ANALYTISCHE GEOMETRIE, VEKTORRECHNUNG UND INFINITESIMALRECHNUNG

Transkript

1 ANALYTISCHE GEOMETRIE, VEKTORRECHNUNG UND INFINITESIMALRECHNUNG 21. Auflage Mit 3 74 Bildern und 1080 A ufgaben mit Lösungen A Fachbuchverlag Leipzig

2 Inhaltsverzeichnis Analytische Geometrie 1. Punkte und Strecken im Koordinatensystem Einleitung Das rechtwinklige 1 Koordinatensystem 20 Aufgaben 1 bis Länge und Anstiegswinkel einer Strecke Entfernung eines Punktes vom Ursprung Entfernung zweier Punkte Anstiegswinkel a. einer Strecke PjP t 22 Aufgaben 6 bis Teilung einer Strecke in einem gegebenen Verhältnis Bestimmung des Mittelpunktes M einer Strecke P X P Bestimmung des Teilungspunktes T einer Strecke P^P^ Bestimmung des Schwerpunktes S eines Dreiecks 26 Aufgaben 11 bis Berechnung des Dreiecksinhaltes 28 Aufgaben 17 bis Die Gerade Die Gleichungen der Geraden Punktionsgleichung und Kurve Punktrichtungsgleichung und cartesische Normalform Zweipunktegleichung und Abschnittsgleichung Allgemeine Form der Geradengleichung Hessesche Normalform der Geradengleichung 36 Aufgaben 21 bis Zwei Geraden Bestimmung des Schnittpunktes zweier Geraden 43 Aufgaben 45 bis Bestimmung des Winkels, den zwei Geraden miteinander bilden 45 Aufgaben 50 bis Die Gleichungen der Winkelhalbierenden zweier Geraden 48 Aufgaben 62 bis Parallelverschiebung eines rechtwinkligen Koordinatensystems 50 Aufgaben 64 bis Der Kreis Die Gleichung des Kreises 52 Aufgaben 69 bis Kreis und Gerade 56 Aufgaben 81 bis 86 58

3 8 Inhaltsverzeichnis 3.3. Die Gleichung der Kreistangente Gleichung der Tangente in einem Punkt des Kreises Gleichungen der Tangenten von einem Punkt an den Kreis 61 Aufgaben 87 bis Schnittpunkte zweier Kreise 65 Aufgabe Schnittwinkel zweier Kreise 67 Aufgaben 97 bis Die Parabel Definition und Konstruktion der Parabel 68 Aufgabe Die Scheitelgleichung der Parabel 70 Aufgaben 101 bis Parabel und Gerade 71 Aufgaben 107 bis Tangente und Normale der Parabel 76 Aufgaben 109 bis Die Berührungssehne der Parabel 80 Aufgabe Durchmesser der Parabel 82 Aufgaben 118 bis Brennpunktseigenschaften der Parabel Allgemeine Gleichung der Parabel 86 Aufgaben 122 bis Die Ellipse Definition und Konstruktion der Ellipse Die Mittelpunktsgleichung der Ellipse 90 Aufgaben 128 bis Ellipse und Gerade 94 Aufgaben 133 bis Tangente und Normale der Ellipse 95 Aufgaben 136 bis Die Berührungssehne der Ellipse 98 Aufgabe Durchmesser der Ellipse 100 Aufgaben 142 bis Allgemeine Gleichung der Ellipse 101 Aufgabe Die Hyperbel Definition und Konstruktion der Hyperbel Die Mittelpunktsgleichung der Hyperbel 104 Aufgaben 146 bis

