, dass nur Tensoren vorkommen Damit erhalten wir leicht die Geodätengleichung. In der achen Raumzeit bewegen sich Teilchen, auf die keine Kraft wirkt, auf Geraden: d 2 x µ dτ 2 = 0 (25) Die zweite Ableitung ist aber kein Tensor (die erste hingegen ist ein Tensor, nämlich der Geschwindigkeitsvektor). Verwenden wir die allgemeine Kettenregel, so erhalten wir den Ausdruck: dx ν dτ dx µ ν dτ = 0 (26) Anwenden des Minimal-Coupling-Principles bedeutet nun, dass wir µ durch µ ersetzen. Damit: dx ν dτ dx µ Def. ν = d2 x µ dτ dλ 2 + dx ρ dx σ Γµ ρσ dλ dλ = 0 (27) Die letzte Gleichung ist die Geodätengleichung. Sie beschreibt, wie sich frei fallende Teilchen bewegen, und entspricht der Gleichung a = φ in der Newtonschen Theorie. 4.1 Paralleltransport Eine weitere Möglichkeit, die Krümmung des Raumes zu beschreiben geht über das Konzepts des Paralleltransports. Bisher haben wir gesagt, dass Vektoren in einem Tangentialraum T p liegen, die jeweils eine Punkt p zugeordnet sind. Wir können daher nicht ohne weiteres zwei Vektoren aus verschiedenen Tangentialräumen miteinander vergleichen, um dies zu tun, müssen wir überlegen, wie wir einen Vektor an der Mannigfaltigkeit entlang schieben. In der achen Raumzeit haben wir uns darüber keine Gedanken gemacht, dort haben wir Vektoren beliebig im Raum verschieben können. Bereits auf einer Kugeloberäche ist dies nicht mehr so: So hängt dort das Ergebnis eines Paralleltransports von dem genommenen Weg ab (siehe Abb. 7). Mithilfe des Minimal-Coupling-Principles können wir einfach einen Ausdruck nden, der einen Parallel- Abbildung 7: Paralleltransport auf S 2. Je nachdem, auf welchem Weg der Ausgangsvektor (schwarz) verschoben wird, ergeben sich unterschiedliche Vektoren (blau, rot). Bild aus Wikipedia: transport charakterisiert. In der achen Raumzeit haben wir bei einem Paralleltransport die Tensorkomponenten konstant gelassen: dx σ dt σt µ1 µ k ν1 ν l = 0 Nun müssen wir lediglich die partielle Ableitung durch die kovariante ersetzen, um einen allgemeingültigen Ausdruck zu erhalten: dx σ dt σt µ1 µ k ν1 ν l = 0 (28) 8

9 Dies ist die Paralleltransportgleichung. Damit lässt sich beispielsweise ausrechnen, wie sich die Komponenten V µ eines Vektors ändern, wenn er entlang des Weges x(t) paralleltransportiert wird Riemanntensor Wir haben gesehen, dass die Raumkrümmung dazu führt, dass sich Tensorkomponenten bei einem Paralleltransport wegabhängig ändern. Dies geschieht auch auf geschlossenen Kurven, und ist ein Maÿ, die Krümmung zu charakterisieren. Um dies mathematisch zu fassen, betrachten wir den Kommutator [ µ, ν ] zweier kovarianter Ableitungen. Dies gibt den Unterschied des erhaltenen Tensors, würde er erst entlang der µ-richtung, dann der ν-richtung paralleltransportiert zu dem Tensor, den wir durch Paralleltransport in der anderen Reihenfolge erhielten. Dies liegt daran, da nach der Paralleltransportgleichung die kovariante Ableitung entlang einer Richtung, in die er paralleltransportiert wird, gerade null ist (und somit als