Elektrodynamik. 1. Elektrostatik

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1 Elektrodynamik 1. Elektrostatik 1.1 Elektrische Ladung Es gibt positive und negative Ladungen. Sie ist quantisiert, d.h. jede beobachtete Ladung ist ein ganzes Vielfaches der Elementarladung: In jedem abgeschlossenen System ist die Summe aller Ladungen konstant. Die Ladung von Teilchen ist an Masse gebunden und relativistisch invariant (unabhängig von Geschwindigkeit) 1.2 Coulomb sches Gesetz,, (1.1) Superpositionsprinzip:,, (1.2) 1.3 Das elektrische Feld Definition: Ist die Kraft, die eine bel. Ladungsverteilung auf eine punktförmige Probeladung ausübt, so ist die elektrische Feldstärke dieser Verteilung am Ort der Ladung, (1.3) Feld einer Punktladung q im Koordinatenursprung (1.4) Feldstärke einer Verteilung von N Punktladungen Kontinuierliche Ladungsverteilung (1.5) Ladungsdichte lim 1.4 Das elektrische Potential Potentielle Energie einer Punktladung q im Feld E einer Ladungsverteilung Definition:, Potential einer kontinuierlichen Ladungsverteilung Potentialdifferenz zwischen und bezeichnet man als elektrische Spannung (1.6) (1.7) (1.8) (1.9),(1.10) (1.13) (1.14) Es gilt: 0 (1.15) Aus Stokes schen Satz folgt: x 0 (1.16)

2 Die elektrischen Feldlinien zeigen stets zu Gebieten mit niedrigerem Potenzial. Der Wert des Potentials kann an einem beliebigen Punkt gleich Null gewählt werden. 1.5 Zusammenhang zwischen Potential und Feldstärke (1.18),(1.19) Potential eines Dipols mit Abstand d auf der z-achse (in Zylinderkoordinaten) (1.23) Dipolmoment Drehmoment auf Dipol im elektrischen Feld x (1.25) Elektrostatische Wechselwirkungsenergie (potentielle Energie) eines Dipols im elektrischen Feld 1.6 Der Gauß sche Satz der Elektrostatik : Vektor senkrecht auf Flächenelement der Größe da, weist bei geschlossener Fläche nach außen Definition: Elektrischer Fluss Φ durch die Fläche A Φ Gauß sches Gesetz: Betrachten beliebig geformte, geschlossene Fläche A, die eine Gesamtladung q umschließt. Der gesamte elektrische Fluss durch diese Fläche ist dann: Φ (1.25),(2.1) - Der Fluss durch eine Fläche, die keine Ladung umschließt ist Null - Das elektrische Feld außerhalb einer Kugel mit gleichmäßiger Ladungsverteilung ist äquivalent dem einer Punktladung 2. Anwendung der Elektrostatik 2.1 Unendlich ausgedehnte, ebene Ladungsschicht Nur A1 und A2 tragen zum el. Fluss bei, weil die Wände senkrecht zum elektrischen Feld stehen Aus Gauß schen Satz folgt: (2.3), Flächenladungsdichte (2.4) 2.2 Elektrisches Feld eines Plattenkondensators Superposition der Felder: Sie addieren sich im Innenraum und heben sich außen gegenseitig auf Mit (2.4) (2.5) Mit (1.14) und (2.5) (2.6) Kapazität:, (2.8),(2.9) Parallelschaltung von Kondensatoren (2.10) Reihenschaltung von Kondensatoren (2.11)