4 Inhaltsverzeichnis Hyperbel und Gerade 106 Aufgaben 150 bis Die Hyperbel und ein Durchmesser, Asymptoten der Hyperbel 108 Aufgaben 153 bis Tangente und Normale der Hyperbel 109 Aufgaben 158 bis Die Berührungssehne der Hyperbel 111 Aufgabe Konjugierte Durchmesser der Hyperbel 112 Aufgabe Allgemeine Gleichung der Hyperbel 113 Aufgabe Die Scheitelgleichungen der Kegelschnitte in rechtwinkligen Koordinaten Koordinatentransformation Drehung eines rechtwinkligen Koordinatensystems 116 Aufgaben 167 bis Darstellung von Kurven in Polarkoordinaten Das Polarkoordinatensystem und der Zusammenhang mit dem rechtwinkligen Koordinatensystem Darstellung der Kegelschnitte in Polarkoordinaten Darstellung von Spiralen und Kurven höheren Grades in Polarkoordinaten Aufgaben 169 bis Die allgemeine Gleichung zweiten Grades Hauptachsentransformation 126 Aufgaben 174 bis Die allgemeine Gleichung der Asymptoten eines Kegelschnittes Die Parameterdarstellung Erklärung der Parameterdarstellung Die Parameterdarstellung eines Kreises Die Parameterdarstellung einer Ellipse Die Parameterdarstellung einer Hyperbel Die Parameterdarstellung einer Parabel Die Parameterdarstellung einer Kreisevolvente Die Parameterdarstellung einer Rollkurve 141 Aufgaben 180 bis Die Bestimmung geometrischer örter Definition des geometrischen Ortes und allgemeine Anleitung für die Lösung geometrischer Ortsaufgaben 144

5 10 Inhaltsverzeichnis Beispiele über geometrische örter 144 Aufgaben 186 bis Vektorrechnung 12. Grundbegriffe der Vektorrechnung Vektor, Skalar Addition und Subtraktion von Vektoren Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Grund- und Einsvektoren Zerlegung von Vektoren in Komponenten 159 Aufgaben 204 bis Vektoren in einem rechtwinkligen Koordinatensystem Grundvektoren eines rechtwinkligen Koordinatensystems Rechengesetze für Vektoren in Koordinatendarstellung Betrag und Richtungscosinus eines Vektors 164 Aufgaben 210 bis Vektorgleichung einer Geraden im Raum 167 Aufgaben 216 bis Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit 171 Aufgaben 220 bis Das skalare Produkt Definition des skalaren Produktes 173 Aufgaben 224 bis Rechengesetze für skalare Produkte 176 Aufgaben 229 bis Anwendungen des Skalarproduktes 180 Aufgaben 233 bis 238, Das vektorielle Produkt Definition des vektoriellen Produktes 187 Aufgaben 239 bis Rechengesetze für vektorielle Produkte 189 Aufgaben 241 bis Anwendungen des Vektorproduktes 193 Aufgaben 244 bis Mehrfache Produkte von Vektoren Das Spatprodukt 196 Aufgaben 249 bis Das dreifache Vektorprodukt Vierfache Produkte von Vektoren 199

6 Inhaltsverzeichnis 11 Infinitesimalrechnung Historischer Überblick 201 Differentialrechnung 17. Veränderliche und Funktionen Funktionsbegriff, Veränderliche, Konstante Darstellung von Funktionen Die Darstellung durch eine Wertetabelle Die graphische Darstellung einer Funktion Die analytische Darstellung einer Funktion Einteilung der Funktionen Die rationalen Funktionen Die irrationalen Funktionen Algebraische und transzendente Funktionen Allgemeine Eigenschaften von Funktionen Umkehrfunktion Der Grenzwert Der Grenzwert einer Zahlenfolge Der Grenzwert einer Funktion Das Rechnen mit Grenzwerten Die Stetigkeit einer Funktion 228 Aufgaben 251 bis Die Ableitung oder der Differentialquotient einer Funktion Der Differenzenquotient Die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten 233 Aufgaben 258 bis Die Ableitung der Potenzfunktion Grundregeln der Differentiation Die Ableitung einer Konstanten Die Ableitung einer Funktion mit konstantem Faktor Die Ableitung der Summe mehrerer Funktionen Die Ableitung des Produktes mehrerer Funktionen Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen 244 Aufgaben 262 bis Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen Die Ableitung der Funktion y = sin x Die Ableitung der Funktion y = cos x Die Ableitungen der Funktionen y = tan x und y = cot x Das Differential; der Differentialquotient 250 Aufgaben 290 bis

