Kapitel V. Affine Geometrie

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1 Kapitel V Affine Geometrie 1 Affine Räume Betrachte ein lineares Gleichungssystem Γ : a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m in den Unbestimmten x 1,,x n mit reellen Koeffizienten a ij und b i Setze b 1 A = (a ij ), b = b m, x = x 1 x n Die Lösungsmenge von Γ ist x 1 L = Lös (Γ) := { x n Das GLS schreibt sich damit als Γ : Ax = b R n In der linearen Algebra wurde gezeigt: n a ij x j = b i, i = 1,, m} j=1 L φ genau dann, wenn Rang A = Rang (A b) Falls dies gilt erhält man L wie folgt: (i) Bestimme eine spezielle Lösung p von Γ (ii) Bestimme die Lösungsmenge W des homogenen Systems: x 1 W = { R n n a ij x i = 0, i = 1,,m} x n j=1 Dann ist L = p + W = {p + w w W } Weiter gilt: 1

2 (iii) W ist ein Untervektorraum des R n (iv) dim W = n Rang A Definition: Mengen der Form p + W, wobei p R n und W R n ein Untervektorraum ist, heißen affine Unterräume des R n Die leere Menge φ ist definitionsgemäß ebenfalls ein affiner Unterraum Insbesondere sind also alle Untervektorräume affine Unterräume (p = 0), ebenfalls wie alle einpunktigen Mengen {p}(w = 0) Wir sprechen kurz auch von einem affinen Raum Wie gesehen: Die Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme sind affine Räume Umgekehrt gilt (11) Satz: Jeder affine Raum ist die Lösungsmenge eines geeigneten linearen Gleichungssystems Beweis: Die leere Menge ist Lösungsmenge der Gleichung 0 x x n = 1, und R n ist Lösungsmenge der Gleichung 0 x x n = 0 Sei nun A = p + W, wobei p R n und W R n ein Untervektorraum ist, ein beliebiger affiner Unterraum des R n, A φ und A R n 1) W ist Lösungsmenge eines homogenen linearen GLS Beweis: Sei U = W = {v R n v, w = 0 für alle w W } Wegen U = (W ) = W R n ist U {0} Konstruiere eine Basis B = (u 1,,u r ) von U, r 1 Ordne B das lineare GLS Γ 0 : u 11 x u 1n x n = 0 u r1 x u rn x n = 0 wenn u 1 = u 11 u 1n, u r = u r1 u rn zu Dann ist W = Lös (Γ 0 ): x 1 Beweis: x = x n W = U genau dann, wenn x u j, j = 1,,r, 2

3 dh dh x Lös (Γ 0 ) 0 = u 1, x = u 11 x u 1n x n 0 = u r, x = u r1 x u rn x n 2) p + W ist Lösungsmenge eines geeigneten inhomogenen linearen GLS Γ mit Γ 0 als zugehörigen homogenen Systems p 1 Beweis: Sei p = p n Setze b i := u i, p für i = 1,, r Dann ist p offenbar Lösung des lineare GLS Γ : u 1, x = u 11 x u 1n x n = b 1 u r, x = u r1 x u rn x n = b r mit zugehörigem homogenen System Γ 0 Nach (i) und (ii) ist dann p + W = p + Lös (Γ 0 ) = Lös (Γ) Beispiele: n = 2: Die affinen Unterräume der Ebene R 2 sind: R 2 (eine Ebene) Die Mengen der Form G = p + Rv = {p + λv λ R} mit festen v, p R 2 mit v 0 Sie heißen Geraden 3

4 p + λv p v G 0 Punkte {p}, p R 2 Die leere Menge Gemäß (11) können Geraden auch als Lösungsmenge einer linearen Gleichung geschrieben werden: G : ax + by = c mit (a, b) (0, 0) Ein Punkt ist die Lösung eines GLS x = a y = b n = 3: Die von R 3 und φ verschiedenen affinen Unterräume sind: a x 1 = a Punkte b mit GLS x 2 = b c x 3 = c Geraden G = G p,v = p + R v mit p, v R 3, v 0 G = p + Rv = {p + λv λ R} heißt Parameterdarstellung der Geraden G Beschreibung von G durch ein lineares GLS: Sei (a, b), a = a 1 a 2 a 3 und b = b 1 b 2 b 3, eine Basis von (Rv) Setze a 0 = a, p und b 0 = b, p Dann ist G die Lösungsmenge des GLS Γ : denn nach obigen Ausführungen ist a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = a, x = a 0 b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 = b, x = b 0 4

5 (i) Rv die Lösungsmenge des zugehörigen homogenen Systems a, x = 0, b, x = 0 (ii) p löst Γ Ebenen im R 3 Ist (v, w) linear unabhängig im R 3 und p R 3, so nennt man E = p + Rv + Rw = {p + λv + µw λ, µ R} die von v und w aufgespannte Ebene mit Aufpunkt p x E p µw λv x = p + λv + µw Ist a = a 1 a 2 a 3 ein erzeugender Vektor von (Rv+Rw) und ist a 0 := a, p, so ist E die Lösungsmenge der Gleichung Γ : a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = a, x = a 0, denn (1) V = Rv + Rw = Lös (Γ 0 ), denn V = (R a) (2) a, p = a 0, dh p löst Γ Rechenbeispiel: Sei E = 0 + R 4 + R 7 = p + W, p = 0, W = Rv + Rw = R 4 + R Genau dann ist x = x 1 x 2 x 3 0 = v, x = x 1 4x 2 8x 3 und W, wenn v x und w x, dh 5

