Musterlösung für die Nachklausur zur Analysis II

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1 MATHEMATISCHES INSTITUT WiSe 213/14 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Musterlösung für die Nchklusur zur Anlysis II Aufgbe 1 Gilt folgende Aussge? Eine im Punkt x R 2 prtiell differenzierbre Funktion f : R 2 R ist im Punkt x uch stetig. Beweisen Sie ihre Antwort! Lösung: Nein, die Aussge gilt nicht. Gegenbeispiel: Sei f : R 2 R, {, flls x oder y f(x, y) 1, sonst Wir betrchten x (, ). Es gilt: f( + h, ) f(, ) lim h h lim h h x f(, ). Aufgrund der Symmetrie von f in x, y folgt y f(, ). Insbesondere ist f lso in x prtiell differenzierbr. f ist ber in x nicht stetig, d z.b. lim f(1/n, 1/n) lim 1 f(, ). n n Bepunktungsvorschlg: 1 Punkt für die korrekte Beurteilung, ob die Aussge gilt, 3 Punkte fürs Aufschreiben einer Funktion, die ttsächlich prtiell diffbr, ber nicht stetig ist, 3 Punkte für den Nchweis der prtiellen Diffbrkeit, 3 Punkte für den Nchweis der Unstetigkeit.

2 Aufgbe 2 Beweisen Sie: Wegintegrle im R n über Grdientenvektorfelder sind nur bhängig vom Anfngs- und Endpunkt des Weges, nicht vom Weg selbst. Lösung: Sei f : R n R n ein Grdientenvektorfeld, d.h. es existiere eine differenzierbre Funktion V : R n R mit (grd V ) T f. Sei γ : [, b] R n eine gltte urve mit γ() x, γ(b) x 1. Dnn gilt: γ f, ds b b b ettenregel f(γ(t)), γ (t) dt (grd V (γ(t))) T, γ (t) dt grd V (γ(t)) γ (t)dt b [ ] d dt V (γ(t)) dt Nun ist V γ : [, b] R eine eindimensionle differenzierbre Funktion. Dher können wir den Huptstz der Differenzil- und Integrlrechnung benutzen und erhlten: f, ds V (γ(b)) V (γ()) V (x 1 ) V (x ), ws unbhängig von γ ist. γ Bepunktungsvorschlg: 3 Punkte für die korrekte Formlisierung des Problems (lso etw der Text bis zur ersten Zeile in der Gleichungskette), 3 Punkte für die korrekte Anwendung der mehrdimensionlen ettenregel, 3 Punkte für die korrekte Anwendung des Huptstzes der Differentil- und Integrlrechnung und die Einsicht, dss mn ds Problem uf den eindimensionlen Fll zurückführen knn, ein Punkt für ds Ergebnis des Wegintegrls (V (γ(b)) V (γ())). (Den letzten Punkt gibt es uch, wenn mn V überhupt definiert ht und sich einfch drn erinnert.) Sonst können hier die 1 Punkte uch flexibler vergeben werden, je nch Suberkeit und orrektheit des Beweises.

