Abstände und Zwischenwinkel

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1 Abstände und Zwischenwinkel Die folgenden Grundaufgaben wurden von Oliver Riesen, KS Zug, erstellt und von Stefan Gubser, KS Zug, überarbeitet. Aufgabe 1: Bestimme den Abstand der beiden Punkte P( 3 / 7 / 7) und Q( 2 / 3 / 1). Wir berechnen die Länge (Norm) des Vektors, welcher vom Punkt P zum Punkt Q (oder umgekehrt) zeigt. Oder anders formuliert: Der Abstand der beiden Punkte ist die Länge des Differenzenvektors. Zu berechnen ist also PQ!!!" und dies ergibt 9. Aufgabe 2: Bestimme den Abstand des Punktes P( 6 / 5 / 7) von der Geraden g, welche durch die Punkte mit den Koordinaten ( 2 / 3 / 2) und ( 8 / 3 / 5) verläuft. Weg a) Lege von P aus die Normalebene auf g. Bezeichne diese Ebene mit ε. b) Bestimme den Schnittpunkt (Lotfusspunkt) { L} = g ε. c) Bestimme den Abstand von P zu L. P ε L g Konkrete Durchführung der Berechnung: a) Zuerst berechnen wir den Richtungsvektor von g. Dieser ist gleichzeitig Normalenvektor von ε. Wir können den erhaltenen Vektor noch mit 3 kürzen und erhalten somit die Koordinatengleichung von ε :2x 2y + z + D = 0. Wenn wir P einsetzen, erhalten wir D = 9 und somit lautet die Koordinatengleichung von ε :2x 2y + z 9 = 0. 1/10

2 b) Jetzt stellen wir die Parametergleichung von g auf und setzen die einzelnen Komponenten in der Ebenengleichung ein. Wenn wir den aus der Gleichung ermittelten Wert t = 1 in der Parametergleichung von g einsetzen, erhalten wir den Lotfusspunkt L( 4 /1/ 3). c) Der gesuchte Abstand ist die Distanz von L zu P d = 6. Aufgabe 3: Bestimme den Abstand d des Punktes P( 3 /1/ 3) von der Ebene ε :2x y + 2z 17 = 0. Für dieses Aufgabe gibt es zwei verschiedene Lösungswege. Variante 1: a) Bestimme das Lot l von P auf die Ebene ε. b) Bestimme den Schnittpunkt (Lotfusspunkt) { L} = l ε. c) Bestimme den Abstand von P zu L. P ε L Konkrete Durchführung der Berechnung: Der Normalenvektor der Ebene ist gleichzeitig Richtungsvektor des Lotes. Alles andere sollte aus dem Rechnerbildschirm und dem oben notierten Lösungsweg ersichtlich sein. 2/10

3 Variante 2: Wenn nur der Abstand gesucht ist, dann gibt es eine schnellere Methode. Setze P in die HNF der Ebene ε ein. Wie das gemacht wird, sei nochmals kurz erklärt. Dividiere die Koordinatengleichung durch die Länge des Normalenvektors. Im Beispiel hat der Normalenvektor die Länge 3 und dies ergibt: 2x y + 2z 17 HNF ε : = 0 3 Wenn wir nun irgendeinen Punkt der Ebene einsetzen, erhalten wir auf der linken Seite immer noch Null (denn die Gleichung der Ebene wurde nur durch eine Konstante dividiert). Setzen wir aber nun irgendeinen anderen Punkt des Raumes ein (beispielsweise P ), so erhalten wir bis auf ein eventuelles Vorzeichen genau den Abstand von P zur Ebene ( 3) 17 = = 6 Somit beträgt der Abstand d von P zur Ebene ε 6. Aufgabe 4: Bestimme den Abstand der beiden Parallelen g und h. Die Gerade g verläuft durch die Punkte ( 3 / 4 / 1) und ( 8 / 6 / 5). Die Gerade h verläuft durch die Punkte ( 12 /10 / 2) und ( 2 / 6 /10). Zuerst weisen wir nach, dass die Geraden parallel sind, indem wir prüfen, ob die Richtungsvektoren kollinear sind. Aus dem Rechnerbildschirm wird ersichtlich, dass der untere Richtungsvektor das 2 - fache vom oberen ist. 3/10