6 0 = w, x = 4x 1 7x 2 + 4x 3 Der Gauß Algorithmus ergibt ( ) ( ) ( Aus x 3 = 1 (freie Variable) folgt x 2 = 4 und x 1 = 8 8 Also wird W erzeugt von a = 4 und p, a = 1 1 E genügt somit der Gleichung Γ : 8x 1 4x 2 + x 3 = 1 Sei nun X R n ein beliebiger affiner Unterraum X φ: X = p + W, wobei p R n und W R n ein Untervektorraum ist (12) Bemerkung: a) Für jedes q X ist auch X = q + W b) Ist U R n ein Untervektorraum und q R n, so dass X = q + U, so ist W = U c) Ist Y = q + U ein weiterer affiner Unterraum von R n, so gilt: Genau dann ist X = Y, wenn X Y φ und U = W Beweis: a) q = p + w mit w W Ist x X, so ist x = p + v, v W Es folgt x = (q w) + v = q + (v w) q + W, da v w W Also ist X q + W Analog zeigt man, dass q + W X b) q = q + 0 X, also ist nach a) q + W = X = q + U und W = U c) gilt nach b) Wähle r X Y Nach a) ist X = r+w und Y = r+u Wegen U = W folgt X = Y Fazit: Der Untervektorraum W mit X = p + W ist durch den affinen Unterraum X eindeutig bestimmt Man definiert daher: Sei X φ ein affiner Unterraum des R n Schreibe x in der Form X = p + W mit p R n und W R n Untervektorraum Dann heißt W der Richtungsraum von X 6 )

7 X W 0 p w w q q = p + w Schreibe T(X) für den Richtungsraum von X Die Dimension von X ist definitionsgemäß die Dimension seines Richtungsraums T(X) In Übereinstimmungen mit den Bezeichnungen in R 2 und R 3 heißt X Gerade im R n, wenn dim T(X) = 1 und X Ebene im R n, wenn dim T(X) = 2 Besteht X nur aus einem Punkt, so ist T(X) = {0}, somit dim{p} = 0 Manchmal definiert man dimφ := 1 (13) Regel: Sei X φ ein affiner Raum mit Richtungsraum T(X) Dann gilt: a) Für w T(X) ist X + w := {x + w x X} = X b) Sind p und q aus X, so gibt es genau einen Vektor w T(X) mit q = p + w Schreibe für diesen Vektor w = q p auch pq (der sog freie Vektor von p nach q) Aus X = p + T(X) folgt T(X) = { px x X} 7

8 X W 0 p w w q q = p + w c) Sind p, q und r Punkte aus X, so gilt qp = pq und pq + qr = pr Anschaulich: q qr r pq pr p d) Die Translation von X um einen Vektor w T(X): Nach 12a) ist für x X auch x + w x + T(X) = X Also hat man eine Abbildung t w : X X x x + w 8

9 Sie ist bijektiv, sie heißt Translation von X um den Vektor w Genauer gilt für v, w T(X): t 0 = id X, t v+w = t v t w, t 1 w = t w e) Für v, w T(X) gilt: t v = t w genau dann, wenn v = w Beweis: a) X = p + T(X) mit p X x X ist von der Form x = p + v, v T(X) Es folgt x = p+(v w)+w X +w wegen v w T(X) Also ist X X +w Ist umgekehrt y X + w, so ist y = (p + v) + w mit v T(X), also y = p + (v + w) X, da v + w T(X) b) Ist p X so ist X = p + T(X) nach 12 Aus q X folgt q = p + w mit w T(X) Aus q = p + w folgt w = q p = pq und w ist durch p und q eindeutig bestimmt c) qp = p q = (q p) = pq pq + qr = (q p) + (r q) = r p = pr d) t w t w (x) = t w (x w) = (x w) + w = x, t s t w (x) = t w (x + w) = (x + w) w = x für alle x X Also ist t w eine Umkehrabbildung zu t w und folglich ist t w bijektiv Ferner ist t v+w (x) = x + (v + w) = (x + w) + v = t v (x + w) = t v (t w (x)) und t 0 (x) = x + 0 = x für alle x X e) Aus t v = t w folgt p + v = t v (p) = t w (p) = p + w und v = w Ist v = w, so ist offenbar t v = t w Sei S(X) die Menge der Bijektionen f : X X Zusammen mit der Komposition von Abbildungen ist S(X) eine Gruppe, die sog Permutationsgruppe von X Nach d) ist τ(x) = {t w w T(X)} eine Untergruppe von S(X) 9

10 Nach e) ist die Abbildung τ : T(X) τ(x) w t w bijektiv Nach d) gilt folgende Verträglichkeit τ(v + w) = τ(v) τ(v); τ(0) = id X τ(x) nennt man die Gruppe der Translationen von X Wegen der obigen Beziehungen zwischen τ(x) und T(X) bezeichnet man T(X) als Translationsvektorraum von X (14) Bemerkung: Sind p und q beliebige Punkte in X, so gibt es genaue eine Abbildung t τ(x) mit t(p) = q (Man sagt dazu: τ(x) operiert einfach transitiv auf X) Insbesondere gilt für jedes p X: X = τ(x)(p) = {t(p) t τ(x)} Beweis: Nach 13 b) gibt es genau w T(X) mit q = t w (p) Aus der Bijektivität von T(X) τ(x), w t w folgt die Behauptung 10