ist ein n-dimensionaler, reeller Vektorraum (vgl. Lineare Algebra). Wir definieren auf diesem VR ein Skalarprodukt durch i y i i=1

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1 24 14 Metrische Räume 14.1 R n als euklidischer Vektorraum Die Menge R n = {(x 1,..., x n ) x i R} versehen mit der Addition und der skalaren Multiplikation x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) λx = (λx 1,..., λx n ), λ R, ist ein n-dimensionaler, reeller Vektorraum (vgl. Lineare Algebra). Wir definieren auf diesem VR ein Skalarprodukt durch n x, y := x y := x i y i. Aus den Körperaxiomen von R folgt leicht, dass für alle x, y, z R n und alle λ R, x y = y x (x + y) z = x z + y z. Die Abbildung R n R n R definiert durch (x, y) x y ist also symmetrisch und linear im ersten Argument. Somit ist sie auch linear im zweiten Argument. Man definiert den Betrag x eines Vektor x R n durch x = ( n ) 1/2 x x = x 2 i. Satz Für alle x, y R n gilt Beweis. Aus Satz folgt ( n n x y = x i y i x y x y. x 2 i ) 1/2 ( n ) 1/2 yi 2 = x y. Satz Für alle x, y R n und alle λ R gilt (i) x 0 und ( x = 0 x = 0). (ii) λx = λ x (iii) x + y x + y. Mit Hilfe des Betrags kann man in R n, analog wie in C, ε-umgebungen, offene Mengen, abgeschlossene Mengen, Konvergenz von Folgen, etc. einführen. Es lohnt sich, dies im Rahmen metrischer Räume zu tun.

2 Topologie metrischer Räume Ein metrischer Raum (M, d) ist eine Menge M versehen mit einer Metrik d : M M R, so dass für alle x, y, z M gilt: (M1) d(x, y) 0 und (d(x, y) = 0 x = y). (M2) d(x, y) = d(y, x) (M3) d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Bemerkung: Ist (M, d) ein metrischer Raum und D M, dann ist (D, d) auch ein metrischer Raum. Wir definieren weiter in einem metrischen Raum (M, d): (i) Ist a M und ε > 0, dann heißt B ε (a) := {x M d(x, y) < ε} ε-ball oder ε-umgebung von a. Ḃ ε (a) := B ε (a)\{a}. (ii) D M heißt offen, falls zu jedem x D ein ε > 0 existiert, so dass B ε (a) D. (iii) D M heißt abgeschlossen, falls M\D offen ist. (iv) D M heißt beschränkt, falls ein a M und ein R > 0 existieren, so dass D B R (a). (iv) x M heißt Häufungspunkt von D, falls Ḃε(a) D für alle ε > 0. (v) Der Rand D einer Teilmenge D M ist die Menge der Punkte x M für welche B ε (x) D und B ε (x) D c für alle ε > 0. Satz Sei (M, d) ein metrischer Raum. Dann gilt: (i) M, sind offen. (ii) Sind V 1,..., V n M offen, dann ist n V i offen.

3 26 (iii) Ist (V i ) i I eine beliebige Familie offener Mengen, dann ist auch i I V i offen. Korollar Sei (M, d) ein metrischer Raum. Dann gilt: (i) M, sind abgeschlossen. (ii) Sind A 1,..., A n M abgeschlossen, dann ist n A i offen. (iii) Ist (A i ) i I eine beliebige Familie abgeschlossener Mengen, dann ist auch i I A i abgeschlossen. Sei (M, d) ein metrischer Raum und D M. Das Innere, D, von D ist die grösste offene Teilmenge von D. Der Abschluss, D, von D ist die kleinste abgeschlossene Menge welche D enthält. Die Existenz von D und D folgt aus Satz und Korrolar , denn es gilt: D = V, D = A. V D, V offen A D, A abgesch. Satz Sei (M, d) ein metrischer Raum und D M. Dann gilt: (i) D ist abgeschlossen. (ii) D = D D. (iii) D = D\ D Konvergenz und Vollständigkeit Sei (M, d) ein metrischer Raum und (x n ) eine Folge in M. (i) Die Folge (x n ) konvergiert gegen x, in Zeichen lim x n = x, oder x n x (n ). n falls zu jedem ε > 0 ein N N existiert, so dass n N d(x n, x) < ε. (ii) Die Folge (x n ) heißt Cauchy-Folge, falls zu jedem ε > 0 ein N N existiert, so dass n, m N d(x n, x m ) < ε. (iii) Die Folge (x n ) heißt beschränkt, wenn die Menge {x n n N} beschränkt ist.

