1.5 Erwartungswert und Varianz

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Klemens Reuter
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1 Ziel: Charakterisiere Verteilungen von Zufallsvariablen durch Kenngrößen (in Analogie zu Lage- und Streuungsmaßen der deskriptiven Statistik). Insbesondere: a) durchschnittlicher Wert Erwartungswert, z.b. mittleres Einkommen, durchschnittliche Körpergröße, fairer Preis eines Spiels. b) Streuung (Dispersion), z.b. wie stark schwankt das Einkommen, die Körpergröße etc. 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 131

2 1.5.1 Diskrete Zufallsvariablen Definition Gegeben sei eine diskrete Zufallsvariable X mit Träger X. Dann heißt EX := E(X) := X x X x P (X = x) Erwartungswert von X, Var X := := V(X) := E((X E(X)) 2 ) = X x X(x E(X)) 2 P (X = x) Varianz von X und σ X := p Standardabweichung von X. x = 1 n nx x i = i=1 kx i=1 Ausprägung a i f j Häufigkeiten 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 132

3 Anmerkungen: Die Varianz gibt die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert an. Durch das Quadrieren werden Abweichungen nach unten (negative Werte) auch positiv gezählt. Damit Erwartungswert und Varianz sinnvoll interpretiert werden können, muss eine metrische Skala zugrundeliegen. Dies sei im Folgenden bei der Verwendung des Begriffs Zufallsvariable (im Unterschied zu Zufallselement) stets implizit unterstellt. Allgemein bezeichnet man E(X k ) als k-tes Moment. Zur Berechnung der Varianz ist der sogenannte Verschiebungssatz sehr praktisch: = E(X 2 ) (EX) 2 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 133

4 Bsp Sei X eine Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung P ({X = 1}) = 0.4 P ({X = 2}) = 0.3 Berechne Erwartungswert P ({X = 3}) = 0.2 und Varianz von X! P ({X = 4}) = 0.1 Träger der Verteilung: X = {1, 2, 3, 4} E(X) = X x X x P (X = x) = 1 P (X = 1) + 2 P (X = 2) + 3 P (X = 3) + 4 P (X = 4) = = = 2 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 134

5 Zur Berechnung der Varianz: X (X E(X)) (X E(X)) 2 P (X = x) = X x X(X E(X)) 2 P (X = x) = = = 1 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 135

6 Alternative Berechnung über den Verschiebungssatz: E(X 2 ) = X x X x 2 P (X = x) = = = 5 Damit ergibt sich = E(X 2 ) (EX) 2 = = 1. 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 136

7 Bemerkungen zur Interpretation: Man kann zeigen ( Gesetz der großen Zahl, Kap. 1.7): E(X) ist der durchschnittswertliche Wert, wenn das durch X beschriebene Zufallsexperiment unendlich oft unabhängig wiederholt wird (Häufigkeitsinterpretation). Eine andere Interpretation, die auch mit dem subjektivistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff verträglich ist, versteht E(X) als erwarteter Gewinn - und damit al fairen Einsatz - eines Spieles mit zufälliger Auszahlung X ( Erwartungswert ). Man kann auch wieder einen direkten Bezug zu den Momenten einer Grundgesamtheit herstellen. Grundgesamtheit e Ω, Merkmal e X, Xi Auswertung von e X an der i-ten durch reine Zufallsauswahl gewonnenen Einheit ω i. Sei x 1, ex 2,..., x N die Urliste von X e ; µ := x das arithmetische Mittel und σ 2 := s 2 ex die empirische Varianz, dann gilt für jedes i: EX i = µ und Var(X i ) = σ 2. 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 137

8 1.5.2 Stetige Zufallsvariablen Bei stetigen Zufallsvariablen gilt P ({X = x}) = 0, deshalb Definition über die Dichte: Definition Sei X eine stetige Zufallsvariable mit Dichte f(x). Dann heißt EX := E(X) := Z x f(x) dx Erwartungswert von X, Var X := := V(X) := E((X E(X)) 2 = Z (x E(X)) 2 f(x) dx Varianz von X und Standardabweichung von X. σ X := q 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 138

9 Anmerkungen: Der Verschiebungssatz zur Berechnung der Varianz gilt nach wie vor. Es gibt Verteilungen, bei denen der Erwartungswert und damit auch die Varianz nicht existiert (z.b. Cauchy-Verteilung, Anwendung etwa in der Finanzmathematik). Die eben gegebenen Bemerkungen zur Interpretation behalten ihre Gültigkeit. 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 139

10 1.5.3 Allgemeine Rechenregeln für Erwartungswert und Varianz Satz Seien X und Y diskrete oder stetige Zufallsvariablen (mit existierenden Erwartungswerten und Varianzen). Dann gilt: a) E(aX + by ) = a E(X) + b E(Y ) und insbesondere auch b) Var(aX + b) = a 2. Sind X und Y zusätzlich unabhängig, so gilt E(a) = a, E(aX) = a E(X) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) E(X Y ) = E(X) E(Y ) Var(X + Y ) = + Var(Y ) 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 140

