Grundkurs Codierung Lösungsvorschläge zu den Fragen in den Unterkapiteln Was blieb? Stand Unterkapitel 4.4 Seite 261

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Dorothea Färber
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1 Grundkur Codierung Löungvorchläge zu den Fragen in den Unterkapiteln Wa blieb? Stand Unterkapitel 4.4 Seite 261 Zu Frage 1: Nein, damit bleibt da one time pad-verfahren nicht perfekt. Man kann ich da klar machen, wenn man den anderen Extremfall nur eine Schlüel betrachtet, mit dem ja gemäß den Bildern 4.14 und 4.15 die Verteilung der Geheimtextzeichen überhaupt nicht verändert wird. Verwendet man nun zwei zufällig verteilte Schlüel, o tehen hinter jedem Geheimtextzeichen zwei mögliche Klartextzeichen, nämlich die, deren Summen mit den beiden Schlüeln immer denelben Wert ergeben. Die Verteilung der Geheimtextzeichen wird alo im Mittel Doppeläulen aufweien und man mu durch Probieren nur noch ermitteln, welche Klartextzeichen mit welchen beiden Schlüeln zum Wert dieer Doppeläulen führen. Diee Verchlüelung it alo noch weit davon entfernt, perfekt zu ein. Bei drei zufällig verteilten Schlüeln verhält e ich ähnlich, in der Verteilung der Geheimtextzeichen erhält man nun Dreifachäulen, wa eine weitere Abflachung de Profil bewirkt. Damit wird allerding auch da Probieren zum Betimmen der dann drei verchiedenen Klartextzeichen aufwändiger uw. Mit jedem neu hinzu genommenen Schlüel flacht die Häufigkeitverteilung weiter ab, bewegt ich immer mehr auf einen perfekten Zutand zu, iehe Bild 4.16, und erreicht dieen im Extremfall gleich vieler verchiedener Schlüel wie Klartextzeichen. Zu Frage 2: Nein, e gibt dann keine Möglichkeit. Zu Frage 3: Wenn ein Angreifer einige zuammenhängende Teiltücke von Geheim- und Klartext in die Hände bekommt, kann er die zugehörigen Schlüel berechnen. Dann hat er eine Chance, mit Hilfe de in Unterkapitel 4.3, Seiten 258 ff, bechriebenen Verfahren Länge und Rückkopplungpolynom de Schieberegiter zu ermitteln. Damit wäre ihm auch die geamte Peudo-Zufallfolge bekannt. Zu Frage 4: Nein, maximale Längen von Schieberegiterfolgen (= Maximallängenfolgen) werden nur mit denjenigen irreduziblen Rückkopplungpolynomen erzeugt, deren zugehörige Wurzeln die maximale Ordnung aufweien, oder, etwa genauer: Deren Wurzeln primitive Elemente ind. Ein über die Koeffizienten eine Polynom m-ten Grade g(x) mit Koeffizienten im Z 2 rückgekoppelten binären Schieberegiter mit m Speichern gemäß Bild 4.1 in Unterkapitel 4.1, Seite 235, wirkt wie ein MOD g(x)-dividierer. Ein Beipiel für g(x) = x 3 + x + 1 it in Bild 3.12 im Unterkapitel 3.7.2, Seite 109, dargetellt. Für die obere Tabelle in Bild 3.12 wurden die 3 Speicher zum Startzeitpunkt von link nach recht mit belegt. Am Eingang recht teht ein Folge von Nullen. Beim Ablauf tellen ich = 7 verchiedene Speicherzutände ein, der achte it die Wiederholung de erten. Bei der Diviion MOD g(x) wurde alo eine Zutandfolge maximaler Länge erzeugt oder al gleichwertige Beobachtung eine Binärfolge de Augangignal, die ich ert nach 7 Stellen wiederholt. Diee Ergebni erhält man auch bei fortlaufender Berechnung und Linkverchiebung de zu Grundkur Codierung Copyright 2006 Seite 1 von 5

