Theorie der Gravitationswellen

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1 28. Januar 2008

2 1 Historisches 2 Theoretische Grundlagen 3 Die Feldgleichungen 4 Eigenschaften von Gravitationswellen 5 Ausblick

3 Historisches Historisches 1905 H. Poincaré : Gravitationswechselwirkung müsste sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten [1] 1915 A. Einstein : Allgemeine Relativitätstheorie [2] 1916 A. Einstein : Erste Vorhersage und mathematische Beschreibung von Gravitationswellen [3] 1918 A. Einstein : Über Gravitationswellen [4]

4 Historisches Historisches 1936 A. Einstein & N. Rosen verrechnen sich und verwerfen die Idee von Gravitationswellen [5] 1937 Kurz vor der Veröffentlichung korrigiert Einstein den Fehler [6] J. Weber : Vorschlag zur Detektion von Gravitationswellen [7][8] 1975 R.A. Hulse & J.H. Taylor : PSR Indirekter Nachweis von Gravitationswellen [9]

5 Theoretische Grundlagen Wieso könnte es Gravitationswellen geben? SRT: die zeitliche Reihenfolge hängt vom Bezugssystem ab Konsequenz Keine instantane Wechselwirkungen

6 Theoretische Grundlagen Gravitation und Relativität Wie kann man eine relativistische Theorie mit Gravitationskraft aufstellen? Einsteins Äquivalenzprinzip : Freier Fall und Schwerelosigkeit sind lokal ununterscheidbar Kovarianz : Gleichungen sind forminvariant unter Koordinatentransformation Gravitation ist äquivalent zur Krümmung des Raumes

7 Theoretische Grundlagen Nichtgekrümmter Raum - Minkowskiraum Räume ohne Krümmung z.b. Euklidischer R n, Minkowskiraum,... Vorsicht Ein Kreiszylinder besitzt keine innere Krümmung

8 Theoretische Grundlagen Das Wegelement Relativistisches Wegelement ds 2 = η µν dx µ dx ν (η µν ) = Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in jedem Bezugssystem fordert η µν

9 Theoretische Grundlagen Lokal gekrümmter Raum Betrachte Wegelement auf Kugeloberfläche: θ = ξ 1, φ = ξ 2 ds 2 = r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) = g ij (ξ)dξ i dξ j Hieraus kann man den metrischen Tensor ablesen ( ) (g ij ) = r sin 2 θ

10 Theoretische Grundlagen Lokal gekrümmter Raum Ausdruck für ds 2 auf Kugeloberfläche kann man nicht in kartesische Koordinaten transformieren! Der Raum ist genau dann nicht gekrümmt, wenn kartesische Koordinaten möglich sind.

11 Theoretische Grundlagen Krümmungstensor Gibt es ein Objekt, dass die Krümmung eines Raumes in beliebiger Dimension quantitativ beschreibt? Krümmungstensor R m ijk

12 Theoretische Grundlagen Krümmungstensor Wie kann man die innere Krümmung einer Kugel messen? δa i = 1 2 Rm ijk A mdf jk Änderung des Vektors bei Parallelverschiebung entlang geschlossener Kurve

13 Theoretische Grundlagen Krümmungstensor R m ijk = f ( ( g) 2, 2 g ) Lässt sich durch die erste und zweite Ableitung von g µν bilden quadratisch in der ersten Ableitung linear in der zweiten Ableitung Wird benötigt um die Feldgleichungen aufzustellen

14 Relativistische Bewegungsgleichung mit Gravitation Bewegungsgleichung im Gravitationsfeld Bewegungsgleichungen im Gravitationsfeld Wie sehen die relativistischen Bewegungsgleichungen aus? Äquivalenzprinzip : In frei fallendem Koordinatensystem α µ gelten die Gesetze der SRT(kräftefrei) d 2 α µ dτ 2 = 0, τ = Eigenzeit

15 Relativistische Bewegungsgleichung mit Gravitation Bewegungsgleichung im Gravitationsfeld Bewegungsgleichungen im Gravitationsfeld Koordinatentransformation α µ β µ Relativistische Bewegungsgleichung mit Gravitation [10] d 2 β κ dτ 2 = dβ µ dβ ν Γκ µν dτ dτ Christoffelsymbole: Γ κ µν = f ( g.. ) g µν relativistische Gravitationspotentiale

16 Die Feldgleichungen Die Feldgleichungen der ART Von der Statik zur Dynamik Wie sehen die Feldgleichungen aus? Newtonscher Grenzfall Φ = 4πGρ(r) Eine relativistische Feldgleichung muss kovariant sein Φ(r) g µν metrischer Tensor ρ(r) T µν Energie-Impuls-Tensor

17 Die Feldgleichungen Die Feldgleichungen der ART Die Feldgleichungen Wir suchen den Zusammenhang zwischen den g µν und den T µν Konstruiere Theorie Newtonscher Grenzfall Analogie zur Elektrodynamik Selbstwechselwirkung

18 Die Feldgleichungen Die Feldgleichungen der ART Form der Feldgleichungen Allgemeinste Form G µν T µν Die linke Seite muss folgende Eigenschaften haben Linear in zweiter Ableitung von g µν (Newton+Elektrodynamik) Quadratisch in erster Ableitung (Selbstwechselwirkung+Elektrodynamik : ɛ E 2 + B 2 ) Gleichung muss kovariant sein Diese Forderungen werden gerade vom Krümmungstensor erfüllt!