4 27 Satz Sei (x k ) eine Folge in R n. Dann gilt: (i) lim k x k = a genau dann, wenn lim k x k,i = a i für alle i = 1,..., n. (ii) (x k ) ist genau dann eine Cauchy-Folge, wenn (x k,i ) für jedes i {1,..., n} eine Cauchy-Folge ist. (iii) Die Folge (x k ) ist genau dann beschränkt, wenn jede Folge (x k,i ), i = 1,..., n, beschränkt ist. Satz Jede konvergente Folge eines metrischen Raumes (M, d) ist beschränkt. Satz (Bolzano-Weierstraß). Jede beschränkte Folge in R n hat eine konvergente Teilfolge. Satz Jede konvergente Folge eines metrischen Raumes (M, d) ist eine Cauchy- Folge. Ein metrischer Raum (M, d) heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge in M konvergent ist. Theorem R n versehen mit der Standardmetrik d(x, y) = x y ist ein vollständiger metrischer Raum. Satz Sei (M, d) ein metrischer Raum und sei A M. Dann sind äquivalent: (a) A ist abgeschlossen. (b) Für jede konvergente Folge (x k ) k N in M mit lim k x k = x gilt: x k A für alle k x A. Satz Ist (M, d) vollständig und A M abgeschlossen, dann ist auch (A, d) vollständig. Beweis. Siehe Aufgabenblatt Stetigkeit Seien (M 1, d 1 ) und (M 2, d 2 ) metrische Räume und f : M 1 M 2. Die Abbildung f heißt stetig in a M 1, falls es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass d 1 (x, a) < δ d 2 (f(x), f(a)) < ε.

5 28 Die Abbildung f heißt stetig, falls sie stetig in jedem Punkt von M 1 ist. Die Abbildung heißt gleichmässig stetig, falls zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass d 1 (x, y) < δ d 2 (f(x), f(y)) < ε für alle x, y M 1. Die Abbildung f heißt Lipschitz-stetig (genügt einer Lipschitz-Bedingung), wenn es eine Konstante L gibt, so dass d 2 (f(x), f(y)) Ld 1 (x, y) für alle x, y M 1. Theorem Seien (M 1, d 1 ) und (M 2, d 2 ) metrische Räume und sei f : M 1 M 2. Dann sind äquivalent: (a) f ist stetig in a M 1. (b) Für jede Folge (x k ) in M 1 mit lim k x k = a gilt lim f(x k) = f(a). k Satz Sei (M, d) ein metrischer Raum und sei f : M R n mit Dann sind äquivalent: (a) f ist stetig im Punkt a M. f(x) = (f 1 (x),..., f n (x)). (b) Die Funktionen f 1,..., f n sind stetig in a. Satz Sei (M, d) ein metrischer Raum. Sind f, g : M C stetig in a M, dann sind auch f + g, fg und, falls g(a) 0, f/g stetig in a. Aus diesem Satz und der Stetigkeit von x x i folgt, dass alle Polynome p : R n C mit p(x) = c α1...α n x α x αn n, c α 1...α n C, r N, P αi r stetig sind auf R n, und dass alle rationalen Funktionen p/q, mit Polynomen p, q 0 auf {x R n q(x) 0} stetig sind. Satz Seien (M 1, d 1 ), (M 2, d 2 ) und (M 3, d 3 ) metrische Räume. Ist f : M 1 M 2 stetig in a M 1 und g : M 2 M 3 stetig in f(a), dann ist g f : M 1 M 3 stetig in a. Beweis. Kopie des Beweises von Satz mit Hilfe von Theorem Theorem Seien (M 1, d 1 ) und (M 2, d 2 ) metrische Räume und sei f : M 1 M 2. Dann sind äquivalent:

6 29 (a) f ist stetig. (b) V M 2 ist offen f 1 (V ) M 1 ist offen. (c) B M 2 ist abgeschlossen f 1 (B) M 1 ist abgeschlossen. Grenzwerte einer Funktion. Seien (M 1, d 1 ) und (M 2, d 2 ) metrische Räume, sei f : D M 1 M 2, und sei ξ ein Häufungspunkt von D. Man schreibt lim f(x) = η oder f(x) η (x ξ), x ξ falls zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass x Ḃδ(ξ) D f(x) B ε (η). Satz Sei f : D M 1 M 2 und sei ξ ein HP von D. Dann gilt (a) f ist genau dann stetig in ξ, wenn lim x ξ f(x) = f(ξ). (b) lim x ξ f(x) = η genau dann, wenn lim n f(x n ) = η für jede Folge (x n ) in D\{ξ} mit lim n x n = ξ Kompaktheit Sei (M, d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge K M heißt (folgen-)kompakt, wenn jede Folge aus K eine in K konvergente Teilfolge hat. Satz Eine kompakte Menge ist abgeschlossen und beschränkt. Bemerkung: Die Umkehrung dieser Aussage ist richtig in R n, aber sonst im allgemeinen nicht! Zum Beispiel ist R versehen mit der diskreten Metrik abgeschlossen und beschränkt (R B 2 (0)), aber die Folge x n = n hat keine konvergente Teilfolge. Theorem (Heine-Borel). Eine Teilmenge von R n (mit Standardmetrik) ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. Satz Ist f : M 1 M 2 stetig und K M 1 kompakt, dann ist auch f(k) kompakt. Theorem Ist (M, d) ein kompakter metrischer Raum und f : M R stetig, dann nimmt die Funktion f auf M ihr Maximum und ihr Minimum an. Beweis 1. Kopie des Beweises von Thm Theorem Ist f : M 1 M 2 stetig und M 1 kompakt, dann ist f gleichmässig stetig. Beweis. Kopie des Beweises von Thm

7 Normierte Räume Ein normierter Vektorraum (X, ρ) über dem Körper K (K = R oder K = C) ist ein Vektorraum X zusammen mit einer Abbildung ρ : X R, einer Norm, so dass für alle x, y X und alle λ K: (N1) ρ(x) 0 und (ρ(x) = 0 x = 0), (N2) (N1) ρ(λx) = λ ρ(x), ρ(x + y) ρ(x) + ρ(y). Man schreibt gewöhnlich x oder x für ρ(x). Bemerkung. In jedem normierten Vektorraum (X, ) ist durch d(x, y) := x y eine Metrik definiert. Falls nicht ausdrücklich anderst gesagt, dann fasst man einen normierten Raum immer auch als metrischen Raum mit dieser Metrik auf. Damit sind die Begriffe: offen, abgeschlossen, beschränkt, konvergente Folge, Cauchy-Folge, vollständig, stetig etc. auch in normierten Vektorräumen erklärt. Beispiel. Die Norm x x ist eine stetige Abbildung von X nach R, denn es gilt für alle x, y X. Beispiele normierter Räume. x y x y 1. Der reelle Vektorraum R n mit der Norm x = ( n x2 i )1/2 ist ein vollständiger normierter VR. 2. Der komplexe Vektorraum C n mit der Norm z = ( n z i 2 ) 1/2 ist ein vollständiger normierter Vektorraum. 3. Der komplexe Vektorraum C([a, b], C) mit der Norm f := sup f(x) x [a,b] ist ein vollständiger normierter Vektorraum. Einen vollständigen normierten Vektorraum nennt man einen Banachraum.

8 31 Satz Sei X ein endlich dimensionaler normierter Vektorraum und sei {e 1,..., e n } eine Basis von X. Dann existieren Konstanten α > 0 und β > 0, so dass ( n ) 1/2 ( n ) 1/2 α x i 2 x β x i 2 für alle x = i x ie i X, x 1..., x n K. Nach Satz gilt für alle x = i x ie i, y = i y ie i X, ( n ) 1/2 ( n ) 1/2. α x i y i 2 x y β x i y i 2 Es folgt, dass unter der Abbildung (K n, ) (X, ) n (x 1,..., x n ) x i e i und ihrer Inversen konvergente Folgen in konvergente Folgen und Cauchyfolgen in Cauchyfolgen abgebildet werden. Insbesondere ist X vollständig, und Konvergenz in X ist äquivalent zu komponentenweiser Konvergenz (siehe Satz ).