4 Weil wir jetzt wissen, dass die Geraden parallel sind, können wir auf h einen Punkt frei wählen (beispielsweise ( 12 /10 / 2) ) und dann den Abstand dieses Punktes zu g berechnen. Wie das gemacht wird, steht bereits in Aufgabe 2. Die Lösung ist d = 9 Aufgabe 5: Gegeben sind die Gerade g durch die Punkte ( 5 / 3 /1) und ( 10 /10 / 0) und die Gerade h durch die Punkte ( 6 / 6 / 4) und ( 9 /11/ 5). a) Weise nach, dass sich die Geraden schneiden und bestimme den Schnittpunkt. b) Bestimme den Zwischenwinkel von g und h. Zuerst stellen wir die Parametergleichungen von g und h auf. Beachte, dass die Parameter verschieden sind, also beispielsweise t und s. Dann setzen wir die Geraden gleich, d.h. wir setzen die x - und die y -Koordinatengleichungen einander gleich. Die gefundenen Werte für t und s setzen wir in der betreffenden Parametergleichung ein. Da wir auf beiden Geraden denselben Punkt erhalten, schneiden sich die Geraden in eben diesem Punkt. Anders ausgedrückt, die Parameterwerte t = 1 und s = 2 erfüllen alle drei Komponentengleichungen und somit schneiden sich die Geraden. Der Zwischenwinkel von g und h ist der Winkel zwischen ihren beiden Richtungsvektoren. 4/10

5 Den Winkel zwischen zwei Vektoren a! und b! berechnen wir mit der Formel cos( γ ) = a! b! a! b! γ = cos 1!! a b a! b! Aufgabe 6: Gegeben sind die Geraden g durch die Punkte ( 1/ 0 / 3) und ( 1/1/ 4) und die Gerade h durch die Punkte ( 3 / 2 /1) und ( 9 /1/ 3). Die Geraden g und h sind windschief. Bestimme den Abstand der Geraden. Weg Den kürzesten Abstand zweier windschiefer Geraden erhalten wir, indem wir auf g einen Punkt G und auf h einen Punkt H so bestimmen, dass die Verbindungsgerade t ( GH ) sowohl zu g als auch h senkrecht steht. Der Abstand d der Punkte G und H ist dann der Abstand der beiden windschiefen Geraden. t G P g h S d H g ε Die Gerade t heisst Minimaltransversale und ist relativ schwierig zu bestimmen. Daher betrachten wir vorerst nur den Abstand der beiden windschiefen Geraden ohne Berechnung der beiden nächsten beieinander liegenden Punkte G und H. Räumliches Vorgehen: Zuerst verschieben wir die Gerade g parallel so, dass die verschobene Gerade g und h sich schneiden (in der Figur auf der folgenden Seite ist S deren Schnittpunkt). S ist ein beliebiger Punkt von h. Im Allgemeinen wird S nicht genau der Punkt H der Minimaltransversalen sein. Wir müssen also annehmen, dass S H. 5/10

6 Die Geraden g und h bilden dann eine Ebene ε. P g h S ε d g Der gesuchte Abstand ist dann der Abstand von g zu ε, oder (noch einfacher), wähle auf g einen Punkt (in der Figur ist das der Punkt P ) und berechne den Abstand dieses Punktes zu ε. Konkrete Durchführung der Berechnung: Von der Ebene ε kennen wir zwei Richtungsvektoren, nämlich die Richtungsvektoren von g und h. Deren Vektorprodukt ist der Normalenvektor von ε (im Beispiel können wir den Normalenvektor noch kürzen). Für den Punkt S wählen wir einen Punkt von h, beispielsweise ( 3 / 2 /1). Wenn wir diesen Punkt einsetzen, erhalten wir die Koordinatengleichung von ε : x + 2y 2z 5 = 0. Jetzt wählen wir einen Punkt von g, beispielsweise P( 1/ 0 / 3) und setzen diesen in die HNF von ε ein. Die HNF lautet x + 2y 2z 5 3 = 0. Wenn wir P in die HNF von ε einsetzen, erhalten wir 4. Daraus folgt, dass der Abstand 4 beträgt. 6/10