3 Aufgbe 3 Sei H {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 1, z } die obere Hälfte der Einheitskugel und xe z F : R 3 R 3, F (x, y, z) ye z e x2 +y 2 ein Vektorfeld. Berechnen Sie ds Integrl I 1 wobei n ds äußere Normlenvektorfeld sei. H F, n d 2 r, Hinweis: Zeigen Sie dzu, dss I 1 I 2 gilt, wobei I 2 F, n d 2 r und {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 1, z } die reisfläche in der xy-ebene bezeichnet. Wenden Sie dzu den Stz von Guß uf H n (Skizze)! Berechnen Sie schließlich den Wert von I 2 direkt mithilfe elementrer Flächenintegrtion! Lösung: Es gilt: div F x F 1 + y F 2 + z F 3 x (xe z ) + y ( ye z ) + z (e x2 +y 2 ) e z e z +. Ds Vektorfeld ist lso divergenzfrei! Mithilfe einer Skizze (oder uch durch Überlegung) sieht mn, dss H eine geschlossene Fläche ist. Wir können lso den Stz von Guß nwenden, der in seiner llgemeinen Form lutet: F, n d 2 r div F d 3 r. V Als ds Volumen V wählen wir nun dsjenige V, wofür V H. Dmit erhlten wir: F, n d 2 r. H Dher und ufgrund der Orientierungskonvention folgt: F, n d 2 r F, n d 2 r I 1 I 2. H Schließlich berechnen wir den Wert von I 2 mithilfe elementrer Flächeninegrtion. Hierzu stellen wir zunächst fest, dss uf gilt: n (,, 1) T. Dmit: I 2 F, n d 2 r e x2 +y 2 d 2 r Polrkoordinten π 1 π(e 1) 1 V dr 2π dϕ re r2 dr d dr er2 π e r2 1

4 Dher ist ds Ausgngsintegrl I 1 π(e 1). Bepunktungsvorschlg: 1 Punkt für die Berechnung der Divergenz. 1 Punkt fürs Erkennen, dss H eine geschlossene Fläche ist. 2 Punkte fürs korrekte Anwenden des Stzes von Guß (oder dessen korrekte llgemeine Form). 2 Punkte für den Beweis, dss I 1 I 2, 1 Punkt für ds richtige äußere Normlenvektorfeld uf, 3 Punkte für die Berechnung des Integrls I 2. Aufgbe 4 Sei A die Zylinderfläche (ohne Grund- und Deckfläche), die die z-achse umkreist und uf der Ebene {z } steht, mit Rdius R > und Höhe h >. ) Geben Sie eine Prmetrisierung von A n. b) Berechnen Sie ds Flächenintegrl A F, n d 2 r, für ds Vektorfeld F : R 3 R 3, F (x, y, z) (xz, yz, 123). Lösung: ) Eine mögliche Prmetrisierung ist φ(ϕ, z) (R cos ϕ, R sin ϕ, z), für (ϕ, z) [, 2π) [, h]. (Die Höhe wird durch z gegeben; für fixes z wird der Zylinder ein zur x-y-ebene prleller reis, den mn wie beim Polrkoordinten mit Winkel ϕ und Rdius R beschreibt). φ : [, 2π) [, h] A ist bijektiv. b) () 1. Methode Ds Flächenintegrl berechnen wir mit Hilfe der Prmetrisierung φ: A F, n d 2 r 2π h 2π h 2π h 2π h 2π h F φ, n ϕ φ z φ dzdϕ F φ, ϕ φ z φ dzdϕ zr cos ϕ zr sin ϕ, 123 R cos ϕ R sin ϕ zr 2 (cos 2 ϕ + sin 2 ϕ)dzdϕ [ z zr 2 dzdϕ R 2 2 2π 2 ] zh z dzdϕ h 2 πr 2.