2 Syndrompolynom (x) (x) = 1 (x) = 0001 MOD g(x) = 001, Linkverchiebung von 1 (x) über 1 (x) x und erneute Diviion ergibt nacheinander 2 (x) = 1 (x) x = 0010 MOD g(x) = (x) = 2 (x) x = 0100 MOD g(x) = (x) = 3 (x) x = 1000 MOD g(x) = (x) = 4 (x) x = 0110 MOD g(x) = (x) = 5 (x) x = 1100 MOD g(x) = (x) = 6 (x) x = 1000 MOD g(x) = (x) = 8 (x) x = 1000 MOD g(x) = 001 = 1 (x) Mit den Elementen α de Galoikörper GF(2 3 ), welcher über die Nulltelle α 3 = α + 1 de irreduziblen Polynom g(x) definiert wird, kann dieer Ablauf mit Hilfe von (x), v(x) = x 0 = 1 und x= α auch folgendermaßen dargetellt werden: (α) = 1 (α) = v(α) = α 0 = 1 2 (x) = 1 (x) x = 1 (α) α = α 3 (x) = 2 (x) x = 2 (α) α = α 2 4 (x) = 3 (x) x = 3 (α) α = α 3 5 (x) = 4 (x) x = 4 (α) α = α 4 6 (x) = 5 (x) x = 5 (α) α = α 5 7 (x) = 6 (x) x = 6 (α) α = α 6 8 (x) = 7 (x) x = 7 (α) α = α 7 = 1 (α) =1. Hier it direkt zu ehen, da die Maximallängenfolgen mit der Ordnung der Wurzel de definierenden irreduziblen Polynom g(x) zuammenhängen. Nach Unterkapitel eignet ich hierzu im GF(2 m ) aber nicht jede irreduzible Polynom vom Grad m. Zu Frage 5: Die Frage it alo, ob und wie ich die mittlere Entropie eine nach dem one time pad-verfahren erzeugten Geheimtexte G gegenüber der Entropie de Klartexte verändert. Wenn zur Dartellung eine Zeichen n Bit verwendet werden, dann it die Entropie H bei Gleichverteilung p(x 1 ) = p(x 2 ) =... p(x ) = 1/ aller =2 n Zeichen am größten, alo H= p x i max mit der Nebenbedingung =1, wenn p x 1 =p x 2 =... =p x Da one time pad-verfahren bewirkt aber gerade eine Gleichverteilung bei der Abbildung de Klartext- Zeichenatze in die Geheimtextzeichen. Alo erhöht ich die Entropie der Geheimtextzeichen, wenn die Klartextzeichen nicht gleich verteilt ind. Sie ändert ich nicht, wenn ie gleich verteilt ind (Zuatzfrage: bringt da one time pad-verfahren überhaupt etwa? Siehe unten *), jedoch wird ie in keinem Fall größer. Da ich die maximale Entropie bei Gleichverteilung ergibt, ieht man, wenn man z. B. die Wahrcheinlichkeit p(x ) gemäß der Nebenbedingung durch die Summe der übrigen Wahrcheinlichkeiten audrückt p x =1 und in da Entropie-Funktional H einetzt: zu Grundkur Codierung Copyright 2006 Seite 2 von 5

