Analysis I. 5. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

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1 Aalysis I 5. Übugsstude Steve Battilaa steveb@studet.ethz.ch battilaa.uk/teachig March 9, 07

2 Erierug Satz. Quotietekriterium (bei!,,...) Das Quotietekriterium zeigt absolute Kovergez. lim a + <, absolute Kovergez a = =, keie Aussage >, Divergez. Satz. Wurzelkriterium (bei ( ),,!,...) Das Wurzelkriterium zeigt absolute Kovergez. <, absolute Kovergez lim a = =, keie Aussage >, Divergez. Satz. Leibitz-Kriterium (alterierede Reihe) Sei ( ) a eie alterierede Reihe ud ist = (i) lim a = 0 (ii) a 0 (iii) a mooto falled, da kovergiert ( ) a. = Ijektiviät, Surjektivität, Bijektivität Defiitio. Eie Abbildug f : X Y heisst ijektiv, falls, X : f( ) f( ). (I Worte: Verschiedee Elemete aus X werde auf verschiedee Bilder i Y abgebildet.) Defiitio. Eie Abbildug f : X Y heisst surjektiv, falls y Y X : f() = y. (I Worte: Jedes Elemet aus Y wird vo f getroffe.) Defiitio. Eie Abbildug f : X Y heisst bijektiv, falls y Y! X : f() = y. (I Worte: Jedes Elemet aus Y wird vo f geau eis getroffe.) Defiitio. (Euler Formel). e iϕ = cos ϕ + i si ϕ.

3 3 Potezreihe Bemerkug. (Wichtige Reihe, eteded) (i) Geometrische Reihe: q =, für q <. q (ii) Zeta-Fuktio {(für s = erhalte wir die Harmoische Reihe): ζ(s) = divegiert, für s s kovergiert, für s > = Aus der Serie 4 wisse wir: = log() = = ( ) + ( ) (iii) Megoli Reihe: = log() = =. (+) Defiitio. Eie Potezreihe ist eie Reihe der Form a = a 0 + a + a a +... wori eie reelle (oder komplee) Variabe ist ud (a ) N eie reelle (oder komplee) Folge ist. Machmal git ma de allgemeiere Begriff eier Potzezreihe mit eiem Etwicklugspukt 0 a a ( 0 ). Defiitio. Der Kovergezradius ist als das Supremum aller Zahle ρ 0 defiiert, für welche die Potezreihe für alls mit 0 < ρ kovergiert: { } ρ := 0 a ( 0 ) ist koverget Satz. Für de Kovergezradius ρ der Potezreihe f() = (i) ρ a a + (bei!,,...) (ii) ρ = lim sup a a gelte die folgede Formel: (bei ( ),,!,...). 3

4 Beweis vo (i): Wir wede das Quotietekriterium auf die Reihe a a. Wir erhalte absolute Kovergez, falls lim a + + a a + a a + a = lim a +! a <. < a lim + a a =: ρ. Beweis vo (ii): Wir wede das Wurzelkriterium auf die Reihe a a. Wir erhalte absolute Kovergez, falls lim sup a a + = lim sup < a a a a lim sup a! <. =: ρ. Bemerkug. Beide Formel folge umittelbar aus dem Quotiete- bzw. Wurzelkriterium für (i) bzw. (ii). Bemerkug. Aus (i) ud (ii) folgt wie beim Quotiete- ud Wurzelkriterium die absolute Kovergez. Bemerkug. (Wichtig) Am Rad des Kovergezkreises, d.h. für de Fall 0 = ρ ist keie Aussage über die Kovergez möglich. Deshalb muss ma diese Fall eizel betrachte. Beispiel : Für welche R kovergiert die folgede Potezreihe? ( + ) + ( + ) = 4

5 Lösug: Wir bereche de Kovergezradius mit Hilfe vo der Formel (ii): ρ >0 a + + }{{} }{{} 0 >0 ) ( + + ( + + ) ( ) ( + + ( ) ( + + ( + ( + ) ) ( + ) ( ) ( ( ) ) ( + ) + ( + ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ) ( ( ) = ) ) = ρ = ρ = Also kovergiert die Potezreihe für + < ( ) ud divergiert für + >. Nu bereche wir de Kovergezbereich i Abhägigkeit vo für ( ): 5

6 ( ) ( + ) = = = 3 = 3 ( ) + = = = + < ( 3, ) Jetzt müsse wir ur och de Fall + = abdecke: = ( + ) + (±) Herleitug aalog wie obe ausgeführt =... = = = = = (±)( ) (±) Damit habe wir eie kovergete Majorate. Also kovergiert die Potezreihe für = ud = 3. Zusammefassed: Die Potezreihe kovergiert absolut für [ 3, ] ud divergiert sost. Beispiel : Bestimme de Kovergezbereich vo: Lösug: Wir betrachte zuerst ( ) + ( ). ( ) + y ( ) mit y := ( ). Nu bestimme wir de Kover- 6

7 gezradius mit Hilfe vo der Formel (i): ρ a a + ( + ) >0 + + ( + ) ( + ) + + = Die Potezreihe ( ) kovergiert somit absolut für y < ud divergiert für y >. Nu betrachte wir de Fall y = : ( ) + = ( ) + ( ) (i) lim = 0 + (ii) + 0 (iii) a a + a a ( + ) + 0 Leibitz-Kriterium = ( ) kovergiert ( + ) ( + )( + ) 0 + ( + )( + ) 0 ( + )( + ) 0 damit ist a mooto falled 7

8 Jetzt betrachte wir de Fall y = : ( ) + ( ) = = = = ( ) + + Wir habe die harmoische Reihe erhalte ud wisse deshalb, dass die Reihe i diesem Fall divergiert. Damit kovergiert ( ) für y (, ]. Jetzt zum Schluss müsse wir y = rücksubstituire ud bekomme: < y < 0 < = B = [, 0) (0, ]. 4 Grezwerte vo Fuktioe Defiitio. Sei Ω R d. Der Abschluss Ω vo Ω ist defiiert als Ω := { R d Beispiel 3: (0, ] = [0, ] da z.b. ( ) (0, ] ud lim Defiitio. Sei f : Ω R d R eie Fuktio, 0 Ω, a R. a heisst Grezwerta der Stelle 0, falls ( k ) Ω, lim k k = }. = 0 (0, ] ( k ) k N mit lim k k = 0 lim k f( k ) = f( 0 ) = a. Wir dürfe da schreibe: lim 0 f() = a. Bemerkug. Beachte: 0 Ω 0 Ω. Falls aber 0 Ω da ist f( 0 ) defiiert ud es gilt: Beispiel 4: Bereche lim +. lim f( k) = f( lim k ) = f( 0 ). k k }{{} Grezwert 8

9 Lösug: Sei mit beliebig. Beispiel 5: Bereche lim Lösug: = = ( + ) = + = + = +. Sei mit beliebig. lim + = = 0. 9