7 12 Inhaltsverzeichnis Die Ableitung der Funktion einer Funktion. Die Ableitung einer Funktion in impliziter Darstellung Die Ableitung der logarithmischen und der Exponentialfunktion Höhere Ableitungen 261 Aufgaben 295 bis Untersuchung von Funktionen Der geometrische Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer ersten und zweiten Ableitung Extremwerte Wendepunkte Kuryendiskussionen 274 Aufgaben 309 bis Anwendung der Differentialrechnung Extremwertaufgaben 280 Aufgaben 340 bis Näherungsverfahren nach NEWTON ZW Lösung von Gleichungen 287 Aufgaben 357 bis Physikalisch-technische Anwendungen 289 Aufgaben 365 bis Graphische Differentiation 292 Aufgaben 368 bis Einige Beispiele zur Fehlerrechnung 295 Aufgaben 371 bis Weitere transzendente Funktionen und ihre Ableitungen Die Arcusfunktionen Definition der Arcusfunktionen und ihre Darstellung Differentiation der Arcusfunktionen 300 Aufgaben 374 bis Die Hyperbelfunktionen Definition der Hyperbelfunktionen und ihre Darstellung Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen Differentiation der Hyperbelfunktionen 304 Aufgaben 382 bis Die Areafunktionen Definition der Areafunktionen und ihre Darstellung Differentiation der Areafunktionen 308 Aufgaben 392 bis Beziehungen zwischen der Einheitshyperbel und den Hyperbelfunktionen Grenzwertbestimmung nach der Regel von 1'HOSPITAL 310 Aufgaben 397 bis

8 Inhaltsverzeichnis Funktionen in Parameterdarstellung Einführung des Parameters Die Rollkurven Differentiation bei Parameterdarstellung 316 Aufgaben 408 bis Funktionen in Polarkoordinaten Einführung von Polarkoordinaten Differentiation bei Darstellung in Polarkoordinaten 320 Aufgaben 418 bis Die Krümmung einer Kurve Definition der Krümmung Krümmungskreis; Evolute und Evolvente 324 Aufgaben 422 bis Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlicher Partielle Ableitungen 329 Aufgaben 428 bis Das totale Differential 337 Aufgaben 459 bis Anwendung der partiellen Differentiation Fehlerrechnung Die Ableitung unentwickelter Funktionen 342 Aufgaben 469 bis Maxima und Minima von Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlicher Aufgaben 487 bis Maxima und Minima mit Nebenbedingungen 349 Aufgaben 499 bis Integralrechnung 28. Unbestimmtes Integral - Bestimmtes Integral Der Begriff des unbestimmten Integrals - Flächenfunktion Das bestimmte Integral Grundintegrale - Elementare Integrationsregeln, Grundintegrale Elementare Integrationsregeln Die Vertauschung der Integrationsgrenzen Integranden mit konstanten Faktoren Die Integration einer algebraischen Summe Die Zerlegung eines Integrals in eine Summe von Integralen durch Teilung des Integrationsbereiches 368 Aufgaben 510 bis

9 14 Inhaltsverzeichnis 30. Flächen- und Rauminhaltsberechnung Flächenberechnung (Quadratur) 371 Aufgaben 556 bis Rauminhaltsberechnung (Kubatur) Die Berechnung des Inhalts der Rotationskörper Die Berechnung des Inhalts einiger anderer Körper 381 Aufgaben 568 bis Integrationsverfahren Integration durch Substitution Integrale der Form J f(ax + b) dx 385 r f'( x \ dx Integrale der Form f f[<p(x)] <p'(x) dx Integrale der Form -LU J /(*) Substitution trigonometrischer und hyperbolischer Funktionen Integrale der Form J i?(sin x; cos x; tan x; cot x) dx, wobei der Integrand rational in sin x, cos x, tan x, cot x ist 398 Aufgaben 576 bis Die partielle Integration 403 Aufgaben 663 bis Die Integration durch Partialbruchzerlegung Allgemeine Vorbetrachtung Der Nenner des Integranden hat nur reelle einfache Nullstellen Der Nenner des Integranden hat mehrfache reelle Nullstellen Der Nenner des Integranden enthält auch komplexe einfache Nullstellen Aufgaben 682 bis Physikalisch-technische Anwendungen der Integralrechnung Das Arbeitsintegral Statisches Moment und Schwerpunkt Statisches Moment und Schwerpunkt von Flächen Statisches Moment und Schwerpunkt von Körpern 434 Aufgaben 698 bis Trägheitsmomente Flächenträgheitsmoment Massenträgheitsmoment 442 Aufgaben 709 bis Weitere physikalisch-technische Anwendungen des Integrals Der radioaktive Zerfall Der Träger gleicher Zugfestigkeit Senkrechter Wurf nach oben Arbeit des Wechselstroms Die chemische Reaktionsgeschwindigkeit als Funktion der Konzentration Ausflußzeit von Flüssigkeiten bei abnehmendem Flüssigkeitsstand 452

