Lösungen zur 8. Übung

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1 Prof. Dr.-Ing. Jörg Raisch Dipl.-Ing. Vladislav Nenchev M.Sc. Arne Passon Dipl.-Ing. Thomas Seel Fachgebiet Regelungssysteme Fakultät IV Elektrotechnik und Informatik Technische Universität Berlin Integrierte Lehrveranstaltung Grundlagen der Regelungstechnik Lösungen zur 8. Übung Aufgabe 8.1 a) - Die Störung am Streckeneingang kann durch den inneren Regelkreis soweit ausgeregelt werden, dass sie kaum noch Einfluss auf den äußeren Regelkreis hat. (Dies gilt im Übrigen vor allem auch für Störungen, die am Ausgang von G 1 angreifen.) - Der zweite Streckenteil G 2 besitzt wesentlich größere Zeitkonstanten als der erste Streckenteil G 1. Diese Trennung der Zeitkonstanten kann mit einer Kaskadenregelung sehr gut für den Reglerentwurf genutzt werden. In solch einem Fall erziehlt die Kaskadenregelung im Allgemeinen deutlich höhere Regelgüte als der direkte Entwurf. b) Es ergibt sich die Kaskadenregelung in Abb. 1, wobei d die Unsicherheiten in der Ventilstellung modelliert. Gp r d u K2 K1 G1 T1 p G2 y Abbildung 1: Kaskadenregelung c) Es erfolgt der Reglerentwurf im Bodediagramm. Die Reglerparameter ergeben sich zu T I = 5 und k P I = 14.7 (siehe Abb.2). d) Für den äußeren Regelkreis ist ein PI-Regler notwendig um stationäre Genauigkeit zu erlangen. Die Verstärkung des P-Reglers ergibt sich zu k P = (siehe Abb.3). Mit diesem K 1 erhalten wir nun G = G 1K G 1 K 1 G 2 = (5s + 1)( 1 76 s s + 1). Damit ergeben sich die Reglerparameter des äußeren PI-Reglers zu T I = 5 und k P I = 36.2 (siehe Abb.4). e) Durch Vergleich von Abb. 2 und 4 sieht man, dass die Durchtrittsfrequenz der Kaskadenregelung (bei gleicher Phasenreserve) deutlich größer ist. Die Kaskadenregelung ist also schneller (bei etwa gleichem Überschwingen). 1

2 Abbildung 2: Bodediagramm der Strecke G = G 1 G 2, des einschleifigen PI-Reglers und der resultierenden offenen Kette GK für Verstärkungen von k P I = 1 und k P I = Abbildung 3: Bodediagramm der Strecke G 1, des inneren P-Reglers K 1 und der resultierenden offenen Kette G 1 K 1 für Verstärkungen von k P = 1 und k P = 7.4. f) In der Sprungantwort aus Abb. 5 kann man erkennen, dass das Führungsverhalten des Regelkreises mit Kaskadenregelung deutlich schneller ist. Allerdings tritt ein relativ großes Überschwingen auf, was aber daran liegen kann, dass der Regler nur mit einer Geradenapproximation entworfen wurde. Dadurch kann die Phasenreserve real deutlich kleiner 2

3 Abbildung 4: Bodediagramm der Strecke G = G 1K 1 1+G 1 K 1 G 2, des äußeren PI-Reglers K 2 und der resultierenden offenen Kette G K 2 für Verstärkungen von k P I = 1 und k P I = sein, als im Entwurf vorgegeben. Weiterhin kann eine Störung am Streckeneingang von beiden Reglern ausgeregelt werden (siehe Abb. 6). Allerdings ist bei der Kaskadenregelung die Auslenkung der Temperatur aus der Ruhelage wesentlich geringer und die Störung kann schneller ausgeregelt werden. Somit sieht man, dass dieses Regelungskonzept insbesondere geeignet ist, wenn Störungen am Streckeneingang vorliegen. Anmerkung: Die Übertragungsfunktionen G yd der Eingangsstörung auf den Ausgang ergeben sich mit etwas Rechenaufwand aus dem Blockschaltbild zu: G 1 G 2 Einschleifiger Regelkreis: G yd = 1 + G 1 G 2 K 1 G 1 G 2 Kaskadenregelung: G yd = 1 + G 1 K 1 + G 1 K 1 G 2 K 2 Abbildung 5: Vergleich der Antwort auf einen Führungsgrößensprung r = h(t) von einschleifigem Regelkreis (PI) und Kaskadenregelung (PI+P) 3

