Von Präferenz zur Nutzenfunktion Optimierungsprobleme mit Nutzenfunktionen. Nutzenfunktionen. Sebastian Chanaa. 8. Januar 2018

Transkript

1 Optimierungsprobleme mit 8. Januar 2018

2 Optimierungsprobleme mit Inhaltsverzeichnis 1 Von Präferenz zur Nutzenfunktion 2 Optimierungsprobleme mit

3 Präferenz Von Präferenz zur Nutzenfunktion Optimierungsprobleme mit Gegeben: Ein Menge X Eine Relation R auf X, welche eine Präferenz repräsentiert heißt (schwache) Präferenzrelation, wenn gilt: ist reflexiv, transitiv und vollständig. reflexiv: x X : x x transitiv: x, y, z X : x y, y z x z vollständig: x, y X : x y oder y x

4 Optimierungsprobleme mit Besser-, Schlechter-, Idifferenzmengen Definition Sei eine Präferenzrelation auf X R n : 1 B y := {x X : y x} - die Bessermenge B y von y 2 S y := {x X : x y} - die Schlechtermenge S y von y 3 I y := B y S y - die Indifferenzmenge I y von y Aufgaben Sei X = R 2 +. Zeichne Indifferenzmengen zu: 1 Kom : x Kom y min(x 1, x 2 ) min(y 1, y 2 ), 2 Sub : x Sub y x 1 + x 2 y 1 + y 2, 3 Lex : x 3 y x 1 y 1 oder x 1 = y 1, x 2 y 2

5 Optimierungsprobleme mit Indifferenzmengen

6 Optimierungsprobleme mit Nutzenfunktion Definition Sei eine Präferenzrelation auf X R n. Eine Funktion U : X R heißt Nutzenfunktion, die repräsentiert, falls für alle x, y X : U(x) U(y) x y Aufgaben 1 Nutzenfunktion zu Sub? 2 Nutzenfunktion zu Lex? 1 Sub : x Sub y x 1 + x 2 y 1 + y 2, 2 Lex : x Lex y x 1 y 1 oder x 1 = y 2, x 2 y 2

7 Optimierungsprobleme mit Keine Nutzenfunktion zu Lexikographischen Präferenzen Angenommen es existiert eine Nutzenfunktion U, die Lex auf R 2 + repräsentiert. Sei A = (r, 1), B = (r, 2), A = (r, 1) und B = (r, 2) mit r < r. Offenbar muss gelten: U(A ) < U(B ) < U(A ) < U(B ). Da Q dicht in R liegt, existieren q, q mit U(A ) < q < U(B ) < U(A ) < q < U(B ). Sei f : R Q mit f (r ) = q. Wegen f (r ) = q < q = f (r ) für alle r < r ist f streng monoton wachsend. Somit auch injektiv. Widerspruch, da Q abzählbar und R überabzählbar. Somit existiert keine Nutzenfunktion U, die Lex repräsentiert.

8 Optimierungsprobleme mit Nutzenfunktion Falls zur Präferenz eine Nutzenfunktion U existiert, ist diese im Allgemeinen nicht eindeutig: Lemma Zwei U 1 und U 2 repräsentieren die selbe Präferenz, gdw. gilt: Es existiert eine streng monotone Funktion φ : R R mit U 1 = φ U 2. Beispiele Folgende repräsentieren die selbe Präferenz: 1 U 1 (x 1, x 2, x 3 ) = x 1 x 2 x 3 2 U 2 (x 1, x 2, x 3 ) = log x 1 + log x 2 + log x 3 3 U 3 (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 x 2 x 3 ) 1

9 Optimierungsprobleme mit Stetige Präferenzrelation Definition Eine Präferenzrelation heißt stetig, gdw. für alle y X R n gilt, B y und S y sind abgeschlossen. Aufgaben 1 Ist Sub stetig? 2 Ist Lex stetig? 1 Sub : x Sub y x 1 + x 2 y 1 + y 2, 2 Lex : x Lex y x 1 y 1 oder x 1 = y 2, x 2 y 2

10 Optimierungsprobleme mit Lexikographische Präferenzen Lexikographische Präferenzen sind nicht stetig, denn: Betrachte x m = (1 + 1m ), 1 mit lim x m = (1, 1) =: x m und den Punkt y = (1, 2). Offenbar gilt für alle m N : x m B y, jedoch x B y. Somit ist B y nicht abgeschlossen und damit Lex nicht stetig.