Bezugspunkt für innitesimale Veränderungen dienen kann). Rechnet man dies aus, unter Benutzung der Leibnitz-Regel und Linearität, so erhält man für einen Vektor: [ µ, ν ]V ρ = ( µ Γ ρ νσ ν Γ ρ µσ + Γ ρ µλ Γλ νσ Γ ρ νλ Γλ µσ) V ρ (Γ λ µν Γ λ νµ) λ V ρ (29) }{{}}{{} =:R ρ σµν =:T λ µν Damit haben wir den Riemanntensor (oder Riemannschen Krümmungstensor) R ρ σµν deniert 12. Der Tensor T, der ebenfalls auftaucht, ist der Torsionstensor, der ebenfalls bedeutsam ist, aber hier nicht weiter behandelt werden soll. Aus dem Riemanntensor erhält man den Riccitensor durch Verjüngen, d.h. Summieren über einen oberen und unteren Index: R µν = R λ µλν (30) Der Ricciskalar ist die Spur dieses Tensors: Die Tensoren haben u.a. folgende Symmetrieeigenschaften 13 : R = R µ µ = g µν R µν (31) R ρσµν = R σρµν R ρσµν = R ρσνµ R ρσµν = R µνρσ [λ R ρσ]µν = 0 R µν = R νµ µ R ρµ = 1 2 ρr Und aufgrund dieser besitzt der Riemanntensor n 2 (n 2 1)/12 freie Parameter. Also sind 1-dimensionale Räume nicht gekrümmt (kein freier Parameter!), 2-dimensionale durch einen Wert eindeutig charakterisiert (Ricciskalar genügt!). Die vierdimensionale Raumzeit hat somit 20 Parameter. 5 Einsteingleichung Wir haben nun eine Idee, wie sich Teilchen in gekrümmten Räumen bewegen. Nun müssen wir quantizieren, wie die Krümmung des Raumes zustande kommt. Diesen Zusammenhang wird uns die Einsteingleichung geben. Um sie nachzuvollziehen, überlegen wir zunächst, dass wir die Raumkrümmung benutzen wollen, um das Phänomen der Gravitation zu beschreiben, die in der Newton'schen Mechanik durch Massen verursacht wird. Da Massen und Energie äquivalent zueinander sind, werden wir dies auf Energieformen verallgemeinern. Da wir schon wissen, wie wir die Raumkrümmung als (0, 2)-Tensor (den Riccitensor) beschreiben, müssen wir also nun einen sinnvollen Tensor nden, der mit der Energie zusammenhängt. 11 Auch damit lässt sich die Geodätengleichung herleiten. Eine andere Denition einer Geodäten lautet: Eine Geodäte ist eine Kurve, die ihren eigenen Tangentialvektor dx paralleltransportiert. Einsetzen dieses Vektors in die Paralleltransportgleichung gibt dann genau die Geodätengleichung. 12 Der Vollständigkeit halber soll hier eine häug verwendete Notation genannt werden. Als Funktion von drei Vektorfeldern dλ X, Y, Z kann die Wirkung des Riemanntensors geschrieben werden als R(X, Y )Z = X Y Z Y X Z [X,Y ] Z. Mit der gleichen Methode erhält man T (X, Y ) = X Y Y X [X, Y ]. 13 Da wir die Christoelsymbole so gewählt haben, dass σg µν = 0 gilt, können wir µ = g µν ν bilden. 9

10 5.1 Energie-Impuls-Tensor Der Energie-Impuls-Tensor beschreibt die Verteilung von Energie und Impulsen im Gesamtsystem (wohingegen p ja stets nur die Werte für ein Teilchen angibt). Die Denition des Energie-Impuls-Tensors T µν lautet: Die Komponente T µν des Energieimpulstensors gibt den Fluss von p µ durch eine Fläche mit x ν = const. an Also steht in der 0, 0-ten Komponente oenbar die Energiedichte, denn die 0-te Komponente von p enthält die