1 Endliche deterministische Automaten. Informatik I: Einführung in die Programmierung 7. Automaten: Akzeptoren & Transduktoren. Vorweg...

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1 Informatik I: Einführung in die Programmierung 7. : Akzeptoren Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Bernhard Nebel 30. Oktober Oktober 20 3 / 30 Vorweg... Was steckt in dem Würfel? Vor kurzem war ich auf unserem Dachboden und fand einen Würfel und einen Brief. Lieber Finder dieses Briefes, der Würfel ist gefallen: ---6 ergibt x, --2- ergibt y. Bei N 8 00,x O 7 0,y in Meter Tiefe wirst du einen sagenhaften Schatz finden, der das Bernsteinzimmer wie eine Studentenbude aussehen läßt. Ich wünsche Dir viel Glück bei deiner Suche! Emil Nebel Freiburg, 980 In dem Würfel gibt es ein Mechanismus, der die Abfolge von nach oben gerichteten Würfelseiten erkennt. Nachdem die richtige Folge gewürfelt wurde, schlägt dann von innen ein kleines Männchen (oder ein bauservo) mit einem Hämmerchen die Koordinaten. Uns interessiert hier, wie man solche Folgen von Ereignissen erkennen kann. Dazu kann man endliche als Akzeptoren einsetzen. Der endliche Automat ist ein Konzept, das überall in der Informatik vorkommt. sind ein sehr eingeschränktes Berechnungsmodell, das aber oft adäquat ist und einfach einzusetzen ist. 30. Oktober 20 / Oktober 20 / 30

2 Alphabete, Wörter und Sprachen : Akzeptoren Ein Alphabet ist eine endliche, nicht-leere Menge (von Symbolen oder Zeichen), meist mit Σ bezeichnet. In unserem Fall besteht das Eingabealphabet aus den Würfelseiten, d.h. Σ = {,2,3,,,6}. Ein Wort über einem Alphabet Σ ist eine Folge von Zeichen aus Σ, z.b. wäre 6 ein Wort. Eine (formale) Sprache ist eine beliebige (endliche oder unendliche) Menge von Wörtern. kann man nutzen, um Sprachen zu akzeptieren. Ein r endlicher Automat (DEA) ist ein Quintupel A = Q,Σ,δ,,F, wobei Q ist die endliche Zustandsmenge, Σ ist das Eingabealphabet, δ : Q Σ Q ist die Übergangsfunktion, ist der Anfangszustand, F Q ist die Menge der (akzeptierenden) Endzustände. 30. Oktober 20 6 / Oktober 20 7 / 30 Übergangsfunktion endlichen Die Übergangsfunktion wird entweder durch eine Übergangstabelle oder durch ein Übergangsdiagramm angegeben. In unserem Fall (zu erkennendes Wort: 6) könnte das wie folgt aussehen (q e bezeichnet einen Fehlerzustand und F = {q f }) q e q e q e q e q q e q q 2 q e q e q e q e q e q 2 q e q e q e q e q e q e q e q e q e q e q f q f q e q e q e q e q e q e q e q e q e q e q e q e q e 6 q q 2 q f Beachte: In Übergangsdiagrammen wird der absorbierende Fehlerzustand q e und alle Übergänge dorthin in der Regel nicht angegeben. q e -6-6 Anfänglich befindet sich der Automat im Startzustand. Der Automat erhält ein Wort w = a a 2...a n über Σ als Eingabe (darf auch leer sein, d.h. n = 0). Der Automat liest (beginnend bei a ) jeweils ein Eingabezeichen a i und basierend auf dem aktuellen Zustand q wechselt er in den Nachfolgezustand q = δ (q,a i ). Das macht der Automat, so lange Eingabezeichen gelesen werden können. Ist am Ende der Automat in einem der Endzustände F, dann wird das Eingabewort w als akzeptiert angesehen. Ansonsten ist das Wort nicht akzeptiert. Die Menge aller von A akzeptierten Worte ist die von A akzeptierte (oder erkannte) Sprache oder einfach die Sprache von A, symbolisch L (A). 30. Oktober 20 8 / Oktober 20 9 / 30

3 e Eingabe: Eingabe akzeptiert 6 q q 2 q f Das letzte zeigte: Bei unserem Würfel wollen wir eigentlich alle Folgen akzeptieren, die 6 als Teilstring enthalten, z.b. auch 6, oder 6, oder 6 oder q q 2 Eingabe: Kein Übergang von aus möglich! Eingabe nicht akzeptiert. 6 q q 2 q f 2-, q f 30. Oktober 20 0 / Oktober 20 / 30 Nord- und Ostkode integrieren 2 Wir haben ja auch noch 2 als Teilstring zu erkennen! Das können wir in den integrieren: q q q 2-6 q f2 q 2,3,,6 2,3,6 2,3 6-6 q f 30. Oktober 20 2 / Oktober 20 / 30