19 Die Feldgleichungen Die Feldgleichungen der ART Die Feldgleichungen Ricci-Tensor R µν Kontraktion des Krümmungstensors: Rµρν ρ Erfüllt die Vorraussetzungen Krümmungsskalar R Kontraktion des Ricci-Tensors: R µ µ Erfüllt die Vorraussetzungen

20 Die Feldgleichungen Die Feldgleichungen der ART Die Feldgleichungen Man findet die Feldgleichungen ( R µν R ) 2 g µν bzw. R µν = 8πG c 4 = 8πG c 4 T µν ( T µν T ) 2 g µν T = T µ µ

21 Die Feldgleichungen Die Feldgleichungen der ART Zwischenbilanz Was haben wir bis jetzt? klassischer Grenzfall + Analogie zur Elektrodynamik + Kovarianz Feldgleichungen nichtlinear System aus 10 gekoppelten partiellen Differentialgleichungen

22 Eigenschaften von Gravitationswellen Herleitung Herleitung der Wellengleichung Bei kleinen Auslenkungen fallen Terme höherer Ordnung weg Ansatz g µν = η µν + h µν wobei h µν 1

23 Eigenschaften von Gravitationswellen Herleitung Herleitung der Wellengleichung

24 Eigenschaften von Gravitationswellen Herleitung Herleitung der Wellengleichung Vernachlässige Terme höherer Ordnung Nutze Eichinvarianz [10] [3] Linearisierte Feldgleichung G µν h µν h µν = 16πG c 4 ( T µν T ) 2 η µν

25 Eigenschaften von Gravitationswellen Herleitung Analogie zur Elektrodynamik Qualitative Herleitung Statik Φ el = 4πρ el (r) Φ grav = 4πGρ mass (r) Dynamik A µ = 4π c jµ g µν T µν

26 Eigenschaften von Gravitationswellen Freie Wellengleichung Linearisierte Feldgleichungen im Vakuum Im Vakuum fallen die Quellterme mit T µν und T weg Die Feldgleichungen werden dann zu h µν = 0 Homogene Wellengleichung!

27 Eigenschaften von Gravitationswellen Freie Wellengleichung Lösung der Wellengleichung [10] Allgemeiner Ansatz h µν = h µν exp ( ik λ x λ) + c.c. Für die weitere Betrachtung Eichinvarianz zusätzliche Eichbedingung für Wellenlösungen Betrachte Welle in z Richtung

28 Eigenschaften von Gravitationswellen Freie Wellengleichung Lösung der Wellengleichung Für eine ebene Welle im Vakuum erhält man (h µν ) = 0 h 11 h h 12 h 11 0 exp [ik(z ct)] + c.c Es bleiben nur zwei unabhängige Komponenten in der Amplitude.

29 Eigenschaften von Gravitationswellen Freie Wellengleichung Polarisation linear polarisierte Wellen zwei Möglichkeiten h 11 = h, h 12 = 0 oder h 11 = 0, h 12 = h elliptisch polarisierte Welle h 11 = h 1, h 12 = ±ih 2 Wie kann man sich diese Wellen vorstellen?

30 Eigenschaften von Gravitationswellen Teilchen im Feld der Welle Auslenkung leichter Teilchen

31 Eigenschaften von Gravitationswellen Teilchen im Feld der Welle Wie bewegen sich Teilchen im Feld der Welle? Problem : Die Bewegungsgleichungen sind von der Wahl der Koordinaten abhängig Es gibt Koordinaten in den scheinen die Teilchen zu ruhen. Lösung Betrachte die Änderung der Abstände durch den metrischen Tensor. ds 2 = g µν (x)dx µ dx ν

32 Eigenschaften von Gravitationswellen Teilchen im Feld der Welle Auslenkung leichter Teilchen zeitlich-räumliche Änderung der Metrik g µν = η µν + h µν = η µν + 0 h 11 h h 12 h 11 0 exp[ik(z ct)] + c.c und ds 2 = c 2 dt 2 }{{} konstant dl 2 }{{} Auslenkung dz 2 }{{} konstant

33 Eigenschaften von Gravitationswellen Teilchen im Feld der Welle Auslenkung leichter Teilchen Man erhält für linear polarisierte Wellen [10] { L 2 = L 2 1 2h cos(2φ) cos(ωt) für h 11 = h, h 12 = 0 1 2h sin(2φ) cos(ωt) für h 11 = 0, h 12 = h

34 Eigenschaften von Gravitationswellen Teilchen im Feld der Welle Auslenkung leichter Teilchen Für kleine h erhält man Ellipsen