11 Optimierungsprobleme mit Existenz stetige Nutzenfunktion Definition Eine Präferenzrelation auf X R n heißt lokal ungesättigt, wenn für alle x X und r > 0 gilt, dass es y B(x, r) existiert, sodass x y, aber y x. Theorem Sei X eine abgeschlossene und konvexe Teilmenge des R n mit einer stetigen, lokal ungesättigten Präferenzrelation. Dann existiert eine stetige Nutzenfunktion U, die repräsentiert.

12 Optimierungsprobleme mit Existenz differenzierbarer Nutzenfunktion I Definition Sei eine Präferezrelation auf X R n. heißt monoton, falls für alle x, y X mit x y (komponentenweise) auch x y gilt. Definition Sei X R m. X heißt glatte n-mannigfaltigkeit, falls es für alle x eine offene Umgebung V von x gibt, sodass eine offene Menge W R n und ein Diffeomorphismus φ : V W existiert.

13 Optimierungsprobleme mit Existenz differenzierbarer II Definition Sei eine stetige, monotone Präferezrelation auf einer offenen Menge X R n. Sei I := {(x, y) X X : x I y }. Die Relation heißt glatt, wenn I eine glatte n-mannigfaltigkeit ist. Theorem Sei X eine offene Teilmenge des R n und eine stetige, lokal ungesättigte Präferenzrelation. Weiter sei für alle y X I y zusammenhängend. Dann existiert eine differenzierbare Nutzenfunktion U, die repräsentiert, gdw. glatt ist.

14 Optimierungsprobleme mit Optimierung Situation: 1 X R n mit Präferenz auf X 2 Nutzenfunktion U : X R, U repräsentiert 3 Meist ist Optimierung unter Nebenbedingungen gesucht 4 Je nach Eigenschaften von U und Art der Nebenbedingungen verschiedene Lösungsverfahren

15 Optimierungsprobleme mit Lösungsverfahren Lagrange U(x) MAX diffbar, g 1,..., g k diffbar, mit g 1 (x) = 0, g 2 (x) = 0,..., g k (x) = 0 Lagrange-verfahren Kuhn - Tucker U(x) MAX diffbar, g 1,..., g k diffbar, mit g 1 (x) 0, g 2 (x) 0,..., g k (x) 0 Optimierung unter Ungleichungsrestriktionen (Kuhn-Tucker)

16 Budget Von Präferenz zur Nutzenfunktion Optimierungsprobleme mit Im Folgenden spezielle, mikroökonomische Sichtweise: Definition Sei p R n ein Preisvektor. Dann heißt da Geld-Budget. B(p, m) := { x R n + : p x m } Definition Sei und ω R n + Anfangsausstattung. Sei p R n ein Preisvektor. Dann heißt B(p, ω) := { x R n + : p x p ω } da Anfangsausstattungs-Budget.

17 Optimierungsprobleme mit Haushaltsoptimum Problem Problem sei gegeben als (B(p, m), ). Gesucht x R (p, m), s.d.: 1 p x R m 2 Für alle y x R folgt y p > m

18 Optimierungsprobleme mit MRS und MOC X R 2 +, U : X R diffbar. Definition Grenzrate der Substitution (MRS) MRS := U x1 U x2 Wenn der Haushalt eine zusätzliche Einheit x 1 konsumiert, wie viele Einheiten x 2 kann er aufgeben um indifferent zu bleiben MRS

19 Optimierungsprobleme mit MRS und MOC X R 2 +, U : X R diffbar. Definition Grenzkosten (MOC) MOC := m x1 m x2 = p 1 p 2 Wenn der Haushalt eine zusätzliche Einheit x 1 erwirbt, wie viele Einheiten x 2 muss er aufgeben um auf der Budgetgeraden zu bleiben MOC

20 Optimierungsprobleme mit MRS und MOC

21 Optimierungsprobleme mit MRS und MOC

22 Optimierungsprobleme mit Konvexe Präferenzen

23 Optimierungsprobleme mit Perfekte Substitute

24 Optimierungsprobleme mit Konkave Präferenzen

25 Optimierungsprobleme mit Perfekte Komplemente

26 Quellen Von Präferenz zur Nutzenfunktion Optimierungsprobleme mit Mehta, Ghanshyam B., Preference and Utility, in: Barberà, Salvador (ed.), Handbook of Utility Theory. Priciples, Vol.1, 1998, S Wiese, Harald, Advanced Microeconomics. Comparative statics and duality theory, in: (zuletzt aufgerufen: ). Wiese, Harald, Mikroökonomie. Eine Einführung, Berlin 2014.