10 Inhaltsverzeichs Die Berechnung von Mittelwerten mit Hilfe des bestimmten Integrals 453 Aufgaben 719 bis Bogenlängen- und Oberflächenberechnungen Bogenlänge : Schwerpunkte und Trägheitsmomente von Kurvenstücken Mantelflächenberechnung von Drehkörpern Berechnung ebener Flächenstücke, deren Begrenzungskurven gegeben sind 465 Aufgaben 721 bis Näherungsweise Integration Rechnerisches Verfahren - Simpsonsche Formel 469 Aufgaben 732 bis Die graphische Integration Das Polarplanimeter Mehrfache Integrale Begriff und Anwendung des mehrfachen Integrals Angepaßte Koordinaten 484 Aufgaben 738 bis Unendliche Reihen 36. Grundbegriffe Folge, Reihe, unendliche Reihe Konvergenz, Divergenz Konvergenzkriterien Notwendige Bedingung Altemierende Reihen Majorantenmethode 494 Aufgaben 748 bis Das Quotientenkriterium 495 Aufgaben 750 bis Das Wurzelkriterium 496 Aufgaben 754 bis Potenzreihen Erklärung, Konvergenzradius, Konvergenzbereich 498 Aufgaben 756 bis Die Maclaurinsche Form der Reihe von TAYLOB Hauptform der Reihe von TAYLOR 502 Aufgabe

11 16 Inhaltsverzeichnis Andere Fassungen der Reihe von TAYLOR 503 Aufgabe Entwicklung von Funktionen in Potenzreihen Entwicklung der Funktion f(x) = sin x Entwicklung der Funktion f(x) = cos x 506 Aufgabe Entwicklung der Funktion f(x) = tan x Entwicklung der Funktion f{x) = e* 507 Aufgabe Entwicklung der Funktion f(x) = cosh x 508 Aufgaben 764 bis Die Gleichung von EULER Entwicklung der Binomialreihe Anwendungen Näherungsformeln Wurzelausdrücke 511 Aufgaben 767 bis Besondere Fälle Reihenentwicklung durch Integration Reihe für f(x) = arctan x 516 Aufgaben 769 bis Reihe für fix) = \nx Integration durch Reihenentwicklung Integration irrationaler Funktionen 520 Aufgaben 772 bis Integration transzendenter Funktionen 522 Aufgaben 774 bis Der Integralsinus 524 Aufgaben 777 bis Das Gaußsche Fehlerintegral Die Bogenlänge der Ellipse 526 Aufgabe Differentialgleichungen 40. Allgemeines - über Differentialgleichungen Begriff der Differentialgleichung; allgemeine und partikuläre Lösung Einteilung der Differentialgleichungen, Die Differentialgleichung 1. Ordnung Geometrische Deutung der Differentialgleichung 1. Ordnung Integration der Differentialgleichung 1. Ordnung durch Trennen der Veränderlichen Integration durch Substitution 537

12 Inhaltsverzeichnis Die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung Die homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung Die inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung Einfache Differentialgleichungen 2. Ordnung y" = f(x; y') y" = f{y) Geradlinige Bewegung 549 Aufgaben 780 bis Lineare Differentialgleichungen 2. und höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten Die homogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten Allgemeine Sätze Die homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Die Differentialgleichung der freien Schwingung Die homogene lineare Differentialgleichung höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten Die inhomogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung Berechnen einer partikulären Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung Die Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung 572 Aufgaben 890 bis Wiederholungsaufgaben 947 bis Lösungen zu den Aufgaben 1 bis Literaturverzeichnis 648 Sachwortverzeichnis LtJB Mathe III