Übungen zum Ferienkurs Theoretische Mechanik

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1 Übungen zum Ferienkurs Theoretische Mechanik Lagrange un Hamilton Mechanik Übungen, ie mit einem Stern markiert sin, weren als besoners wichtig erachtet D Faenpenel Betrachten Sie ein Faenpenel er Länge, as in rei Raumrichtungen unter Einfluss er Schwerkraft frei schwingen kann. Die Masse es Penelkörpers sei m, ie Masse es Faens zu vernachlässigen. a Stellen Sie ie Lagrangefunktion in Kugelkoorinaten auf. b Ermitteln Sie ie Symmetrien es Systems un ie entsprechenen Erhaltungsgrößen. c Stellen Sie ie Bewegungsgleichungen auf. Lösung a Wir legen en Ursprung es Koorinatensystems in en Aufhängepunkt es Penels. Die Länge es Penels ist fest, also gibt es keine Änerung er raialen Komponente ṙ = 0, r =. = 1 2 m2 sin 2 θ φ θ2 + mg cos θ b Die Lagrangefunktion ist invariant unter Zeittranslationen.h. ie Gesamtenergie ist eine Erhaltungsgröße. Die Lagrangefunktion hängt nicht von φ ab ist also invariant unter Rotationen um ie z-achse also ist er Drehimpuls um ie z-achse eine Erhaltungsgröße. c Wir bestimmen ie Euler-Lagrangegleichungen mit en Variablen θ un φ. L L = 0 t ẋ i x i m 2 sin 2 θ t φ = 0 Damit ist iese Größe eine Erhaltungsgröße wie bereits in b gesagt. m 2 θ + mg sin θ m 2 sin θ cos θ t φ 2 = 0 m 2 θ = mg sin θ + m 2 sin θ cos θ φ 2 θ = g 2 sin θ + sin θ cos θ φ Für θ erhalten wir eine typische Schwingungsgleichung, ie wir für kleine Auslenkung lösen könnten. 2.2 Teilchen im Kreiskegel Eine Punktmasse m rollt reibungsfrei auf er Innenseite eines Kreiskegels unter em Einfluss er Schwerkraft. a Geben Sie explizit ie Zwangsbeingungen an. b Geben Sie ie Lagrangefunktion an un stellen Sie ie Bewegungsgleichung auf. Philipp Langraf, Christina Schinler Abgabe:

2 Lösung a Das Teilchen kann sich nur auf er Oberfläche es Kreiskegels bewegen. Das wir urch folgene Zwangsbeingung beschrieben tan α = r z b Wir stellen ie Lagrangefunktion in Zylinerkoorinaten unter Verwenung er Zwangsbeingung auf: Damit lauten ie Euler-Lagrangegleichungen für r un φ = 1 2 m ṙ 2 + r 2 φ2 + ṙ2 r tan 2 mg α tan α mṙ t m r L L = 0 t ẋ i x i tan 2 α tan 2 α 2.3 Punktmasse auf rotierenem Ring + mg mr 2 φ = 0 t tan α mr φ 2 = 0 = mg 2 + mr φ tan α Eine Punktmasse m kann sich reibungsfrei auf einem horizontalen Ring mit Raius r bewegen. Auf einem ientischen horizontalen Ring, er sich oberhalb es ersten Ringes mit er Höhenifferenz h befinet, bewege sich eine weitere Punktmasse M mit einer urch einen äußeren Zwang vorgegebenen konstanten Winkelgeschwinigkeit ω. Zwischen en beien Massen wirke eine urhc ein Potential V efinierte Kraft sei er Betrag es Abstansvektors er beien rotierenen Massen. Geben Sie ie explit zeitabhängige! Lagrangefunktion für ie Punktmasse m an. 2

