Einführung in die Statistik

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1 Einführung in die Statistik Analyse und Modellierung von Daten von Prof. Dr. Rainer Schlittgen Universität Hamburg 12., korrigierte Auflage Oldenbourg Verlag München

2 Inhaltsverzeichnis 1 Statistische Daten Erhebungen...: Problemstellung Begriffsbildungen Statistische Variablen Begriffsbildungen Klassifikationen Transformationen Die Datenmatrix Aufgaben 9 2 Darstellung univariater Datensätze, Häufigkeitsverteilungen diskreter Variablen Problemstellung Häufigkeiten Grafische Darstellungen Häufigkeitsverteilungen stetiger Variablen Problemstellung Geordneter Datensatz Stemleaf-Diagramm Häufigkeitstabelle Das Histogramm : Die empirische 1 Verteilungsfunktion Einführendes Beispiel Empirische Verteilungsfunktion Klassierte Daten Quantile, Problemstellung Bestimmung der Quantile Spezielle Quantile Quantildiagramme Zahlen-Zusammenfassung Box-Plots Aufgaben.' 35

3 X Inhaltsverzeichnis 3 Maßzahlen für univariate Datensätze Maßzahlen der Lage Erfassung des Niveaus Der Mediän Das arithmetische Mittel Berechnung des arithmetischen Mittels Eigenschaften des arithmetischen Mittels Weitere Maßzahlen der Lage Streuungsmaße Problemstellung..: Durchschnittliche Abweichung und Standardabweichung Varianz Weitere Streuungsmaßzahlen Stabilisierung der Streuung Schiefe empirischer Verteilungen x Einführendes Beispiel Maßzahlen der Schiefe Transformation zur Symmetrisierung Konzentrationsmessung Problemstellung Maße der absoluten Konzentration : Relative Konzentration Aufgaben 77 4 Multivariate Datensätze Darstellung multivariater diskreter Datensätze Problemstellung ' Bivariate Kontingenztabellen Bedingte relative Häufigkeiten Mehrdimensionale Kontingenztabellen Darstellung bivariater stetiger Datensätze Streudiagramm...'> Konvexe Hüllen ' Grafische Darstellung der bivariaten Häufigkeitsverteilung Mehrdimensionale Daten Maßzahlen des Zusammenhangs ' Problemstellung Die Kovarianz Der Korrelationskoeffizient von Bravais-Pearson Der Rangkorrelationskoemzient von Spearman Der Phi-Koeffizient 99

4 Inhaltsverzeichnis XI 4.5 Elementare Regressionsrechnung Problemstellung Bestimmung der Regressionsgeraden Das Bestimmtheitsmaß Aufgaben Indexzahlen und Zeitreihenanalyse Indexzahlen Messziffern Indizes '!..." Rechnen mit Indizes Elementare Zeitreihenanalyse Trendbestimmung Saisonbereinigung Aufgaben Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsexperimente und Ereignisse Zufallsexperimente Ereignisse : Wahrscheinlichkeiten Chancen von Ereignissen Häufigkeiten von Ereignissen Statistische Wahrscheinlichkeit Axiome von Kolmogorov Das Gleichmöglichkeitsmodell ' Zufallsauswahlen aus endlichen Grundgesamtheiten Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit Unabhängigkeit Zufallsvariablen! Einführendes Beispiel Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen Verteilungsfunktion Aufgaben : Diskrete Verteilungen Diskrete Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeitsfunktion Bestimmung eines Verteilungsmodells Verteilungsfunktion 168

5 XII Inhaltsverzeichnis 7.2 Maßzahlen diskreter Verteilungen Erwartungswert diskreter Zufallsvariablen Varianz diskreter Zufallsvariablen Multivariate diskrete Zufallsvariablen Kovarianz und Korrelation Aufgaben Diskrete Verteilungsmodelle Die hypergeometrische Verteilung Die Binomialverteilung Einführendes Beispiel Herleitung der Verteilung Eigenschaften Anpassung an empirische Verteilungen Die Multinomialverteilung Die Poisson-Verteilung Problemstellung Ableitung und Eigenschaften Anpassung an empirische Verteilungen Die geometrische Verteilung Einführendes Beispiel Ableitung und Eigenschaften : Die negative Binomialverteilung Ableitung und Eigenschaften ' Anpassung an empirische Verteilungen i Zur Auswahl eines diskreten Verteilungsmodells ' Einführendes Beispiel Das Auswahldiagramm Aufgaben Stetige Verteilungen Grundlagen Einführendes Beispiel Stetige Verteilungsfunktionen Dichtefunktion Theoretische Quantile Maßzahlen stetiger Verteilungen Maßzahlen der Lage Die Varianz Schiefe 224