4 Abbildung 6: Vergleich der Antwort auf einen Störgrößensprung d = h(t) von einschleifigem Regelkreis (PI) und Kaskadenregelung (PI+P) Aufgabe 8.2 Soweit nicht anders angegeben, sind die Reglerentwürfe anhand des,,handout zum Reglerentwurf im Bodediagramm durchgeführt worden. Es gelten die Hinweise aus der Lösung zu Übungsblatt 7, Aufgabe 7.1. (A) a) Die Reglerparameter ergeben sich zu T D = 10, T = und k P D = 0.7 (siehe Abb.7). b) Die Verstärkung des P-Reglers ergibt sich zu k P = 29.7 (siehe Abb.8). Mit diesem K 1 erhalten wir nun G = G 1K G 1 K 1 G 2 = p G1 p K1 p G2 = 297 (q G1 q K1 + p G1 p K1 )q G s(10s + 1)( s2 + 15s + 1). 92 Damit ergeben sich die Reglerparameter des äußeren PD-Reglers zu T D = 10, T = und k P D = 4.2 (siehe Abb.9). c) Durch Vergleich von Abb. 7 und 9 sieht man, dass die Kaskadenregelung deutlich schneller ist. d) Auch in den Sprungantworten aus Abb. 10 kann man erkennen, dass der Regelkreis mit Kaskadenregelung bei nur leicht größerem Überschwingen deutlich schneller ist. (B) a) Die Reglerparameter ergeben sich zu T I = 1 und k P I = 0.3 (siehe Abb.12). b) Die Verstärkung des P-Reglers ergibt sich zu k P = 2.9 (siehe Abb.13). Mit diesem K 1 erhalten wir nun G = G 1K 1 G 2 = G 1 K (s + 1) 2 ( s2 + 20s + 1). 39 Damit ergeben sich die Reglerparameter des äußeren PI-Reglers zu T I = 1 und k P I = 0.8 (siehe Abb.14). c) Durch Vergleich von Abb. 12 und 14 sieht man, dass die Durchtrittsfrequenz der Kaskadenregelung größer, aber nicht deutlich größer ist. Dies ist (unter anderem) darauf zurückzuführen, dass die Pole von G 1 und G 2 gleich schnell sind. 1 d) Auch in der Sprungantwort aus Abb. 11 kann man erkennen, dass der Regelkreis mit Kaskadenregelung schneller (aber nicht viel schneller) ist. 4 1 Mit einem PD-Regler innen und einem PID-Regler außen ist die Kaskade wiederum deutlich schneller.

5 Abbildung 7: Bodediagramm der Strecke (A) G = G 1 G 2, des PD-Reglers und der resultierenden offenen Kette GK für Verstärkungen von k P D = 1 und k P D = 0.7. Abbildung 8: Bodediagramm der Strecke (A) G 1, des P-Reglers K 1 und der resultierenden offenen Kette G 1 K 1 für Verstärkungen von k P = 1 und k P =

6 Abbildung 9: Bodediagramm der Strecke (A) G = G 1K 1 1+G 1 K 1 G 2, des PD-Reglers K 2 und der resultierenden offenen Kette G K 2 für Verstärkungen von k P D = 1 und k P D = 4.2. Abbildung 10: Vergleich der Sprungantworten von einschleifigem Regelkreis (PD) und Kaskadenregelung (PD+P) für Strecke (A) Abbildung 11: Vergleich der Sprungantworten von einschleifigem Regelkreis (PI) und Kaskadenregelung (PI+P) für Strecke (B) 6

7 Abbildung 12: Bodediagramm der Strecke (B) G = G 1 G 2, des PI-Reglers und der resultierenden offenen Kette GK für Verstärkungen von k P I = 1 und k P I = 0.3. Abbildung 13: Bodediagramm der Strecke (B) G 1, des P-Reglers K 1 und der resultierenden offenen Kette G 1 K 1 für Verstärkungen von k P = 1 und k P =

8 Abbildung 14: Bodediagramm der Strecke (B) G = G 1K 1 1+G 1 K 1 G 2, des PI-Reglers K 2 und der resultierenden offenen Kette G K 2 für Verstärkungen von k P I = 1 und k P I = 0.8. Aufgabe 8.3 a) Überprüfen der Implementierbarkeitsbedingungen: a) T (s) realisierbar? Grad(q T ) Grad(p T )? ja. b) K(s) realisierbar? T ( ) 1 & r(t ) r(g)? ja. c) (G, K) as. stabil? T (s) asympt. stabil? ja. m-fache instabile NS von G(s) ist m-fache NS von T (s)? keine instabile NS vorhanden. m-facher instabiler Pol von G(s) ist m-fache NS von S(s)? nein, Streckenpol bei 2 ist keine Nullstelle von S(s) (Streckenpol bei 0 zwar schon, aber das reicht nicht aus) T (s) ist für G(s) nicht implementierbar b) Überprüfen der Implementierbarkeitsbedingungen: a) T (s) realisierbar? Grad(q T ) Grad(p T )? ja. b) K(s) realisierbar? T ( ) 1 & r(t ) r(g)? ja. c) (G, K) as. stabil? T (s) asympt. stabil? ja. m-fache instabile NS von G(s) ist m-fache NS von T (s)? ja. 8

