Trigonometrie - die Grundlagen in einem Tag

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1 Trigonometrie - die Grundlagen in einem Tag Fachtage Dezember 2012 an der Kantonsschule Zürich Nord Klasse W3n R. Balestra Name: Vorname: 6. Dezember 2012

2 Inhaltsverzeichnis 1 Zielsetzung & Ablauf 1 2 Warum Trigonmetrie Die Grenzen der bisherigen Geometrie Über die Ähnlichkeit zu den Definitionen im rechtwinkligen Dreieck Zwei exakt berechenbare Werte Der Einsatz des Taschenrechners Standardaufgaben 7 4 Exakt bestimmbare Werte 9 5 Trigonometrie am Einheitskreis Definitionen am Einheitskreis Die Graphen der trigonometrischen Funktionen 15 I

3 1 Zielsetzung & Ablauf Die Ziele dieses Fachtages sind... die Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck kennenzulernen. Wir werden dazu den Begriff Trigonometrie erklären, aufzeigen, dass wir ohne Trigonometrie schon bei einfachen geometrischen Problemen nicht weiterkommen und den Einfluss der Ähnlichkeit auf den Sinn der Definitionen besprechen. die Trigonometrie am Einheitskreis zu besprechen. Wir werden den durch das rechtwinklige Dreieck beschränkte Definitionsbereich von ]0 0, 90 0 [ vergrösseren und werden dazu die trigonometrischen Beziehungen neu am Einheitskreis definieren, dabei aufzeigen, dass die Definitionen im rechtwinkligen Dreieck immer noch Gültigkeit haben, die ersten trigonometrischen Beziehungen kennenlernen und mit der graphischen Darstellung der trigonometrischen Funktionen abschliessen. Der Ablauf dieses Fachtags... wir beginn um 8:30 und beenden den Tag, wenn wir fertig sind, es wird zwei grössere Theorieblöcke geben, und viel Arbeit, die ihr in Gruppen zu erledigen habt, die Pausen richten sich nach dem Stand der aktuellen Arbeiten. 1

4 2 Warum Trigonmetrie 2.1 Die Grenzen der bisherigen Geometrie Eine kurze Begriffserklärung: In der Trigonometrie (von griechisch trigonon - Dreieck und métron - Mass) werden wir uns mit der Berechnung von Seiten und Winkeln in einem Dreieck befassen. Im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks lassen sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras einige Aufgaben exakt lösen: Beispiel 2.1 In einem rechtwinkligen Dreieck ABC sind die Länge der Hypotenuse c = 6 und die Länge einer Kathete b = 3.7 bekannt. Berechne die Länge der zweiten Kathete und die Höhe des Dreiecks ABC. Doch schon für die Bestimmung der Winkelöffnungen sind wir auf wenig genaue Hilfsmittel angewiesen: Auch die Möglichen den Satz des Pythagoras anzuwenden sind nicht immer gegeben: Beispiel 2.2 In einem rechtwinkligen Dreieck ABC sind die Länge der Kathete a = 5.5 und die Öffnung des Winkels α = 63 0 bekannt. Berechne die Längen der übrigen Seiten und die Grösse des fehlenden Winkels. 2

5 2.2 Über die Ähnlichkeit zu den Definitionen im rechtwinkligen Dreieck Wir beginnen mit den trigonometrischen Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck und untersuchen dazu die folgenden Dreiecke auf Gemeinsamkeiten: Was haben die folgenden Dreiecke gemeinsam? 3

6 Wir fassen zusammen: Def.: In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit den üblichen Bezeichnungen werden die trigonometrischen Funktionen wie folgt definiert: sin α := cos α := tan α := Bem.: sin β := cos β := tan β :=... und wir können schon die ersten Beziehungen zwischen sin und cos (in einem rechtwinkligen Dreieck) formulieren: 4

7 2.3 Zwei exakt berechenbare Werte Berechne sin 30 0 : Berechne tan 30 0 : 5

8 2.4 Der Einsatz des Taschenrechners Aufgaben : Bestimme mit dem Taschenrechner die folgenden Werte: 1. den Sinus von 13 0, , , 2. den Cosinus von 77 0, , 54 0, 3. den Tangens von 2 0, , 4. den Winkel mit dem zugehörigen Sinuswert 0.8, 0.2, 0.6, 5. den Winkel mit dem zugehörigen Cosinuswert 0.8, 0.2, 2.1, 6. den Winkel mit dem zugehörigen Tangenswert 0.8, 0.2,

9 3 Standardaufgaben Für die folgenden Aufgaben arbeiten wir in einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit den üblichen Bezeichnungen. Aufgaben : Geg: c = 56.4 α = Ges.: a, b Geg: a = β = Ges.: b, c 7

10 Geg: a = b = 6.48 Ges.: α, c, β h, p, q WERKSTATT 1 8

11 4 Exakt bestimmbare Werte Wir sind in der Lage, die folgenden Werte exakt zu berechnen: α sin cos tan WERKSTATT 2 9

12 5 Trigonometrie am Einheitskreis In diesem Abschnitt werden wir den Einheitskreis einführen und an ihm die trigonometrischen Beziehungen neu definieren. Wir werden ihn als praktisches Hilfsmittel kennenlernen und festellen,... dass die bisherigen Definitionen (im rechtwinkligen Dreieck) weiterhin Gültigkeit haben, dass wir die trigonometrischen Funktionen nicht nur auf Winkel zwischen 0 0 und 90 0 anwenden können und dass es viele interessante Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen gibt, die wir nicht auswendig lernen müssen, wenn wir mit dem Einheitskreis umgehen können. 5.1 Definitionen am Einheitskreis Der Einheitskreis: Def.: cos ϕ := x-koordinate von P sin ϕ := y-koordinate von P tan ϕ := Quotient der y- & der x-koordinate von P 10

13 Einige Beispiele: 11

14 Verwende zur Lösung der folgenden Aufgaben den Einheitskreis: Aufgaben : ϕ sin cos tan Wir können feststellen... und wollen weiter noch festhalten: 12

15 Mit Hilfe des Einheitskreises lassen sich viele Beziehungen und Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen erkennen: Für welche Winkel ist der sin-wert negativ? Für welche Winkel ist der cos-wert > 0, 5? Für welche Winkel ist der tan-wert positiv? 13

16 Für welche Winkel erhalten wir den selben sin-wert? Für welche Winkel erhalten wir den selben cos-wert? WERKSTATT 3 14

17 6 Die Graphen der trigonometrischen Funktionen Die graphischen Darstellungen von sin, cos & tan: für den Sinus: 15

18 für den Cosinus: für den Tangens: 16