3 2.3 Unendlich langer, geladener Draht Fluss durch Zylinderfläche ist Null, ist Ladung pro Längeneinheit 2.4 Koaxialkabel (Zylinderkondensator) Kapazität für Koaxialkabel der Länge l: und 2 ß 0, 2 ln Elektrisches Feld einer homogen geladenen Kugel Gauß scher Satz: 4 (2.14) (2.16) (2.17) Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel ist im Außenraum genau so groß, als sei die gesamte Ladung im Kugelmittelpunkt konzentriert. Feld im Inneren der Kugel, d.h. R<Ro: 4 (2.18) Kapazität der Kugel gegenüber Gegenelektrode im Unendlichen: 4 (2.19) 2.6 Leiter in einem statischen elektrischen Feld Elektrische Leiter enthalten frei bewegliche Ladungsträger, die in elektrischen Feldern in Folge der Coulombkraft verschoben werden. - Das el. Feld im Inneren eines Leiters ist in jedem Punkt 0 - Die elektrische Feldstärke in Hohlräumen innerhalb eines Leiters ist Null (Faraday scher Käfig) - Mit Gauß schen Satz folg aus dem ersten: Die Gesamtladung im Inneren eines Leiters ist Null, d.h. die Ladungen befinden sich auf der Oberfläche - In einem Leiter bilden sich immer Oberflächenladungen derart, bzw. vorhandene Ladungen werden auf der Oberfläche so verteilt, dass E innerhalb des Leiters Null wird (Grund: Zustand kleinster potentieller Energie) - Das Potential im Inneren eines Leiters und auf dessen Oberfläche ist konstant. Die Oberfläche ist Äquipotentialfläche - Die Ladungen verteilen sich auf der Oberfläche entsprechend der Krümmung: ~ E ist größer an Oberflächenteilen mit starker Krümmung Leitende Kugel E-Feld steht immer Senkrecht auf Metalloberfläche (Aquipotentialfläche) Feld an Oberfläche: (2.20) Mehrere Kugeln, leitend verbunden Potential für beide Kugeln gleich: Da folgt aus (2.20) Metalloberfläche ist Äquipotentialfläche höhere Flächenladungsdichte an Spitzen

4 Laplace-Gleichung für das Potential Gauß scher Integralsatz: Poisson-Gleichung: (2.20)a Eindeutigkeitssatz der Elektrostatik Ist für ein elektrostatisches Problem eine Lösung,, bekannt, so ist dies zugleich die einzig mögliche Lösung 2.7 Feldelektronen-Mikrospkop Wolframspitze mit sehr kleinem Krümmungsradius ragt in Glaskolben, an dessen Innenseite ein leitender, floureszierender Schirm aufgebracht ist. Glaskolben ist mit He-Atomen gefüllt. Man legt sehr hohe Spannungen zwischen Wolframspitze und Floureszenzschirm an (Spitze pos, Schirm neg). Es entsteht eine hohe Feldstärke an Spitze. He-Atome stoßen mit Wolframspitze zusammen und geben Elektron ab, sausen dann auf Schirm zu (parallel zu den radialen elektrischen Feldlinien) und entwerfen dort beim Auftreffen ein vergrößertes Bild der Wolframoberfläche. 2.8 Rastertunnelmikroskop Wenn man eine metallische Spitze im Abstand von nur einigen Angstrom über eine elektrisch leitende Kristalloberfläche führt, ist der Tunnelstrom ein Maß für den Abstand zwischen Spitze und Substrat Abbildung der Kristalloberfläche 2.9 Faraday scher Käfig Das Feld innerhalb von Hohlräumen in einem elektrischen Leiter ist Null. Mit Gauß schem Satz folgt, dass die Gesamtladung im Hohlraum Null sein muss. Es gilt: 0 Betrachten nun Integration längs C: Da im Leiter E=0 ist in diesem Bereich Damit dann 0 0 muss für Hohlräume 0 gelten Da dies für beliebige Kurven C gelten muss, folgt E=0 im Hohlraum Van de Graaff-Generator Ladungsübertragung im feldfreien Hohlraum einer Metallkugel Kugel kann auf wesentlich höheres Potential aufgeladen werden als es der Spannung entspricht Influenz In einem elektrisch neutralen Leiter im elektrischen Feld E werden Ladungsträger verschoben und sammeln sich an der Oberfläche. Sie erzeugen ein Feld, dass das angelegte Feld im Inneren kompensiert.

5 2.11 Bildladung Gauß scher Satz gut anwendbar bei ortsfester Ladungsverteilung, problematisch jedoch bei Leitern, da Ladung frei beweglich. Feldlinien haben links den gleichen Verlauf, als ob sich hinter der Metalloberfläche eine neg. Ladung befinden würde 2.12 Energie des elektrischen Feldes Gespeicherte Energie in einem Kondensator ist die Arbeit, die aufgewendet werden muss um Kondensator von Null auf +-Q aufzuladen: Mit und Energiedichte des E-Feldes: (2.22) gilt allgemein für jedes beliebige Feld Gesamtarbeit zum Aufbau eines beliebigen Systems von Ladungen 3. Materie im elektrischen Feld (2.21) (2.22) Dielektrikum: elektrisch nichtleitendes Material (Isolator) Spannung U sinkt ab, wenn ein nichtleitendes Medium in den Zwischenraum gebracht wird, Definition: (2.22)a 1 (2.23) (2.24) 3.1 Elektrostatik in einem Dielektrikum Polarisierbarkeit: Eigenschaft eines Dielektrikums ein angelegtes E-Feld zu beeinflussen Bildung der Ladungen: a) Verschiebungspolarisation: Es entstehen induzierte Dipolmomente durch Verschiebung der Ladungsschwerpunkte b) Orientierungspolarisation: vorhandene polare Molekül, die infolge Wärmebewegungen ungeordnet sind, werden im Feld teilweise ausgerichtet Polarisation:, (3.1) : atomare Polarisierbarkeit : frei bewegliche Ladungen (z.b. auf Platten des Kondensators) : gebundene Ladungen (Polarisationsladungen, Bestandteile des Dielektrikums)