9 m-facher instabiler Pol von G(s) ist m-fache NS von S(s)? ja. T (s) ist für G(s) implementierbar. Es ergibt sich der folgende Regler: K(s) = T (s) 5(s 4)(s 2) 1 T (s) G 1 = (s 2 + 2s + 2)(s + 2) 5(s 2)(s 4) 5(s 4)(s + 1) = s Um die Wurzelortskurve zu zeichnen, definieren wir (s + 1)(s 1) (s 2) (s 4)(s + 1) K(s) = }{{} 5 = k s K(s) :=k }{{} := K(s) In Abb. 15 ist die Wurzelortskurve des offenen Kreises Q(s) = k G(s) K(s) über die Parameterwerte k [0, 250] gezeigt, wobei die Lage der Pole für k = 5 markiert ist. Diese stimmen mit den Polen von T (s) überein. c) Überprüfen der Implementierbarkeitsbedingungen: a) T (s) realisierbar? Grad(q T ) Grad(p T )? ja. b) K(s) realisierbar? T ( ) 1 & r(t ) r(g)? ja. c) (G, K) as. stabil? T (s) asympt. stabil? ja. m-fache instabile NS von G(s) ist m-fache NS von T (s)? keine instabile NS vorhanden. m-facher instabiler Pol von G(s) ist m-fache NS von S(s)? kein instabiler Pol vorhanden. T (s) ist für G(s) implementierbar. Es ergibt sich der folgende Regler: K(s) = p T (s)q G (s) (q T (s) p T (s))p G (s) = (2s + 1)(3s + 4) ((3s 2 + 6s + 1) (2s + 1))3 = 2s + 1 3s Die Wurzelortskurve ist in Abb. 16 gezeigt. d) Überprüfen der Implementierbarkeitsbedingungen: a) T (s) realisierbar? Grad(q T ) Grad(p T )? ja. b) K(s) realisierbar? T ( ) 1 & r(t ) r(g)? ja. c) (G, K) as. stabil? T (s) asympt. stabil? ja. m-fache instabile NS von G(s) ist m-fache NS von T (s)? ja. m-facher instabiler Pol von G(s) ist m-fache NS von S(s)? kein instabiler Pol vorhanden. 9

10 T (s) ist für G(s) implementierbar. Es ergibt sich der folgende Regler: K(s) = 0.2(s + 5)(s + 2) s s Um die Wurzelortskurve zu zeichnen, definieren wir (s + 5)(s + 2) K(s) = }{{} 0.2 s s :=k }{{} := K(s) = k K(s) In Abb. 17 ist die Wurzelortskurve des offenen Kreises Q(s) = k G(s) K(s) über die Parameterwerte k [0, 200] gezeigt, wobei die Lage der Pole für k = 0.2 markiert ist. Diese stimmen mit den Polen von T (s) überein. e) Überprüfen der Implementierbarkeitsbedingungen: a) T (s) realisierbar? Grad(q T ) Grad(p T )? ja. b) K(s) realisierbar? T ( ) 1 & r(t ) r(g)? ja. c) (G, K) as. stabil? T (s) asympt. stabil? ja. m-fache instabile NS von G(s) ist m-fache NS von T (s)? keine instabile NS vorhanden. m-facher instabiler Pol von G(s) ist m-fache NS von S(s)? ja. T (s) ist für G(s) implementierbar. Es ergibt sich folgender Regler: K(s) = s + 4 s + 3 Die Wurzelortskurve ist in Abb. 18 gezeigt. f) Eine komplementäre Sensitivitätsfunktion, die alle Implementierbarkeitsbedingungen erfüllt ist z.b. T (s) = 1 (0.1s + 1) = (s + 10) 2 da diese einen Polüberschuss von r(t ) = 2 r(g) = 2 hat. Außerdem ist darauf zu achten, dass eine sinnvoll gewählte komplementäre Sensitivitätsfunktion eine statische Verstärkung von 1 aufweist, da sonst eine bleibende Regelabweichung auftritt. Mit dieser Wahl für T (s) ergibt sich: K(s) = T (s) (s + 1) 2 1 T (s) G 1 = }{{} 100 s(s + 20) :=k }{{} := K(s) = k K(s) In Abb. 19 ist die Wurzelortskurve des offenen Kreises Q(s) = kg(s) K(s) über die Parameterwerte k [0, 150] gezeigt, wobei die Lage der Pole für k = 100 markiert ist. Diese stimmen mit den Polen von T (s) überein. g) Überprüfen der Implementierbarkeitsbedingungen: 10