11 Bem Der Erwartungswert ist immer additiv aufspaltbar, die Varianz dagegen nur bei Unabhängigkeit! Die Additivität der Varianz unter Unabhängigkeit gilt nicht für die Standardabweichung σ: q q q Var(X + Y ) + Var(Y ) Man beachte explizit, dass wegen b) gilt Var( X) = und damit unter Unabhängigkeit Var(X Y ) = + Var(Y ). Beweis: Var(X Y ) = + Var( Y ) = + ( 1) 2 Var(Y ) Im Allgemeinen gilt: also z.b. und E(g(X)) g(e(x)) «1 E X 1 E(X) E(X 2 ) (E(X)) 2. 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 141

12 Definition Die Zufallsvariable Z := X E(X) p heißt standardisierte Zufallsvariable. Es gilt E(Z) = 0 und Var(Z) = 1. 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 142

13 «X E(X) E(Z) = E p a) = 1 p E(X E(X)) a) = = 1 p (E(X) E(E(X))) 1 p (E(X) E(X)) = 0 Var(Z) = Var «X E(X) p = Var «X = Var p X p p E(X) «= «1 2 p = 1 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 143

14 Bsp [Abschließendes Beispiel zu Erwartungswert und Varianz: Chuck-a-Luck] Beim Spiel Chuck-a-Luck werden drei Würfel geworfen. Der Spieler setzt auf eine der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6. Zeigt keiner der Würfel die gesetzte Zahl, so ist der Einsatz verloren. Andernfalls erhält der Spieler (zusätzlich zu seinem Einsatz) für jeden Würfel, der die gesetzte Zahl zeigt, einen Betrag in Höhe des Einsatzes. Wahrscheinlichkeitsfunktion des Gewinns nach einem Spiel: G = Gewinn Würfelkombinationen Anzahl Wahrscheinlichkeit / 2 66a, 6a6, a66 mit a=1,2,3,4, / 1 6ab, a6b, ab6, mit a,b=1,2,3,4, / -1 abc mit a,b,c=1,2,3,4, / Summe 1 Für den Erwartungswert erhält man E(G) = = 17 = also einen erwarteten Verlust von 7.8% des Einsatzes. Betrachte die Zufallsvariablen: 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 144

15 X 1, X 2,..., X 6 Y 1, Y 2,..., Y 6 Gewinn, wenn beim ersten Wurf ein Einsatz auf 1, 2,..., 6 gesetzt wird. Gewinn, wenn beim zweiten Wurf ein Einsatz auf 1, 2,..., 6 gesetzt wird. 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 145

16 Mögliche Spielstrategien und zugehörige Gewinne: 2X 6 Gewinn, wenn beim ersten Wurf ein zweifacher Einsatz auf 6 gesetzt wird (Strategie 1). X 1 + X 6 Gewinn, wenn beim ersten Wurf jeweils ein Einsatz auf 1 und 6 gesetzt wird (Strategie 2). X 6 + Y 6 Gewinn, wenn beim ersten und zweiten Wurf ein Einsatz auf 6 Gesetzt wird (Strategie 3). Erwartungswerte: Aus E(X i ) = E(Y i ) = 17 folgt: E(2X 6 ) = 2E(X 6 ) = 34 E(X 1 + X 6 ) = E(X 1 ) + E(X 6 ) = 34 E(X 6 + Y 6 ) = E(X 6 ) + E(Y 6 ) = 34 d.h. bei den drei Strategien sind die Erwartungswerte alle gleich! Trotzdem gibt es deutliche Unterschiede in den drei Strategien: 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 146

17 Strategie Wertebereich P ({ 2}) 2X 6-2,2,4, X 1 + X 6-2,0,1,2, X 6 + Y 6-2,0,1,2,3,4,5, Varianz des Gewinns nach einem Spiel Var(G) = « « « « = = = q Var(G) = Nach den Rechenregeln für Varianzen erhält man für die Strategien 1 und 3: Var(2X 6 ) = 4 Var(X 6 ) = = Wahrscheinlichkeitsrechnung 147

18 und Var(X 6 + Y 6 ) = Var(X 6 ) + Var(Y 6 ) = = Da X 1 und X 6 nicht unabhängig sind, muss hier die Varianz explizit berechnet werden. Wahrscheinlichkeitsverteilung von X 1 + X 6 : x P (X 1 + X 2 = x) Var(X 1 + X 6 ) = = « « « = « « Wahrscheinlichkeitsrechnung 148

19 Fazit: * Strategie 1, also 2X 6, ist am riskantesten. * Die Gewinnchancen sind bei Strategie 1 aber größer als bei Strategie 2. * Am wenigsten riskant ist Strategie 2. 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 149

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