6 Dielektrischer Block: Die Netto-Polarisation ist im Inneren in jedem makroskopischen Volumen Null, nur an Grenzflächen tritt Oberflächenladung auf (3.4),(3.5) Änderung des E-Feldes aufgrund der auftretenden Polarisation: (3.6) Gesamtladung: (3.7) Mit (3.6) (3.9) Vektor der dielektrischen Verschiebung :, (3.10) Gauß sches Gesetz für Dielektrika: (3.11) (Maxwell Gleichung in Integralform) Elektrische Suszeptibilität : elektrische Suszeptibilität, 1 1 : atomare Polarisierbarkeit, Materialgleichung für dielektrisches Medium: (3.12) 1 (3.13) E: Feldstärke im Inneren des Mediums Plattenkondensator mit und ohne Füllung 3.15 Berechnung der Feldstärke, 1 (3.13) und (3.11) Allgemein gilt: Bei Erfüllung des Raumes zwischen isolierten geladenen Leitern ( mit einem homogenen Dielektrikuim sinken Feldstärke, Potentiale, gegenseitige Kräfte und Feldenergien um den Faktor 3.2 Das Feld einer polarisierten Kugel Im Inneren der Kugel ist die gemittelte Ladung Null Bei makroskopischer, quasikontinuierlicher Ladungsverteilung: Verschiebung von pos. und neg. geladener Kugel gegeneinander um Länge d: P sei vom Betrag und Richtung im ganzen Volumen konstant Feld der Kugel gleich dem eines Dipols am Ursprung, bei dem gesamte in Punkten konzentrierte positive und negative Ladung um Strecke d gegeneinander verschoben sind Mit (1.23) und Fernfeldnäherung, (3.17), mit (3.18) (3.19) Feld in der Kugel ist homogen und konstant, außerhalb gleicht das Feld des einen Dipols mit Dipolmoment Befindet sich die Kugel in einem äußeren elektrischen Feld, so muss nach dem Superpositionsprinzip dieses noch zu E hinzuaddiert werden.

7 3.3 Die Dielektrizitätskonstante eines dichten Mediums Dichtes Medium (Flüssigkeit): Jedes Atom ist in einem isotropen Isolator so von Nachbaratomen umgeben, dass es in einem nahezu kugelförmigen Hohlraum sitzt. Für dichte Medien: (3.20), 1 1 (3.21),(3.22) (3.23) Clausius-Mosotti-Beziehung 3.4 Die Orientierungspolarisation Parelektrizität Molekulare Gase mit permanenten Dipolen (z.b. HCl) - Im homogenen E-Feld (siehe Kapitel 1.5) - Im inhomogenen E-Feld (Dipol im Feld einer Punktladung) a) Dipol liegt in Richtung von E Δ (3.24) Feld nimmt mit r ab ist negativ Dipol wird in Bereich höherer Feldstärke gezogen Allgemein gilt: (3.25) b) Dipol liegt nicht in Richtung von E cos,, (3.26) Auch nichtpolares Atom oder Molekül wird in Richtung des wachsenden Feldes gezogen In parelektrischen Medien ist die elektrische Suszeptibilität temperaturabhängig (3.27) Curie-Verhalten 3.5 Elektrische Polarisation in Festkörpern Ferroelektrizität: Kristalle, die oberhalb einer kritischen Temperatur (T C ) paraelektrisch sind, unterhalb der kritischen Temperatur richten sich spontan alle Dipole aus es tritt auch ohne Feld eine makroskopische Polarisation auf. (3.28) Piezo- (oder Pyroelektrischer) Effekt Polarisation im Kristall kann durch die Anwendung von Druck, bzw. Temperatur geändert werden, dabei ändert sich die Oberflächenladung.