3 Lösung Wir wählen geeignetete Koorinaten. Die Position er Punktmasse m auf em Ring ist urch en Winkel φ festgelegt. Wir efinieren as Koorinatensystem so, ass ie Position er Punktmasse M urch en Winkel ωt gegeben ist. In Zylinerkoorinaten gilt also r cos φt x m t = r sin φt 0 r cos ωt x M t = r sin ωt h Damit folgt für en Abstan = x m x M = r 2 cos φ cos ωt 2 + r 2 sin φ sin ωt 2 + h 2 = r 2 cos 2 φ + cos 2 ωt 2 cos φ cos ωt + sin 2 φ + sin 2 ωt 2 sin φ sin ωt + h 2 = r 2 2 2cos φ cos ωt + sin φ sin ωt + h 2 = r cosφ + ωt + h 2 Die Lagrangefunktion lässt sich also schreiben Dabei hängt V über explizit von t ab. = 1 2 mr2 φ2 V 2.4 Rutschenes Seil Ein homogenes Seil er Länge L liegt zur Hälfte auf einem Tisch, ie anere Hälfte hängt über er Tischkante. Zum Zeitpunkt t = 0 wir as Seil losgelassen un beginnt reibungsfrei hinunterzurutschen. Die lineare Massenichte sei µ. a Bestimmen Sie ie Lagrangefunktion. b Stellen Sie ie Bewegungsgleichung auf un integrieren Sie iese. 3

4 Lösung a Als Koorinate wählen wir ie Position es unteren Seilenes gemessen von er Tischkante aus y. Wir stellen ie Lagrangefunktion auf. Um as Gravitationspotential zu berechnen behaneln wir as überhängene Seil er Länge y wie eine Puntkmasse µy an er Stelle y 2 Schwerkraft greift am Schwerpunkt es überhängenen Seilstücks an. Dann lautet ie Lagrangefunktion b Die Euler-Lagrangegleichung lautet L = 1 2 µlẏ µgy2 ÿ = g L y Dies ist eine harmonische Gleichung. Die lösung hat folgene Form yt = Ae αt + Be αt mit α = g L. Wir benutzen ie Anfangsbeingungen y0 = L 2, ẏ0 = 0 un bestimmen ie Konstanten. y0 = A + B = L 2 ẏ0 = Aα Bα = 0 A = B A = L 4 Damit ergibt sich ie Lösung yt = L 2 cosh g L t 2.5 Perle auf Draht Eine Perle gleite reibungsfrei un ohne äußere Kräfte auf einem Stab, er sich in er xy-ebene mit konstanter Winkelgeschwinigkeit ω um en Ursprung reht. Stellen Sie ie Bewegungsgleichung mit Hilfe er Lagrange-Gleichungen erster Art auf. Lösen Sie ie Bewegungsgleichung. Führen Sie ie Rechnungen in Zylinerkoorinaten urch. Wie lautet ie Zwangskraft? Welche Beeutung hat sie? Ist ie Energie erhalten? 4

5 Lösung Die Perle kann sich nur entlang es Stabes bewegen; sie besitzt also nur einen Freiheitsgra. Die beien Zwangsbeingungen lauten g 1 = z = 0 g 2 = φ ωt = 0 Hierbei ist φ er Polarwinkel in er xy-ebene. Wir stellen ie Lagrangegleichungen 1.Art auf in Zylinerkoorinaten m ρ ρ φ 2 = 0 mρ φ + 2 ρ φ = λ 2 ρ m z = λ 1 Zweimaliges Ableiten er Zwangsbeingung g 1 un Einsetzen liefert trivialerweise λ 1 = 0. Zweimaliges Ableiten er Zwangsbeingung g 2 ergibt φ = 0 un amit ergibt sich urch Einsetzen λ 2 = 2mρ ρ φ Dies setzen wir ein un erhalten ie Bewegungsgleichungen inem wir φ = ω einsetzen g 2 φ m ρ mρ φ 2 = 0, mρ φ = 0 ρ = ρω 2, φ = 0 Die Zwangskraft lautet also Z = λ 2 g 2 = 2mρ ρ φ 1 g 2 ρ φ e φ = 2m ρωe φ. Die Zwangskraft hält ie Perle auf em Draht, es hanelt sich nicht um ie Zentrifugalkraft. Wir lösen ie Bewegungsgleichung für ρ urch en Ansatz ρt = Ae ωt + Be ωt Da ie Zwangsbeingung explizit zeitabhängig ist, ist ie Energie nicht erhalten. 5