35 Eigenschaften von Gravitationswellen Teilchen im Feld der Welle Auslenkung leichter Teilchen Nutze diesen Effekt zur Detektion! Konzept Interferometer zur Messung kleiner Auslenkungen Direkte Messung von Gravitationswellen [8]

36 Eigenschaften von Gravitationswellen Energie und Impuls für Gravitationswellen Energie und Impuls der Welle Betrachte Feldgleichungen in zweiter Ordnung Qualitativ Energie-Impuls-Tensor des Feldes ist proportional zur ersten Ableitungen des metrischen Tensors t grav µν h.. x µ h.. x ν k µ k ν h 2

37 Eigenschaften von Gravitationswellen Energie und Impuls für Gravitationswellen Energie und Impuls der Welle Exakte Rechnung liefert [10] t grav µν = c4 8πG k µk ν ( h h 12 2)

38 Quellen von Gravitationsstrahlung Quellen von Gravitationsstrahlung Verschmelzende Schwarze Löcher (Quelle : MPI for Gravitational Physics/Zuse Institut Berlin/Center for Computation & Technology at Louisiana State University/W.Benger) Quadrupolstrahlung Beispiel: Rotator

39 Quellen von Gravitationsstrahlung Quadrupolstrahlung Quadrupolstrahlung Dipolmoment verschwindet im CM-System In 1.Ordnung Quadrupolstrahlung Dimension: Analog zu Elektrodynamik Abgestrahlte Leistung P Q ω 6 Q 2

40 Quellen von Gravitationsstrahlung Quadrupolstrahlung Exakte Lösung Betrachte Wellengleichung mit Quelltermen ( h µν T µν T ) 2 η µν und oszillierende Massenverteilung T µν = t µν (r) exp( iωt) + c.c.

41 Quellen von Gravitationsstrahlung Quadrupolstrahlung Exakte Lösung Lösung der Wellengleichung Greensfunktion Asymptotik Kontinuitätsgleichung Langwellennäherung

42 Quellen von Gravitationsstrahlung Quadrupolstrahlung Exakte Lösung Abgestrahlte Leistung [4] P grav = 2Gω6 5c 5 3 Q ij Q 3 ii i,j=1 i=1 Mit dem Quadrupolmoment Q ij = d 3 r x i x j ρ Wobei ρ der räumliche Anteil einer oszillierenden Massenverteilung ist

43 Quellen von Gravitationsstrahlung Beispiele Rotierende Starre Körper Starrer Körper rotiert um z-achse (Q ij ) = I 1 i 0 1 I 2 i I 1, I 2 : Hauptträgheitsmomente Abgestrahlte Leistung P grav ω 6 (I 1 I 2 ) 2

44 Quellen von Gravitationsstrahlung Beispiele Vereinfachtes Modell für Doppelsternsystem Trägheitsmoment I 1 = M 1M 2 r 2 M 1 + M 2 I 2 = 0

45 Quellen von Gravitationsstrahlung Beispiele Vereinfachtes Modell für Doppelsternsysteme klassische Rechnung: Bahnfrequenz Damit: ω 2 = G M 1 + M 2 r 3 Abgestrahlte Leistung P grav M2 1 M2 2 (M 1 + M 2 ) r 5

46 Quellen von Gravitationsstrahlung Beispiele Konsequenz des Energieverlustes Verringerung des Abstandes Verringerung der Bahnperiode Indirekter Nachweis [9] Messung der Bahnperiode von Doppelsternsystemen z.b. PSR

47 Ausblick Ausblick Gravitationswellen relativistischer Quellen Gravitations-Hintergrundstrahlung Nichtlineare Effekte(Solitonen) Quantisierung der Theorie(Gravitonen)

48 Dank Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!

49 Quellenverzeichnis Quellenverzeichnis 1 H. Poincaré : Sur le dynamique d electron, Comptes rendus de l Académie des sciences. 140, 1905b, S , [Link] 2 A. Einstein: Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. In: Annalen der Physik. 49, 1916, S , [Link] 3 A. Einstein : Näherungsweise Integration der Feldgleichungen der Gravitation, Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften ( ) pp.688, [Link] 4 A. Einstein: Über Gravitationswellen 1918, Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften ( ) pp.154, [Link] 5 Einstein versus the Physical Review, Daniel Kennefick, Sept. 2005, p.43 [Link] 6 A. Einstein & N. Eosen : On Gravitational Waves, Journal of the Franklin Institute (1937), Vol. 223, p.43, [Link] 7 J.Weber & J.A. Wheeler : Reality of the Cylindrical Gravitational Waves of Einstein and Rosen, Rev. Mod. Phys. 29, (1957), [Issue 3 July 1957], [Link] 8 J.Weber : Detection and Generation of Gravitational Waves, Phys. Rev. 117, (1960), [Issue 1 January 1960], [Link] 9 R.A. Hulse & J.H. Taylor : Discovery of a Pulsar in a Binary System, The Astrophysical Journal, 195:L51-53, ( ) [Link] 10 T. Fließbach : Allgemeine Relativitätstheorie, 5.Auflage, Elsevier (2006)