Wintersemester 2012/2013 Prof. Dr. Stefan Müller AG Computergraphik km 2 0,1571 0, km 2. r d. 4πI

Transkript

1 1. Übungsblatt zu Volesung CV-Integation (Lösung) ufgabe 1: Kugelobefläche ufgabe : Raumwinkel Wintesemeste 1/13 Pof.. Stefan Mülle G Computegaphik sinθ θ ϕ 43 [ ϕ] [ cosθ] π ( 6.36 km) π ( cos35 cos43 ) km,1571, km Mustelösung tanθ --, θ atan -- θ sinθ θ ϕ 1 cos atan --,631 e gößtmögliche Raumwinkel ist 4π. e nteil e Schultüte ist: ufgabe 3: Kugelzone, ,5 % 4π ufgabe 4: Punktlichtquelle θ sin θ θ ϕ ( cos θ 1 cosθ ) θ 1 a) Φ I ω Φ I ω I ω 4π 4π 4πI I Φ 6 lm ,75 c 4π 4π s 9. Octobe 1 1

2 b) E Φ I ω e I e cos e e e I cos Gößtmögliche Beleuchtungsstäke E bei cos 1. E 47,74 c s ,47 lx 1 m c) E ufgabe 5: Spotlicht Φ I ω ; I( θ) I cos n θ Φ I cos n θ sinθ θϕ ufgabe 6: Flächige Lambet-Stahle I cos θ n + 1 n + 1 I ( 1 cos θ n + 1 n + 1 max ) a) Wi gehen von einem unifomen Lambet-Stahle aus,.h. an jeem Flächenelement auf e Obefläche gilt ie gleiche Leuchtichte. us e efinition e Leuchtichte ehalten wi: I L cosθ e Winkel θ bescheibt abei eine beliebige ustittsichtung. Bei eine konstanten Leuchtichte entnimmt man e Gleichung beeits, ass ie Lichtstäke I eine cos-veteilung besitzt. us e Betachtung eines unifomen Stahles folgt: I L cosθ L cosθ L cosθ en Lichtstom, en iese Fläche in en voeen Halbaum abstahlt egibt sich uch Integation übe en voeen Halbaum: Φ Φ L cosθ ω L cosθ ω Esetzen es Raumwinkels uch ie Kugelkalotte auf e Einheitshalbkugel liefet: 9. Octobe 1

3 π b) us e efinition e Raiosity B : Φ L cosθ sinθ θ ϕ Lπ cos θ sinθ Lπ cos π [ θ] Lπ ( Fi ist gleich Lapi ) π θ B Φ --- folgt fü einen iffusen Lambet-Stahle: ufgabe 7: Sonne B Lπ Lπ ie maximale Beleuchtungsstäke ist zu ewaten, wenn ie Sonne senkecht auf en Boen stahlt. ie paktisch gemessenen Wete sin geinge als ie theoetischen aufgun von bsoption un Steuung. ie folgenen Rechnungen sin fü eine Klausu zu schwe un nicht epäsentativ. Efahungsgemäß ween fü iese ufgabe unteschieliche nsätze vesucht, waum hie 4 Lösungswege gegenübegestellt ween. ie Sonne als Punktlichtquelle ie Sonne als Scheibe (Raius e Scheibe entspicht em Raius e Kugel) ie Sonne als Scheibe (ichtige Raius) ie Sonne als Kugel 1. ie Sonne als Punktlichtquelle Eine Möglichkeit besteht ain ie Sonne als Punktlichtquelle zu betachten. Fü eine Punktlichtquelle wi ie Lichtstäke I benötigt, enn fü ie Beleuchtungsstäke auf e Ee gilt ann (s. ufgabe 4): E Φ I ω e I e cosθ e e e e I cosθ e ie gesuchte, maximale Beleuchtungsstäke ehält man fü en senkechten Lichteinfall, also cos Octobe 1 3

4 Um ie Lichtstäke I e Sonne aus en gegebenen Gößen (Raius un Leuchtichte L ) zu beechnen, vewenen wi en gleichen nsatz, wie aus e voangegangenen ufgabe. Jees Flächenelement auf e Kugel entspicht einem Lambetstahle mit einem Lichtstombeitag Φ. Φ L π en gesamten Lichtstom e Kugel ehalten wi uch Integation übe ie gesamte Obefläche e Kugel. Φ Φ L π 4π L Fü ie Lichttstäke eine Punktlichtquelle gilt (s. ufgabe 4): Φ 4 π I Einsetzen liefet ie gesuchte, maximale Beleuchtungsstäke: I Φ 4π E L πl π 4π. ie Sonne als Scheibe (Raius e Scheibe entspicht em Raius e Kugel) Eine anee (abe falsche) nnäheung wäe, ie Kugel mit Raius Raius zu betachten. als eine senkechte Scheibe mit s tan --- e ie Beleuchtungsstäke (auf e Ee) beechnet sich uch Integation übe en gesamten Raumwinkel es gezeigten Kegels mit Hilfe e (konstanten) Leuchtichte L e Sonne: 9. Octobe 1 4