5 (b) 2. Methode (Guß) Alterntiv könnte mn den Stz von Guß nwenden. Mn sollte jedoch nicht vergessen, dss der Stz von Guß nur für geschlossenen Flächen gilt. Dher muss mn die Integrle uf der Grund- und Deckfläche uch berücksichtigen. Sei Z der Zylinder (Volumen). Dnn ist Z A D 1 D 2, wobei D 1, D 2 die Grund- bzw. Deckfläche sind. Wir merken nun, dss die Integrle uf D 1 und D 2 sich usgleichen, d die Normlenvektoren prlell zur z-achse sind, ber in gegenseitigen Richtungen zeigen, und die dritte omponente von F konstnt ist: F, n d 2 r + D 1 F, n d 2 r D 2 D 1 F, 1 d 2 r + D 2 F, 1 d 2 r 123d 2 r + 123d 2 r 123(πR 2 πr 2 ). D 1 D 2 Ds heisst, F, Z n d2 r F, A n d2 r+ D 1 F, n d 2 r+ D 2 F, n d 2 r F, A n d2 r. Für ds Integrl F, Z n d2 r können wir den Stz von Guß nwenden, d Z eine geschlossene Fläche ist. Als Prmetrisierung von Z nehmen wir Φ(ρ, ϕ, z) (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z), (ρ, ϕ, z) (, R] [, 2π) [, h]. F, n d 2 r div F d 3 r Z Z R 2π h R 2π h 2 R2 2 (div F ) Φ det J Φ dzdϕdρ 2zρdzdϕdρ h 2 2 2π h2 πr 2. Bepunktungsvorschlg: () sollte 4 Punkte und (b) 6 Punkte vergeben. In (), eine richtige Prmetrisierung vom Zylinder (bis uf Nullmengen) nzugeben ergibt 3 Punkte. Alle 4 Punkte bekommt mn, flls die Prmetrisierung ttsächtlich injektiv ist. In (b) mit der ersten Methode: 2 Punkte für die Anwendung der Prmetrisierung im Integrl, 2 Punkte für die Berechnung von n bzw. von ϕ φ z φ, 2 weitere Punkte für die Berechnung des Integrls. Mit der 2. Methode: 1 Punkt für die Formulierung des Stzes. 2 Punkte für die Umformulierung des Problems für die geschlossene Fläche. 3 weitere Puntke für die Berechnung des Integrls.

6 Aufgbe 5 Bestimmen Sie Lge und Art ller loklen Extrem der unten ngegebenen Funktion f : R 2 R. Benennen Sie, flls existent, ds globle Mximum und ds globle Minimum von f. f(x, y) : exp(x 2 + y 2 + xy). Lösung: Die Funktion f ist uf ihrem Definitionsbereich differenzierbr. Dher gilt grd f(x, y ) (, ) n jedem Extremlpunkt (x, y ). Wir berechnen grd f(x, y) e x2 +y 2 +xy (2x + y, 2y + x). D e x2 +y 2 +xy immer ungleich Null ist, wird grd f(x, y) (, ) genu dnn wenn { 2x + y 2y + x { 2x + y x 2y { x y. Der einzige ndidt für Extremlpunkt ist dnn (x, y ) (, ). Jetzt zeigen wir, dss (, ) ttsächlich ein Extremlpunkt ist. Dfür berechnen wir die Hessemtrix von f ( H f (x, y) e x2 +y 2 +xy 2 + (2x + y) (2x + y)(2y + x) 1 + (2x + y)(2y + x) 2 + (2y + x) 2 ( ) 2 1 Am Punkt (, ) ist H f (, ) definit positiv (die Eigenwerte sind 3 und 1, 1 2 beide positiv). Ds bedeutet, dss (,, f(, )) (,, 1) ein lokles Minimum ist (und weil f keine weitere Extrem ht, ist es uch globl). In dem Fll könnte mn uch direkt (ohne die Hessemtrix) rgumentieren: D die Exponentilfunktion monoton wchsend ist, gilt es, für jeden (x, y) R 2, f(x, y) e x2 +y 2 +xy e f(, ) (d x 2 + y 2 + xy (x + y) 2 gilt). Ds heißt, (,, f(, )) (,, 1) ist ein globles (und somit uch lokles) Minimum. Bepunktungsvorschlg: 1 Punkt für die notwendige Bedingung für Extremlpunkte, 2 Punkte für ds Gleichungssystem, 2 Punkte für die Lösung des Systems. Flls mn weiter mit der Hessemtrix rgumentiert, könnte mn 1 Punkt für die Hessemtrix bekommen, 2 Punkte für den Zusmmenhänge zwischen Art von Mtrix und Extremlpunkte zu nennen, 1 Punkt für die definite Positivität und den letzten Punkt fürs Argumentieren, dss es uch globl ist. Argumentiert mn ohne Hessemtrix, so könnte mn 3 Punkte für den Beweis, dss f(x, y) f(, ) bekommen, und 2 weitere für die Schlussfolgerung. ).