4 Nach der Akzeptanz ist vor der Akzeptanz! Moore- Wir haben jetzt einen, der alle Wörter akzeptiert, die 6 oder 2 als Teilstring enthalten. Eigentlich wollen wir ja aber eine Maschine haben, die ewig läuft und die jeweils nach einem akzeptierten Teilwort eine Ausgabe macht. Wir wollen keinen Akzeptor, sondern einen Transduktor einen, der auch Ausgaben macht und nie stoppt. Hier verzichtet man zumeist auf Endzustände. Mit solchen kann man gut das Verhalten eingebetteter Systeme beschreiben. Ein (nach Edward F. Moore) ist ein endlicher Automat, der in jedem Zustand ein Zeichen ausgeben kann. Es ist ein 6-Tupel A = Q,Σ,Λ,δ,λ,, wobei Q ist die endliche Zustandsmenge, Σ ist das Eingabealphabet, Λ ist das Ausgabealphabet, δ : Q Σ Q ist die Übergangsfunktion, λ : Q Λ ist die Ausgabefunktion. ist der Startzustand. Kommt der Automat in einen Zustand q, dann gibt er das Zeichen λ (q) aus. Oft werden diese Ausgabezeichen als Aktionen verstanden (oder sind Eingaben für andere ). 30. Oktober 20 / Oktober 20 6 / 30 : Der Würfel- : Ein hypothetische Motorsteuerung Sei Λ = {n,o,}, dann könnte unser Würfelautomat so ausschauen (die grünen Teile sind neu): Σ = {e,a,g,b,n}, wobei e für ein, a für aus, g für Gas geben, b für bremsen, n für nicht drehende Räder steht. Λ = {off,low,full}. q q q 2 g q 2 full 2 q,3,,6 2,3,6 2,3 6 off e a q low b n b q f2 q f o n low 30. Oktober 20 7 / Oktober 20 8 / 30

5 Die Innereien des Würfels Das Würfel-Programm Wie implementiert man denn solch einen abstrakten? Schauen wir doch einmal in den Würfel hinein: Batterien ( AA-Akkus, also,-6 Volt), Servomotor, pyboard (mit einem ARM- Prozessor, Beschleuningungsmesser, usw.), auf dem Micropython läuft 30. Oktober Schauen 20 wir uns das Programm mal an... 9 / 30 side_up(): Bestimmt mit Hilfe des Beschleunigsmessers, welche Seite oben liegt. Bei unklaren Werten wartet die Funktion, bis eine stabile Lage eingetreten ist. new_input(): Erzeugt ein neues Eingabesymbol für den (Zahl zwischen und 6), wenn der Würfel 00 Millisekunden stabil lag. next_state(state, input): Das ist die Übergangsfunktion, die den nächsten Zustand berechnet. output_symbol(state): Berechnet das zum Zustand gehörige Ausgabesymbol. automaton(): Enthält die Endlosschleife zur Ausführung des. code_knock(code): Klopft entsprechend dem angeforderten Code. 30. Oktober / 30 Der Seitenerkenner mittels Beschleunigungssensor Symbolerzeugung Die Erdbeschleunigung von g entspricht einem Messwert von rund 20. Seitenerkenner thres = 2 def side_up(): while True: x = acc.x(); y = acc.y(); z = acc.z() if x > thres: return #x up if x < -thres: return 2 #x down if y > thres: return 6 #y up if y < -thres: return #y down if z > thres: return 3 #z up if z < -thres: return #z down # no stable situation yet Symbolerzeugung def new_input(): while True: curr = side_up() new = curr start = pyb.millis() while (curr == new and pyb.elapsed_millis(start) <= 00): new = side_up() if curr == new: return curr Erzeugt i.w. alle 0, Sekunden ein neues Eingabesymbol, also nicht nur, wenn die Seite gewechselt wird. D.h. Automat muss auch etwas anders aussehen! 30. Oktober 20 2 / Oktober / 30

6 Die Übergangsfunktion Der Automat die Ausgabefunktion Übergangsfunktion def next_state(state, input): if state == 0: # intial state if input == : return return 0 elif state == : # '' read if input == : return if input == : return 2 if input == : return return 0 elif state == 2: # '' read if input == : return 2 # repetition! if input == : return 3 return 0 elif... Beachte: Jeder Zustand hat eine Schleife für das Zeichen, das dafür notwendig war, in den Zustand zu kommen. 30. Oktober / 30 Der Automat die Ausgabefunktion def automaton(): state = 0 while True: if sw(): return # if switch is pressed, exit state = next_state(state, new_input()) code_knock(output_symbol(state)) 3 def output_symbol(state): if state == 0: return "north" elif state == : return "east" else: return None 30. Oktober 20 2 / 30 Die reale formale e Interpretation Aktion Bevor wir formale e (wie Moore-) einsetzen können, müssen zuerst die Messwerte/Eingaben interpretiert und in Symbole umgesetzt werden. Die Interpretation und das beeinflussen sich dabei gegenseitig (: Würfelseitenerkennung und Automat) Werden wir in der Info I aber nicht vertiefen. 30. Oktober / Oktober / 30

7 sind ein einfaches Berechnungsmodell. Sprachen sind eine Menge von Wörtern. Determinstische endliche () sind Akzeptoren, sie können Sprachen akzeptieren. sind endliche (ohne Endzustand), mit denen Eingaben in Ausgaben überführt werden können. Der macht in jedem Zustand eine Ausgabe. können das Verhalten eingebetteter Systeme gut beschreiben. Was wir völlig ignoriert haben: Energieeffizienz (das pyboard braucht 80mA im Wachmodus). 30. Oktober / Oktober / 30