Laborpraktikum 2 Kondensator und Kapazität

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1 18. Januar 2017 Elektrizitätslehre II Martin Loeser Laborpraktikum 2 Kondensator und Kapazität 1 Lernziele Bei diesem Versuch wird das elektrische Verhalten von Kondensatoren untersucht und quantitativ für Gleich- und Wechselspannungen beschrieben. Sie kennen die Bedeutung der Eigenschaft Kapazität mit ihrer Einheit. Sie können diese exemplarisch anhand eines Kondensators erläutern. Sie können den allgemeinen Zusammenhang zwischen Spannung und Strom für einen idealen Kondensator herleiten. Sie können die Linearität dieses Zusammenhangs formal zeigen. Sie kennen ein messtechnisches Verfahren mit Wechselstrom zur Bestimmung der Kapazität eines Kondensators. 2 Einleitung 2.1 Kapazität Unter einem Kondensator versteht man einen elektrischen Zweipol der aus zwei voneinander isolierten Elektroden besteht. Diese Elektroden können Ladung speichern: auf der einen positive und auf der anderen Elektrode negative Ladung. Dabei entsteht zwischen den Elektroden eine elektrische Spannung, deren Grösse von der gespeicherten Ladungsmenge abhängt. Wird ein (anfänglich ungeladener) Kondensator mit einem konstanten Strom i(t) = I q geladen, so wird die eine Elektrode

2 Laborpraktikum 2 Kondensator und Kapazität, Elektrizitätslehre II 2 positiv, die andere negativ geladen. Die auf der positiven Elektrode gespeicherte Ladung q(t) berechnet sich dann zu q(t) = t τ=0 i(τ) dτ. Spannung U und Ladung Q eines Kondensators sind zueinander proportional und es gilt Q = C U, wobei C die Kapazität des Kondensators ist, und es gilt [C] = As /V = F. 2.2 Zusammenhang zwischen Spannung und Strom Aus der Beziehung q(t) = Cu(t) und dem Ladungserhaltungssatz, lässt sich folgender allgemeingültiger Zusammenhang zwischen Spannung und Stromstärke an den Klemmen eines Kondensators herleiten: i(t) = dq(t). Ist die Kapazität spannungsunabhängig, so gilt i(t) = C u(t). Spezialfall: Harmonische Anregung. Bei einem sinusförmigen Zeitverlauf der Klemmenspannung u(t) = Û sin(ωt) ergibt sich für den Strom i(t): ( i(t) = C u(t) = ωcû cos(ωt) = ωcû sin ωt + π ) 2 = Î sin (ωt + ϕ) Ein sinusförmiger Spannungsverlauf impliziert einen sinusförmigen Stromverlauf mit Amplitude Î = ωcû und Phasenwinkel ϕ = π Messung der Kapazität Da die Kondensatorladung messtechnisch nicht direkt bestimmt werden kann, wird die Kapazität eines Kondensators aus den Amplituden (Scheitelwerte) von Spannung und Stromstärke bei Wechselstrom bestimmt: Î = ωcû = C = Î ωû. Diese Formel stimmt in der Praxis allerdings nur dann, wenn der Phasenwinkel zwischen Stromstärke- und Spannungsverlauf 90 Grad beträgt: bei höheren Frequenzen verhalten sich Kondensatoren im Allgemeinen nicht mehr ideal.

3 Laborpraktikum 2 Kondensator und Kapazität, Elektrizitätslehre II 3 3 Versuchsdurchführung 3.1 Messaufgaben (a) Bestimmen Sie die Kapazität verschiedener Kondensatoren aus dem Sortiment durch Messung mit einem LC- Meter. Halten Sie die Frequenz, bei der gemessen wird, fest (siehe Datenblatt des Messgeräts). Vergleichen Sie das Messergebnis mit dem Nennwert des Kondensators. (b) Man verbinde den Kondensator mit einer Wechselspannungsquelle und bestimme die Kapazität des Kondensators mit Hilfe des Ampere- und des Voltmeters. Man plotte die so gemessene Kapazität als Funktion der Frequenz f. (c) Bestimmen Sie die Kapazität des Kondensators, indem Sie mit Hilfe des KO die Amplituden von Spannung und Stromstärke bestimmen. Plotten Sie auch hier die Kapazität als Funktion der Frequenz. Hinweis: Überlegen Sie zuerst, wie Sie mit Hilfe des KO den Kondensatorstrom bestimmen können und skizzieren Sie eine entsprechende Messschaltung. (d) Untersuchen Sie, wie sich die relative Phasenlage von u q, u c und i c in Abhängigkeit der Frequenz verändert. (e) Wie verhalten sich u q und u c in Abhängigkeit der Frequenz? (f) Hängt die Kapazität C von der Frequenz f ab? Führen sie die Messung von C für verschiedene Werte der Frequenz durch (z. B. für 5, 10, 20, 50, 100 khz). Hinweise: Messen Sie spannungsrichtig. Statt des Verhältnises Û/Î sollte mit dem KO wegen der besseren Ablesegenauigkeit das Verhältnis 2Û/2Î bestimmt werden (peak-to-peak). Bei dieser Messung sollte auch der Phasenwinkel zwischen Spannungs- und Stromstärkenverlauf erfasst (und überprüft) werden. Die Amplituden der sinusförmigen Signale können auch mit den Multimetern erfasst werden. Allerdings erfassen die Multimeter nicht die Scheitelwerte, sondern liefern die sogenannten Effektivwerte von Spannung und Stromstärke. Diese sind um den Faktor 2 kleiner als die Amplituden: d. h. U = Û/ 2 und I = Î/ 2. Da das Verhältnis der beiden Grössen gebildet wird, kürzt sich der Faktor 2 heraus, so dass auch mit den Effektivwerten gearbeitet werden kann. Die am Messplatz vorhandenen Multimeter Keysight 34450A messen bis zu Frequenzen von ca. 20 khz richtig. Höhere Frequenzen sollten auf jeden Fall mit den KO gemessen werden.