11 a) T (s) realisierbar? Grad(q T ) Grad(p T )? ja. b) K(s) realisierbar? T ( ) 1 & r(t ) r(g)? ja. c) (G, K) as. stabil? T (s) asympt. stabil? ja. m-fache instabile NS von G(s) ist m-fache NS von T (s)? ja, da es mindestens m- fache NS von T (s) sein muss (hier m+1-fache NS). m-facher instabiler Pol von G(s) ist m-fache NS von S(s)? kein instabiler Pol vorhanden. T (s) ist für G(s) implementierbar. Es ergibt sich der folgende Regler: K(s) = T (s) 1 T (s) G 1 = = (s 2) 2 (s + 2) (s + 4)(s + 1) 2 (s 2) 2 (s 2) (s 2)(s + 2) s(s 2 + 5s + 13) Um die Wurzelortskurve zu zeichnen, definieren wir K(s) = 1 }{{} :=k (s 2)(s + 2) s(s 2 + 5s + 13) }{{} := K(s) = k K(s) In Abb. 20 ist die Wurzelortskurve des offenen Kreises Q(s) = k G(s) K(s) über die Parameterwerte k [0, 750] gezeigt, wobei die Lage der Pole für k = 1 markiert ist. Diese stimmen mit den Polen von T (s) überein. h) Überprüfen der Implementierbarkeitsbedingungen: a) T (s) realisierbar? Grad(q T ) Grad(p T )? ja. b) K(s) realisierbar? T ( ) 1 & r(t ) r(g)? ja. c) (G, K) as. stabil? T (s) asympt. stabil? ja. m-fache instabile NS von G(s) ist m-fache NS von T (s)? keine instabile NS vorhanden. m-facher instabiler Pol von G(s) ist m-fache NS von S(s)? ja, da es mindestens m-fache NS von S(s) sein muss (hier m+1-fache NS). T (s) ist für G(s) implementierbar. Es ergibt sich der folgende Regler: K(s) = T (s) 1 T (s) G 1 = 10s 2 + 5s + 4 (s + 4)(s + 1) 2 (10s 2 + 5s + 4) = 10s2 + 5s + 4 s(s 2)(s + 2) (s 2) (s + 2) 11

12 Um die Wurzelortskurve zu zeichnen, definieren wir s s K(s) = }{{} 10 s(s 2)(s + 2) :=k }{{} := K(s) = k K(s) In Abb. 21 ist die Wurzelortskurve des offenen Kreises Q(s) = k G(s) K(s) über die Parameterwerte k [0, 750] gezeigt, wobei die Lage der Pole für k = 10 markiert ist. Diese stimmen mit den Polen von T (s) überein. Imaginary axis Imaginary axis Real axis Abbildung 15: Teilaufgabe b), Wurzelortskurve zu Q(s) = G(s) K(s) für k [0, 250]. Die grünen Punkte geben an, wo die Pole des geschlossenen Kreises für k = 5 liegen. Real axis Abbildung 16: Teilaufgabe c), Wurzelortskurve zu Q(s) = G(s) K(s) für k [0, 20]. Die grünen Punkte geben an, wo die Pole des geschlossenen Kreises für k = 2 3 liegen. 12

13 Imaginary axis Imaginary axis Real axis Abbildung 17: Teilaufgabe d), Wurzelortskurve zu Q(s) = G(s) K(s) für k [0, 200]. Die grünen Punkte geben an, wo die Pole des geschlossenen Kreises für k = 0.2 liegen. Real axis Abbildung 18: Teilaufgabe e), Wurzelortskurve zu Q(s) = G(s) K(s) für k [0, 2]. Die grünen Punkte geben an, wo die Pole des geschlossenen Kreises für k = 1 liegen. Imaginary axis Real axis Abbildung 19: Teilaufgabe f),wurzelortskurve zu Q(s) = G(s) K(s) für k [0, 100.5]. Die grünen Punkte geben an, wo die Pole des geschlossenen Kreises für k = 100 liegen. 13

14 Imaginary axis Imaginary axis Real axis Abbildung 20: Teilaufgabe g), Wurzelortskurve zu Q(s) = G(s) K(s) für k [0, 750]. Die grünen Punkte geben an, wo die Pole des geschlossenen Kreises für k = 1 liegen. Real axis Abbildung 21: Teilaufgabe h), Wurzelortskurve zu Q(s) = G(s) K(s) für k [0, 750]. Die grünen Punkte geben an, wo die Pole des geschlossenen Kreises für k = 10 liegen. 14