3 H= p x log 2 p x = 1 1 Die Ableitungen diee Funktional nach den -1 verbleibenden unabhängigen Wahrcheinlichkeiten ergeben -1 Gleichungen, die zur Betimmung de Extremwerte von H alle Null ein müen: H p x k = 1 1 =0 für k=1, 2,..., H p x k = log 2p x k p x k p x k ln2 log ln2 nach Elimination de zweiten und vierten Term owie Exponenzieren der beiden verbleibenden Summanden erhält man da Gleichungytem p x k 1 =0 für k=1, 2,..., oder a 1 p x 1 a 2 p x 2... a p x =1, a i =2 für i=k, a i =1 für i k, k=1, 2,..., E it nur für =0 p x k = 1,, 2,..., erfüllt, wie man ich durch Einetzen überzeugen kann. Die Wahrcheinlichkeit p(x ) ergibt ich au der oben genannten Nebenbedingung ebenfall al p x = 1 Beipiel: Die Koeffizientenmatrix A und ihre Invere A -1 de Gleichungytem bei =5: ] =[ A=[2 A ], *) Da gleiche Geheimtextzeichen hier immer zu gleichen Klartextzeichen gehören, it die Anzahl der brute force -Entchlüelungveruche bedeutend geringer al bei einer one time pad-verchlüelung, bei der jede Geheimtextzeichen nacheinander allen Klartextzeichen zugeordnet werden mu. Die perfekte Verchlüelung it alo - unabhängig von der Verteilung der Klartextzeichen - nur mit dem one tim pad- Verfahren möglich. Trotzdem eine weitere Frage: Gibt e überhaupt natürliche Alphabete mit gleich verteilten Zeichen? zu Grundkur Codierung Copyright 2006 Seite 3 von 5

Zu Frage 6:... mit dem Verfahren der Kreuzkorrelation zwichen dem Sende- und dem Empfangignal, iehe Unterkapitel 4.2. Zu Frage 7: Da zum irreduziblen Polynom f(x) = x m +.

4 Zu Frage 6:... mit dem Verfahren der Kreuzkorrelation zwichen dem Sende- und dem Empfangignal, iehe Unterkapitel 4.2. Zu Frage 7: Da zum irreduziblen Polynom f(x) = x m vom Grad m reziproke Polynom f * (x) hat dieelben Nulltellen wie f(x). Die Koeffizienten ercheinen wegen f * (x) =x m f(1/x) in umgekehrter Reihenfolge bezogen auf die Potenzen von x. Mit f(x) = x m + a m-1 x m it f * (x) = 1 + a m-1 x + a m-2 x x m Beipiel: f(x) = x 3 + x + 1 f*(x) = x 3 (x -3 + x ) = x 3 + x Anmerkung: Irreduzible Polynome haben bei x 0 (warum?). immer einen von Null verchiedenen Koeffizienten Zu Frage 8: Der Entdecker der Steinlau (Gattung Petrophaga au der Ordnung der Fabelnager - Rodentia inexita) war der Frankfurter Zoologe Dr. Bernhard Grzimek, veröffentlicht wurde diee Entdeckung allerding ert 1976 von Loriot in einem Wienchaftbeitrag der ARD. Die genaue Klaifikation findet man z. B. in Wikipedia oder im medizinichen Wörterbuch Pchyrembel. Hier da Foto eine gechlechtreifen Steinlau- Weibchen: Zu Frage 9: Gemäß Unterkapitel 4.3, Seite 258 ff, kann ein Angreifer veruchen, au zwei zuammengehörigen Stücken Klar- und Geheimtext da Rückkopplungpolynom de die Schlüelfolge erzeugenden Schieberegiter zu ermitteln. Bei Annahme zu niedriger oder zu hoher Polynomgrade ergeben ich linear abhängige Zeilen im betimmenden Gleichungytem, o da ich der paende Grad durch ytematiche Probieren ermitteln lät. (Anmerkung: Heute it die bei der Abicherung im WLAN mit Hilfe de WEPzu Grundkur Codierung Copyright 2006 Seite 4 von 5

5 Verfahren akut geworden. Zuletzt hat eine Forchergruppe der TU Darmtadt gezeigt, da der 128-Bit- WEP-Schlüel in etwa einer Minute geknackt werden kann. WEP it al Sicherungverfahren damit unbrauchbar). Zu Frage 10: Die Autokorrelationfunktion de Empfangignal enthält keine Information über die zeitliche Verchiebung (= Laufzeit) zum Sendeignal, die aber für dieen Zweck gerade betimmt werden oll. zu Grundkur Codierung Copyright 2006 Seite 5 von 5

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