Energie, und die Bedingung x 0 = t = const. bedeutet, dass wir das Universum zu einem festen Zeitpunkt betrachten. Hingegen ist bspw. die T 22 -Komponente die y-komponente der Kraft pro Flächenelement in die y-richtung, dies ist also der Druck p y. Der Tensor ist symmetrisch! Die verschiedenen Erhaltungssätze, etwa Energie- und Impulserhaltung folgen aus der Formulierung im ungekrümmten Raum µ T µν = 0 mithilfe des Minimal-Coupling-Principles: Beispiel: Staub µ T µν = 0 (32) Betrachten wir zunächst Staub, also eine Ansammlung an Teilchen gleicher Masse m, die sich relativ zueinander in Ruhe benden, d.h. ihr Impuls ist in ihrem Ruhsystem p = (mc, 0, 0, 0). Damit kann wg. der Symmetrie nur die 0, 0-Komponente von null verschieden sein, und in ihrem Ruhsystem gilt: T = n mc Wobei wir mit n die Teilchenzahldichte bezeichnen, so dass n mc 2 die Energiedichte beschreibt. Wir müssen diesen Ausdruck nun als Tensor schreiben. Mit U = (c, 0, 0, 0) folgt dann einfach: So dass als Vermutung naheliegt: n }{{ m } c 2 = ρu 0 U 0 =:ρ T µν = ρu µ U ν (33) Wie eine explizite Berechnung leicht zeigt, ergibt dies im Ruhsystem tatsächlich obige Werte für T µν. Da dieser Ausdruck nur Tensoren enthält, gilt dieser allgemein Beispiel: Flüssigkeit Zusätzlich zu dem obigen Term müssen wir nun noch den Druck p berücksichtigen, der bekanntermaÿen isotrop ist. Daraus folgt, dass der Energieimpulstensor nur Einträge auf der Diagonalen haben kann, da keine Impulskomponente durch eine orthogonale Fläche treten kann. Desweiteren muss der Druck wg. der Isotropie gleich sein, d.h. p x = p y = p z = p. Also gilt im Ruhsystem: T = ρc p p p Wieder gilt es, diesen Ausdruck als Tensor zu schreiben. Da wir auf den unteren Diagonalen +p stehen haben wollen, können wir diese in lokalen Inertialkoordinaten (g = η) mit pg µν erzeugen. Damit erhalten wir im Ruhsystem: T = p p p p Da wir schon gesehen haben, dass (a/c 2 U µ U ν ) im Ruhsystem einfach a in die 0, 0-Komponente schreibt, können wir recht simpel die fehlenden Terme erraten: T µν = (ρ + p c 2 )U µ U ν + pg µν (34) Das ist der Energie-Impuls-Tensors der idealen Flüssigkeit, welche in vielen kosmologischen Modellen verwendet wird. 10

11 5.2 Einsteingleichung Wir können nun die Einsteingleichung aufstellen. Wir folgen hier der Darstellung von Carroll, und wollen sie zunächst nur plausibel machen. Eine explizite Herleitung wäre durch die Minimierung der Wirkung gegeben, dies wollen wir hier aber nicht tun 14. Da in der Newtonschen Mechanik das Gravitationsfeld durch Massen erzeugt wurde, setzen wir wg. der Äquivalenz von Energie und Masse den Energie-Impuls-Tensor als Verursacher der Raumkrümmung an, die ja durch den Riccitensor beschrieben wird. Naiver Ansatz wäre daher 15 : R µν? = κtµν Dieser Ausdruck kann aber nicht stimmen, wie das Bilden der Divergenz zeigt: µ T µν = νr = µ R µν Wobei wir im letzten Schritt die Symmetrieeigenschaften benutzt haben. Wir können also nicht einfach R µν ansetzen. Wir bilden aus dem Riccitensor mithilfe der Metrik