6 Inhaltsverzeichnis XIII 9.3 Multivariate stetige Verteilungen Aufgaben Stetige Verteilungsmodelle Stetige Gleichverteilung Die Pareto-Verteilung Anpassung an empirische Verteilungen Die Exponentialverteilung Ableitung und Eigenschaften ^...-..T Anpassung an empirische Verteilungen Die Laplace-Verteilung Die Gammaverteilung Aufgaben Die Normalverteilung Grundlagen ' Problemstellung Definition und Bedeutung der Parameter Eigenschaften Anpassung an empirische Verteilungen : Approximation von Verteilungen Problemstellung Der zentrale Grenzwertsatz Approximation der Binomialverteilung Approximation der Poisson-Verteilung, Die logarithmische Normalverteilung Problemstellung : Definition und Eigenschaften Anpassung an empirische Verteilungen Die bivariate Normalverteilung Problemstellung Ableitung und Eigenschaften Anpassung an empirische Verteilungen Aufgaben Stichprobenfunktionen Grundlagen Einführendes Beispiel Begriffsfestlegung Spezielle Stichprobenfunktionen Das arithmetische Mittel 278

7 XTV Inhaltsverzeichnis Die relative Häufigkeit Die empirische Verteilungsfunktion Monte-Carlo-Simulation Aufgaben Schätzen von Parametern Schätzfunktionen und ihre Eigenschaften Problemstellung Schätzfunktionen Mittlerer quadratischer Fehler ".."." Erwartungstreue Konsistenz Robustheit Standardfehler Schätzmethoden s Problemstellung Momentenmethode Maximum-Likelihood-Methode Bestimmung des Maximums von L{6) Aufgaben Konfidenzintervalle Problemstellung Allgemeine Definition eines Konfidenzintervalles Konfidenzintervalle für Maßzahlen der Lage Konfidenzintervall für n bei Normalverteilung mit unbekanntem a Approximative Konfidenzintervalle für den Erwartungswert Konfidenzintervall für den Mediän Konfidenzintervalle für Maßzahlen der Streuung Konfidenzintervall für a 2 bei Normalverteilung Konfidenzintervalle für zwei Quartile Konfidenzintervalle für Wahrscheinlichkeiten und Anteile Problemstellung Approximatives Konfidenzintervall für eine Wahrscheinlichkeit Approximatives Konfidenzintervall für einen Anteil Länge der Konfidenzintervalle für p Aufgaben Testen von Hypothesen Reine Signifikanztests Problemstellung 335

8 Inhaltsverzeichnis XV Tests auf der Basis von Konfidenzintervallen Tests auf der Basis von Prüfgrößen l DerP-Wert Die Elemente der klassischen Testtheorie Problemstellung Formen von Hypothesen Fehlerarten Die Gütefunktion Aufgaben Spezielle Parametertests Einstichprobentests Tests auf/i bei Normalverteilung Approximative Tests auf// Test auf p. bei symmetrischen Verteilungen Test auf/3 bei beliebigen stetigen Verteilungen Test auf a 2 bei Normalverteilung Test auf eine Wahrscheinlichkeit p Parametervergleiche bei unabhängigen Stichproben Vergleich von [i x und ßy bei Normalverteilung; a\ undcrf, bekannt Vergleich von ß x und [iy'<o\ und a\ unbekannt; Stichproben groß Vergleich von ji x und \x Y bei Normalverteilung; a\ und a\ unbekannt; Stichproben klein Vergleich von p. x und fi Y Vergleich zweier Wahrscheinlichkeiten Aufgaben Varianzanalyse Einfache Varianzanalyse Einführendes Beispiel Das Modell Der Test bei Normalverteilung Multiple Vergleiche bei Normalverteilung Ungleiche Streuungen Nicht-normalverteilte Variablen Zweifache Varianzanalyse ' Einführendes Beispiel Modell mit Wechselwirkungen Tests bei Normalverteilung Ungleiche Varianzen Nicht-normalverteilte Störungen Aufgaben 389

9 XVI Inhaltsverzeichnis 18 Anpassungs- und Unabhängigkeitstests Anpassungstests Problemstellung Der Chi-Quadrat-Anpassungstest für vollständig spezifizierte Verteilungen Der Chi-Quadrat-Anpassungstest für Verteilungen mit unbekannten Parametern Das Chigramm Der Kolmogorov-Smirnov-Test Anpassungstests vom Korrelationstyp Unabhängigkeitstests :.7..' Problemstellung Der Chi-Quadrat-Test Tests auf Korrelation Aufgaben Das Regressionsmodell Das einfache lineare Regressionsmodell Einführende Beispiele Entwicklung des Modells Schätzen und Testen im einfachen linearen Regressionsmodell, Problemstellung Die Kleinst-Quadrate-Schätzfunktion Eigenschaften der KQ-Schätzer Das Regressionsmodell mit normalverteilten Fehlern Konfidenzintervalle und Tests für die Regressionskoeffizienten Konfidenzintervalle und Konfidenzband für die Regressionsgerade Prognoseintervalle Residuenanalyse Systematische Änderung des Mittels Inhomogenität der Varianz Ausreißer Verletzung der Normalverteilungsannahme Linearisieren eines Zusammenhanges Problemstellung Transformationen Das multiple lineare Regressionsmodell Problemstellung Das Modell und seine Schätzung Koeffizientenschätzer bei zwei erklärenden Variablen Interpretation der Koeffizienten Testen der Koeffizienten Beurteilung der multiplen Regression Überprüfung der Modellannahmen 449

10 Inhaltsverzeichnis XVII MultikoUinearität Aufgaben 453 Lösungen zu den Aufgaben mit ungeraden Nummern 457 Tabellen 489 Literatur 515 Index 521