5 E L cosθ e ω s L cos a ie Pojektion e senkechten Keisscheibe ie Kugelkalotte auf e Einheitskugel voll ausfüllt, kann as Integal auch übe ie Kugelkalotte (mit maximalem Öffnungswinkel ) bestimmt ween. ω s 3. ie Sonne als Scheibe (ichtige Raius) E L cos ω s L cosθ sinθθϕ L cosθ sinθθ πl cos [ θ] πl ( 1 cos θmax ) πlsin πlsin ( ) atan --- πl ( ) πl (Fomfakto eine Keisscheibe) e letzte nsatz ist insoweit koekt, ass ie Integation übe ie Obefläche e Kugel esetzt ween kann uch eine Integation übe ie abgeeckte Kugelkalotte. Falsch ist alleings ie Göße e gewählten Scheibe, wie nachfolgene Zeichnung zeigt. O ' ' e sin ' -- ' + ' --- us e letzten Betachtung wäe ie ichtige Gleichung zu Beechnung e Beleuchtungsstäke: ' E πl πl ' ---- πl----- ' + ' (Fomfakto eine Kugel) ies ist tatsächlich as ichtige Egebnis. 4. ie Sonne als Kugel (kompliziete nsatz) 9. Octobe 1 5

6 Zu Integation übe ie Obefläche e Sonne wi ein Kooinatensystem so gewählt, ass e Uspung em Mittelpunkt e Sonne entspicht un e Betachte in Richtung e z-chse (im bstan vom Mittelpunkt e Sonne) liegt. O θ n e P e θ s P s n s cosϕ sinθ p s sinϕsinθ cosθ p s p e cos --- cosϕsinθ sinϕsinθ cosθ p e 1 n s -- p s n e 1 e nsatz beginnt mit e Integation übe en Raumwinkel Integetation übe ie Obefläche e Sonne. K K e Sonne, e esetzt wi uch ie Ein Flächenelement auf e Obefläche e Sonne wi übe ie ( θ, ϕ) -Kooinaten ausgeückt. Vosicht: hiebei hanelt es sich nicht um ie Paametisieung e Einheitskugel um en Empfänge, sonen um ie Paametisieung e Obefläche e Sonne mit Raius. Es gilt: E L s cosθ cosθ e ω s L e cosθ s s s K Einsetzen iese Gleichungen un Lösen es bestimmten Integals füht schließlich zu e ewateten Lösung: K cosθ E L s e cosθ s sinθθϕ ( cosϕsinθ) + ( sinϕsinθ) + ( cosθ) cosθ + cosθ + n cos o cosθ e cosθ s p s o ( cosϕsinθ) + ( sinϕsinθ) + ( cosθ) cosθ cosθ cosθ Octobe 1 6

7 E πl----- etailliete Rechnung: E L s ( cosθ) ( cos θ ) sinθ ( cosθ + ) θ L s ( cosθ cos θ + cosθ) sinθ ( cosθ + ) θ L s 4 + cos θ ( + ) cosθ ( cosθ + ) L s 4 + ( + ) cos θ max cos ( + ) ( ) 4 ( cos + ) L s 4 + ( + ) ( + ) ( ) 4 ( + ) L s 4 + ( + ) ( ) ( ) 4 ( ) ( + ) L s ( + ) ( 4 + ( + ) + 4 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) L s ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) L s ( ) ( ) ( + ) L s ( ) πl s ( ) ( ) ( + ) ( ) Fazit: πl Egal, ob ie Sonne als Punktlichtquelle oe Kugel (bzw. eine senkechte Keisscheibe) betachtet wi, so lautet ie Fomel zu Beechnung e maximalen Beleuchtungsstäke: E πl----- Einsetzen e Wete L 1,8 1 9 c m 1, -- 1, km un km liefet: ufgabe 8: Leuchtichte E ,4 lx uch ie Fläche es Sensos (Pixel) un ie Linse ist ein feste Raumwinkel efiniet. Entscheien fü ie Beleuchtungsstäke auf em Senso ist e Lichtstom in iesem Raumwinkel. 9. Octobe 1 7

8 Betachtet wi ein Pixel eine Kamea (bzw. eine kleine Fläche e Retina) e, wobei e Raumwinkel ω es einfallenen Lichts wie folgt festgelegt ist. s s e ω L s 1 L s Betachtet man eine Wan aus istanz 1 oe, so veänet sich auch e usschnitt aus e Wan, essen Lichtstom letzlich auf e ankommt. Setzt man ie Wan als iffusen Stahle mit konstante Leuchtichte voaus, so veinget sich ie Beleuchtungsstäke zwa mit em Quaat e istanz; L s entspechen nimmt ie Fläche abe mit em Quaat es Raius zu. as Resultat ist eine konstante Beleuchtungsstäke, unabhängig von e istanz. ies lässt sich auch mathematisch zeigen. Betachten wi ie Beleuchtungsstäke auf em Pixel in Bezug auf eine senkechte Keisscheibe mit Raius un bstan un eine konstanten Leuchticht L (s. ufgabe 7.), so gilt: a as Vehältnis fü alle bstäne von e Wan konstant bleibt, ist ie Beleuchtungsstäke auf em Pixel ebenfalls konstant. E e 1 E e π L π L Octobe 1 8