den Einsteintensor: G µν = R µν 1 2 Rg µν (35) Für diesen gilt wg. σ g µν = 0: µ G µν lin. = µ R µν }{{} = 1 2 νr Damit ist der Einsteintensor ein guter Kandidat für unseren Ansatz: 1 2 µ Rg µν = 1 2 νr 1 2 (( µ R)g µν + R ( µ g µν )) = 0 (36) }{{} G µν = R µν 1 2 Rg µν = κt µν (37) Bilden der Spur auf beiden Seiten gibt folgende äquivalente Formulierung: R µν = κ(t µν 1 2 T g µν) (38) Fordert man, dass dies im Grenzwert kleiner Geschwindigkeiten und statischer Felder die Newtonschen Gleichungen ergibt, so folgt der Wert für κ und damit: R µν 1 2 Rg µν = 8πG c 4 T µν (39) Bilden der Spur auf beiden Seiten gibt folgende äquivalente Formulierung: R µν = 8πG c 4 (T µν 1 2 T g µν) (40) 5.3 Forderung der Newtonschen Näherung: Bestimmung der Konstanten κ Hier soll kurz beschrieben werden, wie die Forderung, dass sich im Newtonschen Grenzfall die alten Gleichungen ergeben, zur Bestimmung der Konstanten dienen kann. Newtonscher Grenzfall bedeutet, dass das Feld statisch ist 0 g µν = 0 und dass die Geschwindigkeit klein gegen die Lichtgeschwindigkeit ist, d.h.: dx 1,2,3 << dt (41) dτ dτ Damit wird aus der Geodätengleichung (27) (beachte: x 0 = ct): d 2 x µ dτ 2 Nach der Vorschrift für die Christoelsymbole (24) ist wg. 0 g µν = 0: + Γµ 00 c2 ( dt dτ )2 = 0 (42) Γ µ 00 = 1 2 gµλ ( 0 g λ0 + 0 g 0λ λ g 00 ) =0 = 1 2 gµλ λ g Für eine solche Darstellung, siehe z.b. Sean Carroll: Spacetime and Geometry, S Dabei ist natürlich T µν = g µσg νρt σρ. 11

12 Da in der Newtonschen Näherung das Feld schwach ist, können wir eine schwache Störung ansetzen: g µν = η µν + h µν (43) Im Folgenden wollen wir immer nur zur ersten Ordnung in h rechnen. Zunächst nden wir für die inverse Metrik: g µν = η µν }{{} h µν (44) =η µρ η νσ h ρσ Damit ist in erster Ordnung in h die Geodätengleichung einfach: d 2 x µ dτ 2 = 1 2 c2 η µλ λ h 00 ( dt dτ )2 (45) Woraus sofort d 2 t/dτ 2 = 0 folgt, also hängen t und τ linear voneinander ab. Da die Minkowskimetrik linear ist, und in den drei raumartiken Komponenten den Wert +1 hat, folgt aus der Geodätengleichung für µ = 1, 2, 3 durch Division mit dt/dτ: Oder, in etwas bekannterer Schreibweise d 2 x i dt 2 = 1 2 c2 i h 00 (46) a = 1 2 c2 h 00 (47) Setzen wir also h 00 = 2Φ/c 2 an, erhalten wir genau die Newtonsche Gleichung (8)! Für einen einzelnen, sphärisch symmetrischen Körper folgt Φ = GM r. Im Newtonschen Grenzfall können wir mit dem Energie-Impuls-Tensor von Staub rechnen. In dessen Ruhsystem gilt U = (c, 0, 0, 0). In erster Ordnung in h ist dann wie vorher T 00 = ρc 2 und alle anderen Komponenten sind null. Daher ist die Spur einfach T = ρc 2. Einsetzen in (38) gibt für die einzig interessante Komponente (µ = ν = 0): R 00 = 1 2 κρc2 (48) Dabei ist R 00 = R λ 0λ00 eine Summierung über den Riemanntensor. Ausrechnen gibt: R 00 = 1 2 δij i j h 00 = 1 2 h 00 (49) Gleichsetzen der letzten beiden Gleichungen gibt mit dem eben erhaltenen Zusammenhang h 00 = 2Φ/c 2. Was nur dann die Newtonschen Gleichungen ergibt, wenn κ = 8πG c 4. Φ = κ 2 c4 ρ (50) 12