Einführung in. Elliptische Kurven. Seminarvortrag im Rahmen des Proseminars. Public-Key Kryptographie. Björn Mühlenfeld

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1 Einführung in Elliptische Kurven Seminarvortrag im Rahmen des Proseminars Public-Key Kryptographie Björn Mühlenfeld

2 Übersicht 1/15 Definition Addition auf elliptischen Kurven Elliptische Kurven als Gruppe Elliptische Kurven über Finden von Gruppen Z p

3 Definition 2/15 F ein Körper mit Charakteristik ungleich 2 oder 3 x 3 ax b F [ x] quadratfrei E={ u, v F 2 :v 2 =u 3 au b} { } F 2 { } E ist eine elliptische Kurve über F Hier gegeben durch Weierstraß-Gleichung mit Weierstraß-Parametern a und b Andere Definitionen möglich

4 Nicht-Singularität 3/15 Notwendige Voraussetzung: Nicht-Singularität Punkt P=(u,v) nichtsingulär, wenn die Tangente des Punktes wohldefiniert ist: f x u,v, f y u,v 0,0 Elliptische Kurve E ist nichtsingulär, wenn alle Punkte der Kurve nichtsingulär sind

5 Der Punkt im Unendlichen 4/15 Dargestellt durch das Symbol Punkt, den alle senkrechten Geraden schneiden In bestimmten Fällen notwendig für die Addition

6 Die Gruppenstruktur 5/15 Gruppenstruktur für Verwendung in der Kryptographie notwendig Addition zweier Punkte P,Q einer Kurve E: Berechnen der Geraden durch P,Q Berechnen des 3. Schnittpunktes mit E Spiegeln an der X-Achse ergibt P+Q=R Punkte einer elliptische Kurve bilden zusammen mit der Verknüpfung '+' eine Gruppe

7 Addition (Spezialfälle) 6/15 Q=P 1. Wir benutzen die Tangente im Punkt P. Da E nichtsingulär ist, ist diese immer definiert. Q= 2. Wir benutzen die vertikale Linie durch P: Q= P P = P =P 3. Wir benutzen ebenfalls die vertikale Linie durch P und Q und bekommen: P P =

8 Addition R 7/15 Addition zweier Punkte P,Q auf E R = P + Q; x p,y p sind Koordinaten des Punktes P g : y=m x b m= y Q y P x Q x P (Vieta) x R =m 2 x P x Q y R = y P m x P x R Die Spiegelung des Schnittpunktes an der X-Achse ist hier bereits berücksichtigt Verdopplung eines Punktes P auf E x R = 3x 2 P a 2y P 2 2x P y R = y P 3x 2 P a x 2y P x R P

9 Die Gruppeneigenschaften 8/15 Die Gruppe (E,+) Verknüpfung '+' als Addition zweier Punkte Abgeschlossenheit Neutrales Element: Inverses Element: Assoziativität Kommutativität P x, y =P x, y

10 Elliptische Kurven über Z p 9/15 Z p oder anderer endl. Körper Im Gegensatz zu Elliptischen Kurven über R nur noch endliche Anzahl von Punkten auf der Kurve Nur Punkte im ersten Quadranten interessant Addieren auf gleiche Art und Weise wie über R möglich

11 Addition Z p 10/15 Identisch zur Addition über den reellen Zahlen Identische Spezialfälle Addition zweier Punkte P,Q auf E im Körper Z p R = P + Q; x p,y p sind Koordinaten des Punktes P m= y Q y P x Q x P 1 mod p x R =m 2 x P x Q mod p y R = y P m x P x R mod p

12 Die Größe einer ell. Kurve 11/15 Ordnung # E Z p einer Kurve E Z p Für die Verwendung in der Kryptographie ist die Größe einer elliptischen Kurve relevant Obere Schranke für die Anzahl der Punkte auf einer elliptischen Kurve: # E Z p 2p 1 Genauere Abschätzung durch Hasse-Schranke: # E Z p = p 1 t mit t 2 p Deterministische Berechnung mit Algorithmus von Schoof in Zeit O ln 8 p

13 Finden von Gruppen 12/15 Gesucht sind Gruppen, deren Größe eine Primzahl mit n Bits ist (z.b. n = 560) 1. Wahl einer zufälligen Primzahl p mit n Stellen 2. Wahl zufälliger n-bit Parameter a und b 3. Berechnen der Größe q der elliptischen Kurve { y 2 =x 3 ax b} über Z p 4. Testen, ob q prim 5. Wenn ja, dann Generator der Kurve finden Im Erwartungswert sind 560 log e Tests von Paaren a,b nötig, bis so eine Kurve gefunden wird

14 Skalare Multiplikation 13/15 Skalare Multiplikation meint das n-fache Addieren eines Punktes auf sich selbst: np Für große n ist die Berechnung sehr aufwendig, daher vereinfachtes Verfahren: n in Binärdarstellung als Berechnung von np = b z [ ] P b z 1 [ ] P b 1 [ ] P b 0 [ ] P [10 000] P [b z b z 1 b 2 b 1 b 0 ] O log n O log n

15 Ausblick 14/15 Für Kryptographie relevant sind die elliptischen Kurven über endlichen Körpern Gruppenbasierte Krypto-Verfahren lassen sich auch auf elliptischen Kurven verwenden Beispiel: El-Gamal auf elliptischen Kurven Vorteil: Spezielle Algorithmen nicht anwendbar Nur generische Algorithmen funktionieren Dadurch kürzere Schlüssellängen bei gleicher Sicherheit

16 Quellen 15/15 [1] Elliptische Kurven in der Kryptographie, Werner, Springer-Verlag 2002 [2] Cryptography, J. von zur Gathen, Skript zur Vorlesung Kryptographie II, Universität Paderborn 2002 [3] Elliptische Funktionen und Modulformen, Koecher, Krieg, Springer-Verlag 1998 [4] Krypto-Verfahren basierend auf elliptischen Kurven, HTML-Tutorial, Thomas Laubrock, Fachhochschule Dortmund 1999,