4 Laborpraktikum 2 Kondensator und Kapazität, Elektrizitätslehre II Numerische Simulation Die Bauteilgleichung des Kondensators in differentieller Form lautet du c (t) = 1 C i(t). Ist der Strom gegeben, kann damit die Steigung der Spannung berechnet werden. Kennt man aber die Spannung zu einem Zeitpunkt t 0, so kann man die Spannung zu einem Zeitpunkt t 0 + t abschätzen, falls der Strom i(t) und damit die Steigung der Spannung während der Dauer t näherungsweise konstant bleiben. In Formeln ausgedrückt: u c (t 0 + t ) = u c (t 0 ) + du c(t 0 ) = u c (t 0 ) + 1 C i(t 0) Diese Idee ist die Grundlage zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen. Man kann Sie wiederholt anwenden und erhält nach jedem neuen Berechnungsschritt den Wert der Kondensatorspannung u(t) für einen neuen Zeitpunkt t = n t. In Formeln: u c ((n + 1) t ) = u c (n t ) + du c(n t ) = u c (n t ) + 1 C i(n t) Sinusförmiger Strom lä Kapazität (a) Die Datei Simulation_Kapazitaet_an_Stromquelle_Vorlage.m enthält ein Matlab- Skript. Laden Sie es und führen Sie es aus. (b) Zwei Zeilen müssen noch durch die entscheidenden Schritte aus dem obigen Lösungsverfahren ergänzt werden. Die entsprechenden Stellen im Matlab-Skript sind durch Fragezeichen gekennzeichnet. (c) Wenn das Skript das erwartete Ergebnis liefert, ändern Sie den Anfangswert der Spannung. Wie verändert sich der Verlauf der Spannung am Kondensator? (d) Welchen Einfluss hat der Zeitschritt t auf die Genauigkeit des Ergebnisses? Sinusförmige Spannung lä Kapazität über Widerstand Nun wird die Kapazität von einer sinusförmigen Spannungsquelle u(t) geladen. Zwischen Kapazität und Spannungsquelle ist ein Serienwiderstand R. Die Gleichung für den Strom i(t) lautet damit i(t) = u(t) u c(t). R

5 Laborpraktikum 2 Kondensator und Kapazität, Elektrizitätslehre II 5 (a) Laden Sie das Matlab-Skript Simulation_Kapazitaet_an_Spannungsquelle_ Vorlage.m und führen Sie es aus. (b) Ergünzen Sie den fehlenden Code an den durch Fragezeichen gekennzeichneten Stellen. (c) Wenn das Skript das erwartete Ergebnis liefert, ersetzen Sie die Spannungsquelle durch eine Konstantspannungsquelle und lassen Sie den Spannungsverlauf erneut berechnen. Was beobachten Sie? (d) Wiederholen Sie die Berechnung für eine Eingangsspannung von 0 V und eine Spannung an der Kapazität von 1 V zum Zeitpunkt t = Vergleich von Messung und Simulation Für den Fall einer sinusförmigen Anregung vergleiche man die gemessenen Zeitverläufe u(t) und i(t) mit den Simulationsergebnissen, die Matlab liefert. Plotten Sie dafür die Messdaten des Oszilloskopes und die Resultate von Matlab in eine gemeinsame Figur. 3.4 Inventar Funktionsgenerator TG 5011A Multimeter Keysight 34450A Oszilloskop Tektronix TDS 2012C Widerstandsdekaden (1 Ω MΩ), Genauigkeit 1%, Belastbarkeit 1 W Polyester-Folienkondensatoren 10, 47, 100, 220, 470, 1000 nf 3.5 Messobjekte Tabelle der zur Verfügung stehenden Polyester-Folienkondensatoren Nennwert [nf] Max. Spannung in V Bezeichnung Farbe n MKT blau beige u1 hellblau u22 hellblau u47 blau u MKT blau