7 Aufgabe 7: Gegeben ist die Gerade g durch die Punkte ( 7 / 1/ 3) und ( 4 / 5 / 4). Die Ebene ε ist durch ihre Koordinatengleichung ε : 4x y + 8z 8 = 0 gegeben. Zeige, dass g zur Ebene ε parallel liegt und berechne den Abstand von g zu ε. Zuerst versichern wir uns, dass die Gerade g zur Ebene ε parallel liegt. Das können wir auf verschiedene Arten nachweisen, beispielsweise so: Der Richtungsvektor von g muss zum Normalenvektor der Ebene senkrecht stehen, also muss deren Skalarprodukt gleich Null sein. Den Abstand der Geraden zur Ebene ε erhalten wir, indem wir einen Punkt von g wählen und dessen Abstand zur Ebene ε berechnen. Wir setzen also ( 7 / 1/ 3) in die HNF Abstand 5. 4x y + 8z 8 9 = 0 ein und erhalten den gesuchten Aufgabe 8: Gegeben ist die Gerade g durch die Punkte ( 7 / 10 /11) und ( 4 / 6 / 4). Die Ebene ε ist durch ihre Koordinatengleichung ε : 7x 5y + 3z 8 = 0 gegeben. Bestimme den Schnittpunkt S und den Zwischenwinkel α. Das Berechnen des Schnittpunktes ist eine rein technische Angelegenheit. Wir bestimmen die Parametergleichung von g und setzen alles in die Ebenengleichung ein. Den erhaltenen Parameterwert setzen wir wieder in die Parametergleichung ein. Wir erhalten S( 1/ 2 / 3). 7/10

8 Für den Zwischenwinkel benötigen wir eine Überlegungsfigur. Gesucht ist der Winkel α zwischen g und der Ebene ε. Es ist einfacher, den Winkel β zu berechnen und dann auf 90 zu ergänzen. β ist der Winkel zwischen dem Richtungsvektor von g und dem Normalenvektor n! der Ebene ε. Berechnen wir den Winkel β, erkennen wir, dass dieser grösser als 90 ist. Daraus folgt α = β Aufgabe 9: Gegeben sind die Ebenen ε 1 : x 2y + 2z 3 = 0 und ε 2 :2x 4y + 4z + 3 = 0. Zeige, dass die Ebenen parallel sind und berechne ihren Abstand d. Der Normalenvektor der Ebene ε 2 ist das Doppelte vom Normalenvektor der Ebene ε 1. Die beiden Normalenvektoren sind also kollinear. Damit sind die Ebenen parallel. Zur Berechnung des Abstandes wählen wir einen Punkt auf der Ebene ε 1 und berechnen dessen Abstand zur Ebene ε 2. Den Punkt auf der Ebene ε 1 wählen wir möglichst einfach, beispielsweise ( 3 / 0 / 0). Diesen Punkt setzen wir in die HNF der Ebene ε 2 ein. Die HNF lautet: 2x 4y + 4z + 3 = 0 6 Wenn wir jetzt x = 3, y = 0 und z = 0 setzen, erhalten wir sofort den gesuchten Abstand d = /10

9 Aufgabe 10: Gegeben sind die Ebenen ε 1 : x y + z 3 = 0 und ε 2 :2x + y 3z 3 = 0. Bestimme die Schnittgerade s und den Zwischenwinkel α. Die Aufgabe besteht aus drei Teilen. a) Der Richtungsvektor der Schnittgeraden s. Er steht auf beiden Normalenvektoren senkrecht. Also ist der Richtungsvektor der Schnittgeraden das Vektorprodukt der beiden Normalenvektoren. b) Einen Punkt der Schnittgeraden erhalten wir, indem wir in den Ebenengleichungen (beispielsweise) z = 0 setzen. Das entstehende Gleichungssystem x y 3 = 0 2x + y 3 = 0 können wir sofort lösen. Wir erhalten x = 2 und y = 1. Somit liegt ( 2 / 1/ 0) auf der Schnittgeraden s. Räumlich gesehen haben wir damit den Schnittpunkt der Schnittgeraden s mit der xy -Ebene bestimmt. In dieser Ebene liegen nämlich alle Punkte mit z = 0. 9/10

10 Damit ist die Schnittgerade s vollständig bestimmt: s :r! = t 5 3 c) Der Winkel zwischen den Ebenen ist der Winkel zwischen ihren Normalenvektoren. Wenn wir beim Berechnen des Winkels (letzte Zeile auf dem Bildschirm) ein allfälliges Vorzeichen vor dem Cosinus wegstreichen, erhalten wir sofort den spitzen Zwischenwinkel. Es folgt α /10